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2025-2026学年云南省昆明市第十中学教育集团高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）
A. （-1，2） B. [1，2） C. [1，3] D. （-1，3]
2.已知复数z满足z（1-i）=3+i,则|z|=（　　）
A. B. C. 2 D.
3.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（　　）
A. 88 B. 89 C. 90 D. 91
4.已知，，则sin（α+β）=（　　）
A. B. C. D.
5.下列区间是函数的一个单调递增区间的是（　　）
A. B. C. [-π，0] D.
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则B的是（　　）
A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 60°或120°
7.已知函数的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（　　）
A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. a＞b＞c
8.已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+y）-[f（x）+f（y）]=2024，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）是偶函数 B. f（x）是奇函数
C. f（x）+2024是奇函数 D. f（x）+2024是偶函数
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上
B. 若向量与平行，且，则或
C. 向量的长度与向量的长度相等
D. 单位向量都相等
10.已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则下列结论正确的是（　　）
A. ab的最大值为 B. 的最大值为9
C. a2+b2的最小值为 D. 2a+4b的最小值为
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BD的中点，N是线段CD1上一动点，则下列说法正确的有（　　）
A. 三棱锥N-BAA1的体积随着点N的位置的改变而随之变化．
B. 无论点N在何处，始终有B1D⊥平面ACN成立．
C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．
D. 平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 .
13.已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-2lnx,则f（0）-f（-1）= .
14.一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：kg）进行统计，所得数据都在[1，4]内，按[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值；
（2）估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；
（3）若这批鱼有1000条，估计这批鱼中重量在[1.5，2.5）内的数量.
16.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，.
（1）若，求xy的值；
（2）若AB=3，∠BAD=60°，求的值.
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值.
18.(本小题15分)
现有两个含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=10cm,∠PBA=∠PDC=30°.初始时，两三角板的直角顶点重合于点P，斜边AB，CD共线.现将两三角板绕点P平行展开，得到四棱锥P-ABCD.
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）设平面PAB∩平面PCD=l.
（ⅰ）求证：l∥平面ABCD；
（ⅱ）当二面角A-l-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出该最大值.
19.(本小题17分)
已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于x的不等式f（e2x-ex）+f（mex-m）＜0只有一个整数解，求实数m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】（-6，-8）
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得（0.1+2a+0.6+0.5+0.4）×0.5=1，
解得a=0.2；
（2）设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为m,
因为（0.1+0.2+0.6）×0.5=0.45＜0.5，0.45+0.5×0.5=0.7＞0.5，
所以m∈[2.5，3），
则0.45+（m-2.5）×0.5=0.5，解得m=2.6，
即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为2.6kg；
（3）由频率分布直方图可知这批鱼中重量在[1.5，2.5）内的频率是（0.2+0.6）×0.5=0.4，
则这批鱼中重量在[1.5，2.5）内的数量是1000×0.4=400条．
16.【答案】
17.【答案】解：（1）由正弦定理及，得，
因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以，
即，
又C∈（0，π），所以sinC＞0，所以，
而A∈（0，π），所以．
（2）因为D是BC中点，所以，
所以，
所以，即b2+c2+bc=24，
又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当时等号成立，
所以bc≤8，
所以，
即△ABC面积的最大值为．
18.【答案】由AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC，BD的中点．
又由于PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又∵AC，BD 平面ABCD，AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
又PO 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD （ⅰ）∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，∴AB∥l．
又∵l 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴l∥平面ABCD．
（ⅱ）90°，最大值500cm3
19.【答案】a=-1 f（x）在R上的单调递增， x1，x2∈R，x1＜x2，所以，又因为，
＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上的单调递增 （-e-1，-e-2]∪[-e2，-e）
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