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2025-2026学年山西省长治市上党第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.命题“ x＞0，”的否定是（　　）
A. x＞0， B. x≤0，
C. x＞0， D. x≤0，
3.角α的终边经过点P（a,3）且，则实数a的值为（　　）
A. 4 B. -4 C. ±4 D. 3
4.下列命题正确的是（　　）
A. 空间不同三点确定一个平面
B. 三条两两相交的直线在同一平面内
C. 垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直
D. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
5.在△ABC中，点D满足，且AB=2CD，则∠ACB=（　　）
A. B. C. D.
6.已知直线l,m与平面α，其中m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，PB=AB=2，则球O的表面积为（　　）
A. 7π B. 8π C. 9π D. 10π
8.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=90米，则滕王阁的高度OP=（　　）米.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=2-3i,则下列说法正确的是（　　）
A. z的虚部为3i B.
C. D. z在复平面内对应的点为（2，-3）
10.已知函数，则（　　）
A.
B. f（x）在区间上单调递增
C. 曲线y=f（x）关于点中心对称
D. 方程在区间（0，2π]上有3个解
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1B1中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为α.当A，P，C三点共线时，，则（　　）
A. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为64
B. 当AB的中点在α上时，截面图形的面积为
C. 记MP的中点为Q，CQ的最小值为
D. B1P+PC的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，设m∈R.若2+i是实系数一元二次方程x2-mx+5=0的一个虚根，则m= .
13.已知，，则向量在方向上投影向量坐标为 .
14.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=．现将△ACD沿AC折起，得到如图所示的三棱锥D-ABC，则该三棱锥体积的最大值是______，此时，其内切球的半径是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角θ.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=3，点E为线段PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥A-PEC的体积．
17.(本小题15分)
如图为函数的一个周期内的图象.
（1）写出f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）的图象向右平移2个单位长度得到y=g（x）的图象，写出g（x）的解析式；
（3）指出g（x）的周期、频率、振幅、初相.
18.(本小题17分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
（1）求证：B1C1∥平面A1BC；
（2）求：BA1与平面A1CD所成的角大小；
（3）求钝二面角B-A1C-D的大小.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinC=sinB+sin（A-B）.
（1）求角A的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，b=2，求△ABC的面积的取值范围；
（3）若恒成立，求实数t的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，
如图示：
∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，
由已知E为线段PD的中点，∵PB∥OE，
又OE 平面ACE，PB 平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）证明：∵PA=AD，E为线段PD的中点，∴AE⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE 平面PAD，
∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD；
（3）∵AE⊥平面PCD，∴三棱锥A-PCE的体积
V=S△PCE AE=×PE CD AE=×××3×=．
17.【答案】 周期T=8，频率，振幅2、初相为
18.【答案】证明过程见解析；
；
．
19.【答案】
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