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2025-2026学年山东省淄博市张店区第八中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（　　）
A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C. 成语“守株待兔”是随机事件
D. 成语“水中捞月”是随机事件
2.能说明命题“对于任何实数a,|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A. a=1 B. a= C. a= D. a=-2
3.下列图形中，已知∠1=∠2，则能判定AB∥CD的是（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，已知一次函数y=-x+4和y=ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x,y的二元一次方程组的解是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=-6的解，则k的值是（　　）
A. - B. C. D. -
6.一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，则小球停留在黑色区域内的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1=20°，∠2=116°，则∠3的大小为（　　）
A. 136°
B. 138°
C. 146°
D. 148°
8.下列命题中，真命题有（　　）
①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④相等的角是对顶角；
⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A. B.
C. D.
10.定义：我们把一次函数y=kx+b（k≠0）与正比例函数y=-x的交点称为一次函数y=kx+b（k≠0）的“关联点”.例如求y=2x+3的“关联点”：联立方程，解得，则y=2x+3的“关联点”为（-1，1）.
①一次函数y=3x+4的“关联点”为（-1，1）；
②若一次函数y=mx+n的“关联点”为（2，n-1），则，n=-1；
③若一次函数y=3x+4和一次函数y=kx+3的“关联点”相同，则k=2；
④若一次函数y=kx-3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y=kx-3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得，则点P的坐标为（-4.5，0）.
以上说法正确的是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分别写有数字号、、-1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是______.
12.已知一次函数图象经过（-2，1）与（1，3）两点，则该函数的图象与y轴交点的坐标为 .
13.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和谐数”.例如：四位数1538，∵15+38=53，∴1538是“和谐数”；又如：四位数2416，∵24+16=40≠41，∴2416不是“和谐数”.若一个“和谐数”为，则这个数为 .
14.若关于x,y的方程组，解为.则关于x,y的方程组的解是 .
15.如图，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点B、C分别落在H、G的位置，再沿GF折叠成图2，点A、D分别落在Q、H的位置，已知∠QHE=2∠GHF，则∠CFE的大小为______度．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程组：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
完成证明并写出推理根据：
已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别在边CD两方的延长线上，连接FA，若∠2+∠3=180°，∠B=∠1.
求证：∠4=∠F.
证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠1=180°（平角定义），
又∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠3=∠ ______ （ ______ ），
又∵∠B=∠1（已知），
∴∠B=∠ ______ （等量代换），
∴AB∥FD（ ______ ），
∴∠4=∠F（ ______ ）.
18.(本小题10分)
在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图.
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近______（精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为______；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？
19.(本小题10分)
如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°，
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1=64°，试求∠FAB的度数．
20.(本小题10分)
定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a,b,c互不相同，且均不为0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“变更方程”.例如：ax+by=c的“变更方程”为cx+by=a.
（1）方程2x-3y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且ax+by=c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式（m+n）m-p（n+p）+2026的值.
21.(本小题10分)
某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表：

篮球 排球
进价（元/件） 60 40
售价（元/件） 100 60
（1）该商店购进篮球和排球各多少个？
（2）该商店若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价）
（3）某学校准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出两种优惠方案：
方案一：两种球类售价都打8折；
方案二：购买2个篮球赠送一个排球.
学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的.请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？
22.(本小题10分)
如图1，已知三角形ABC，D是线段BA延长线上一点，AE∥BC.
（1）求证：∠DAC=∠B+∠C；
（2）如图2，过C作CH∥AB交AE于H，AF平分∠DAE，CF平分∠DCH，若∠BCD=70°，求∠F的度数；
（3）如图3，CH∥AD，点P为线段AC上一点，点G为射线AD上一动点，线段PQ，GM分别交CH于点Q、M，其中∠DGM=2∠PGM，∠CPQ=2∠GPQ，又过P作PN∥GM，则∠QPN与∠BAC的数量关系是______.
23.(本小题10分)
【模型建立】如图①，在等腰直角三角形ABC中，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA.
【模型应用】
（1）如图②，直线l1：y=x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2对应的函数表达式.
（2）如图③，四边形ABCO是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为（8，-6），点A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限.若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】（0，）
13.【答案】3956
14.【答案】
15.【答案】75
16.【答案】解：（1），
①×2+②得：9x=18，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：4-y=5，
解得：y=-1．
故原方程组的解为：．
（2）原方程组可化为：，
②×5+①得：46y=46，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x=7．
故原方程组的解为：．
17.【答案】证明：∵点E在CD的延长线上（已知），
∴∠2+∠1=180°（平角定义），
又∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠3=∠1（同角的补角相等），
又∵∠B=∠1（已知），
∴∠B=∠3（等量代换），
∴AB∥FD（ 内错角相等，两直线平行），
∴∠4=∠F（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：1；同角的补角相等；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
18.【答案】0.75;0.75 估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有30个、10个 需要往盒子里再放入5个黑球
19.【答案】（1）证明：∵∠1=∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3=180°，
∴∠ADC+∠3=180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1=∠BDC，∠1=64°，
∴∠BDC=64°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=∠BDC=32°（角平分线定义），
∴∠2=∠ADC=32°（已证），
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD=∠AEC=90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB=∠FAD-∠2=90°-32°=58°．
20.【答案】 2026
21.【答案】该商店购进50个篮球，120个排球；
该商店若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得4400元利润；
学校准备购买12个篮球，10个排球．
22.【答案】见解析；
55°；
∠ BAC+180°=3∠QPN．
23.【答案】【模型建立】证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

【模型应用】解：（1）如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1：y=x+4中，若y=0，则x=-3；若x=0，则y=4，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴BD=AO=3，CD=OB=4，
∴OD=4+3=7，
∴C（-4，7），
设l2的解析式为y=kx+b,则
，
解得，
∴l2的解析式：y=-7x-21；

（2）D（4，-2），（）．
理由：当点D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x,-2x+6），则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x,DF=EF-DE=8-x,
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF=AE，
即：12-2x=8-x,
解得x=4，
∴-2x+6=-2，
∴D（4，-2），
此时，PF=ED=4，CP=6＜CB，符合题意；

当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x,-2x+6），则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x,
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE=DF，
即：2x-12=8-x,
解得x=，
∴-2x+6=-，
∴D（，-），
此时，ED=PF=，AE=BF=，BP=PF-BF=＜6，符合题意．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（4，-2）或（，-）．
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