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2025-2026学年山东省临沂市莒南县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4+b5）（c1+c2+c3+c4）展开后共有（　　）项.
A. 60 B. 80 C. 30 D. 45
2.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
3.=（　　）
A. 6 B. C. D.
4.已知随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤-2）=P（ξ≥a），则a值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 3 D.
5.对于事件，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左到右第14个数与第15个数的比为2：3，则m=（　　）
A. 40 B. 50 C. 34 D. 32
7.随机变量ξ的分布列如表：则E（ξ）的取值范围是（　　）
ξ 0 1 2
P 2a-b a a+b
A. B. C. D.
8.有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（　　）
A. 128种 B. 144种 C. 224种 D. 256种
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（　　）
A. （cos2）′=-sin2 B.
C. （（2x+1）2）′=2（2x+1） D.
10.已知，且（5x-4）n展开式中所有的二项式系数和为22026，则（　　）
A. n=2026 B. a1=1
C. D.
11.甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为p,且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为ξ，当ξ=k时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（　　）
A. 若k=2，则比赛结束时总局数不可能是3
B. 若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为
C. 若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为
D. 若，比赛进行一段时间后ξ=0，则继续比赛甲最终获胜的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则D（3X）= .
13.若函数f（x）=x2-4x-6lnx,则f（x）的单调递减区间为 .
14.正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成 个三棱锥.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在x=-1处取得极大值.
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）的零点的个数.
16.(本小题15分)
某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
（1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？
（2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？
（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？
17.(本小题15分)
学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼.
（1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率；
（2）记甲第n（n∈N*）天选择羽毛球的概率为Pn，请写出Pn与Pn-1（n≥2）的关系.
18.(本小题17分)
已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在（0，2）上存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求|f（x2）-f（x1）|的取值范围.
19.(本小题17分)
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为0.7，且不同对阵的结果相互独立.
（1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.
（ⅰ）求甲获得第四名的概率；
（ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】12
13.【答案】（0，3）
14.【答案】58
15.【答案】a=-1，b=-3 1
16.【答案】432 144 72
17.【答案】
18.【答案】x-y-1=0 （-∞，2]
19.【答案】（ⅰ）0.09；（ⅱ）3.204 一叠“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=0.73+0.7（1-0.7）0.72+（1-0.7）0.73=0.5488，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为P′=0.72=0.49，
因为0.5488＞0.49．
所以“双败淘汰制”对甲夺冠有利
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