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2025-2026学年山东省菏泽市第一中学等高一（下）期中数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在△ABC中，AB=2，AC=4，，则△ABC的面积是（　　）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，若向量与共线，则m=（　　）
A. -1 B. 1 C. 4 D. -4
4.已知一个水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，且C′A′=3，C′B′=6，则原平面图形的面积是（　　）
A. 16 B. 18 C. D. 36
5.若平面向量两两的夹角均为120°，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣 索菲亚教堂的高度，在圣 索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m,在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则估算圣 索菲亚教堂的高度CD约为（　　）
A. 44.5m B. 47m C. 50m D. 52.5m
7.在△ABC中，BC=2，，，则AC=（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
8.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且满足b2＞a2+c2，，点D是边AC上一点，且AC=3CD，则BD的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2，则下列结论正确的有（　　）
A. 若|z1+z2|=0，则 B. 若，则|z1|=|z2|
C. D.
10.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,则下列结论正确的有（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若△ABC的面积为，则
C. 若a=3，b=4，A=30°，则符合条件的△ABC有且仅有一个
D. 对任意的△ABC，都有cosB+cosC＞0
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则（　　）
A. 当时，S为四边形
B. 当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=
C. 当时，S为六边形
D. 当CQ=1时，S的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则|z|= .
13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，体积为48，在棱BA、BC、BB1分别取中点E，F，G，则三棱锥B-EFG的体积为______．
14.已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别是，，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（1+2i）k2-（1+5i）k+2（i-1），根据下列条件求实数k的取值范围.
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）在复平面内z对应的点在第二象限.
16.(本小题15分)
鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A-BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且高AB=3，BC=CD=．
（1）求三棱锥A-BCD的体积和表面积；
（2）求三棱锥A-BCD外接球体积和内切球的半径．
17.(本小题15分)
如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，试用表示，并求；
（2）若，求m+n的最小值.
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，为边AC上一点，且AB⊥BD，BD=2.
（1）若.
（i）求AD；
（ii）求△ABC的面积；
（2）求的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在△AOB中，OA=2，OB=4，点C是△AOB外接圆上的一个动点（点C，O在直线AB两侧），记∠AOB=θ.
（1）若，求sinθ；
（2）若，求的最大值；
（3）若点C满足，求四边形OACB的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】1
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】k=2或 k=-1 （-1，）
16.【答案】解：（1）∵三棱锥A-BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且高AB=3，BC=CD=，
∴三棱锥A-BCD的体积，
三棱锥A-BCD的表面积SA-BCD=S△BCD+S△ABC+S△ACD+S△ABD=，
（2）由条件知，可将三棱锥A-BCD补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，
因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球，即为三棱锥外接球的直径，
因为，所以三棱锥A-BCD外接球体积，
V外接球=π（）3=，
记内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径r，则VA-BCD=VO-ABD+VO-ACD+VO-ABC+VO-BCD，
得VA-BCD= SA-BCD表面积 r=（9） r=3，
所以，
故三棱锥A-BCD内切球的半径为．
17.【答案】，
18.【答案】（i）；（ii）
19.【答案】
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