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2025-2026学年江西省吉安市五所县二中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}为等差数列，a2+a8=6，则a3+a5+a7=（　　）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
2.f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
3.在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值等于（　　）
A. 1 B. - C. 1或 D. -1或
4.函数f（x）=lnx-2x2的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
5.若函数f（x）=ex（x2+a）在[-2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，0] B. （-∞，-8） C. （-∞，-8] D. [0，+∞）
6.已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X≤94）+P（X＜86）=1，则μ=（　　）
A. 88 B. 90 C. 92 D. 94
7.已知数列{an}满足，，则a10=（　　）
A. 12 B. C. 21 D.
8.数列{cn}为等比数列，其中c1＝2，c8＝4，f(x)＝x(x-c1)(x-c2)…(x-c8)，为函数f(x)的导函数，则＝（ ）
A. 0 B. 26 C. 29 D. 212
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.（多选题）下列求导运算错误的是（　　）
A. （π2026）′=2026π2025 B.
C. [cos（4x-5）]′=-4sin（4x-5） D.
10.以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（　　）
A. 图（1）中成对样本数据呈负相关
B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强
C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数
D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变
11.定义为数列{an}的“优值”，已知某数列{an}的“优值”，数列{an}的前n项和Sn，则（　　）
A. {an}为等差数列 B. {an}为递减数列
C. D. S2，S4，S6成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f（x）=（x-1）ex，则f'（ln2）= .
13.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S18＞0，S19＜0，则数列{|an|}中值最小的项为第______项．
14.如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解.牛顿切线法的计算过程如下：设函数f（x）的一个零点x0，先取定一个初值x1，曲线y=f（x）在x=x1处的切线为l1，记l1与x轴的交点横坐标为x2，曲线y=f（x）在x=x2处的切线为l2，记l2与x轴的交点横坐标为x3，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到x0的近似值，设函数f（x）=x2-3，令x1=3.进行三次迭代得到的x4= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=12，S8=72.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）证明：数列为等差数列.
16.(本小题15分)
已知函数，a∈R.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性.
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=1，{an}的前n项和为Sn，且.
（1）证明数列{an+1}是等比数列；
（2）令，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）.
18.(本小题17分)
生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据：
年龄 篮球运动情况 合计
经常运动 不经常运动
40及以上 130 70 200
40以下 100 100 200
合计 230 170 400
（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？
（2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第n次投中的概率为Pn，问：
①求P2.
②求证：为等比数列，并求出Pn的通项公式.
附：.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题17分)
已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），|f（x2）-f（x1）|的取值范围为，求a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】AC
12.【答案】2ln2
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】an=2n； 证明见解答．
16.【答案】解：（1）当a=2时，，则f'（x）=x2-2x,∴f'（3）=9-6=3，
又f（3）=9-9=0，∴f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）由题意得：f（x）定义域为R，f'（x）=x2-ax=x（x-a）；
当a=0时，f'（x）=x2≥0，∴f（x）在R上单调递增；
当a＜0时，若x∈（-∞，a）∪（0，+∞），则f'（x）＞0；
若x∈（a,0），则f'（x）＜0；∴f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增，在（a,0）上单调递减；
当a＞0时，若x∈（-∞，0）∪（a,+∞），则f'（x）＞0；
若x∈（0，a），则f'（x）＜0；∴f（x）在（-∞，0），（a,+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；
综上所述：当a=0时，f（x）在R上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增，在（a,0）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（-∞，0），（a,+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．
17.【答案】数列{an}的首项a1=1，{an}的前n项和为Sn，且，
所以Sn=2Sn-1+n（n≥2），
所以an+1=2an+1（n≥2） an+1+1=2（an+1）（n≥2），
又a1+1=2，S2=2S1+2即a2+1=2（a1+1），
所以数列{an+1}是公比和首项均为2的等比数列
18.【答案】有关 ①；②第一次投中的概率，
如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为．
∴第n次投中的概率．
化简得到，所以，
计算首项，所以为首项是，公比为的等比数列．
∴，Pn的通项公式是
19.【答案】解：（1）当a=1时，，定义域为（0，+∞），
所以，
所以k=f′（1）=1，
又f（1）=0，
所以函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0．
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
，，
令g（x）=x2-ax+1，则Δ=a2-4．
①当a≤0或Δ≤0，即a≤2时，f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当，即a＞2时，
由f′（x）＞0，得或；
由f′（x）＜0，得，
所以f（x）在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时函数f（x）无极值；
当a＞2时，f（x）有两个极值点，即方程x2-ax+1=0有两个正根x1，x2，
所以x1 x2=1，x1+x2=a,
则f（x）在（x1，x2）上是减函数．
所以f（x1）＞f（x2），
因为，
所以|f（x2）-f（x1）|=f（x1）-f（x2）
=
=
=
=
=
=，
令，则，
，
所以h（t）在（0，1）上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且a＞2，
所以实数a的取值范围为．
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