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2025-2026学年江西省赣州市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（　　）
A. 60° B. 30° C. -30° D. -60°
2.已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（　　）
A. B. C. D.
3.如果α是第二象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“＜0”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若函数为偶函数，则|φ|取得最小值时，=（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，AB=4，AC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，，若，则直线AP经过△ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
7.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是（　　）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若存在x1，，使得f（x1） f（x2）=-4，则ω的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则下列结论正确的有（　　）
A. B.
C. 与方向相反 D. 可以构成一组基底
10.已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy,且f（0）=0，.其中正确的是（　　）
A. B. f（x）为奇函数
C. f（x）为周期函数 D. f（x）在（0，π）内单调递减
11.已知函数f（x）=sin（sinx）+cos（cosx），则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的一个周期为2π B. f（x）的最大值为2
C. f（x）的图象关于直线对称 D. f（x）在区间是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知||=1，||=2， （-）=0，则向量与的夹角为______
13.已知函数f（x）=asinx+btanx+1，且，则m+n .
14.已知sinα+2sinβ=2，则cos（α+β）的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，
（1）求sin（α-β）的值；
（2）求α+β的值.
16.(本小题15分)
平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且.
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出的范围；
（2）若，求四边形ABCD的面积.
17.(本小题15分)
在△OPQ中，，，QA与PB相交于点C，设，.
（1）用，表示；
（2）过C点作直线l分别与线段OQ，OP交于点M，N，设，，求μ+3λ的最小值.
18.(本小题17分)
已知函数将函数y=f（x）图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=g（x）的图象.
（1）求函数f（x）的对称中心及函数f（x）的单调减区间；
（2）若，求函数g（x）的值域；
（3）区间[a,b]满足y=g（x）在[a,b]至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b-a的最小值.
19.(本小题17分)
设非零向量，定义.
（1）若，求；
（2）写出之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，求证：集合是有限集.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）由题意得=（x+4，y-2），，
∵，∴（x+4）y-（y-2）x=0，
即x+2y=0．
∴=，y∈[0，2]．
∴的范围是；
（2）由题意，，
∵，
∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，
即x2+y2+4x-2y-15=0，
联立，解得或，
当 时，，，；
当 时，，，．
∴四边形ABCD的面积为16．
17.【答案】解：（1）∵A，C，Q三点共线，设=k，
即-=，，．
∴==．
同理由P，C，B三点共线可得：=t +（1-t） =+，其中k,t∈R，
根据平面向量基本定理知：t=，k=，
解得t=，k=，
∴=．
（2）由N，C，M三点共线，=．
又由（1）知，
∴xλ=，（1-x）μ=，
故，
∴，当且仅当，
故μ+3λ的最小值为．
18.【答案】（k∈Z）；（k∈Z） [0，3]
19.【答案】 ，证明：
依题意得，
所以．
因为，所以
即，
所以，
故 证明：由（2）及得.依此类推得，
设，
则．
依题意得，
，
，
所以．
同理得，
，
，
．
所以．
综上，集合是有限集
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