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2025-2026学年江苏省镇江市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（　　）
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
2.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（　　）
A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势
B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃
C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大
D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天
3.若1，2，3，4，m（m∈R）这五个数的平均数等于其中位数，则m=（　　）
A. 0或5 B. 0或 C. 5或 D. 0或5或
4.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（　　）
A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140
5.记，若，则f（2）=（　　）
A. 1 B. 22025 C. 42025 D. 52025
6.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.类比排列数，定义函数（其中n∈N*，x∈R），将右边展开并用符号f（n,k）表示xk（1≤k≤n,k∈N*）的系数，得，以下说法正确的是（　　）
A. f（n+1，r）=f（n,r-1）-nf（n,r）
B. f（n+1，r）=f（n,r-1）+nf（n,r）
C. f（n+1，r）=f（n,r）-nf（n,r-1）
D. f（n+1，r）=f（n,r）+nf（n,r-1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一组数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=2（2 i 10），若去掉x1，x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（　　）
A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小
10.下列各式正确的是（　　）
A. 已知，则x的取值为6或7
B.
C. （2-x）（1-x）4的展开式中x3的系数为-14
D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
11.下列说法正确的有（　　）
A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立
B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N互斥
C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.1!+2!+3!+…+2026!的个位数为 .
13.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ=2）= .
14.4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的二项展开式有7项.
（1）求n,并求出所有二项式系数之和；
（2）求展开式中含x7项的系数；
（3）求展开式中的有理项.
16.(本小题15分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率a；
（2）估计这次考试的中位数（精确到0.01）；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩分别为x,y,求满足“|x-y|≤10”的概率.
17.(本小题15分)
甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
18.(本小题17分)
近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence,简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
人数 30 150 90 60 30
（1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
（2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m,第二组的人数为n.求m＜n的概率；
（3）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的t（3≤t≤12，t∈N）个，其余20-t个问题均无法答对.若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件At为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”，若对于不同的t,要使At概率最大，求此时t的值.
19.(本小题17分)
如图所示数阵，第m（m≥1）行共有m+1个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第n（n≥3）个数为.规定：.
（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
（3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】60
15.【答案】n=6；64；
1215；
，，，．
16.【答案】0.3 73.33
17.【答案】25
18.【答案】平均年龄32.5 t=6
19.【答案】相等，证明如下：
法一：因为，
只要证明，该式显然成立，
所以，
所以每行最后两个数相等；法二：因为
=
=，
又因为
=
=
=，
即：，
所以每一行的最后两个数相等 第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，
此时结论成立；因为，
第m（m=2）行的m+1个数之和为：
=
=
=
=，
而第m+1行倒数第二个数为，
由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证 存在，3
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