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2025-2026学年江苏省西安交通大学苏州附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从5本不同期的《意林》和3本不同期的《读者》中任取一本、则不同的取法种数是（　　）
A. 15 B. 125 C. 8 D. 35
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3.曲线y=x3-2在点（-1，-）处切线的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 150° C. 45° D. 135°
4.设函数f（x）在x=1处存在导数为3，则=（　　）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
5.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A. B. （2，-1，2） C. D. （1，-2，1）
6.直三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，CC1的中点，BC=CA=CC1=2，则BM与AN所成的角为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）=x-a ex，若f（x）≤0对任意x∈[0，e]恒成立，则a的最小值为（　　）
A. ee-1 B. C. D. 0
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，P为空间中一点．若（λ∈[0，1]），则异面直线BP和C1D所成角的取值不可能是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面四个结论正确的是（　　）
A. 向量，若，则
B. 若空间四个点，则A，B，C三点共线
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 任意向量满足
10.已知函数f（x）=xlnx,下列说法正确的有（　　）
A. 曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1
B. 过点（1，-1）与曲线y=f（x）相切的直线有且只有2条
C. 函数f（x）有极小值，无极大值
D. 方程f（x）=1有两个不同的解
11.已知函数f（x）=（2x2-3x） ex，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）有2个极值点
B. 函数f（x）无最小值
C. 若函数f（x）在上是减函数，则实数a的取值范围是
D. 函数y=3[f（x）]2+2f（x）-1有5个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，向量，若，则实数m的值为______．
13.已知函数f（x）=excosx,则ln（f′（π）-2f（π））= .
14.19，28，37，46，55，64，73，82，91中最大的数字是 ；
179，278，377， ，773，782，791中最大的数字是 .（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.9）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为1.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E是线段PC上异于点P，C的动点.
（1）当E是线段PC的中点时，求证：PA∥平面BDE；
（2）求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知.
（1）证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）设f′（x）是f（x）的导数.当x∈[-1，1]时，记函数|f（x）|的最大值为M，函数|f′（x）|的最大值为N.求证：M＜N.
18.(本小题17分)
如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2.
（1）求多面体A1-BCD的体积；
（2）求二面角E-A1D-B的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BP？若存在，求出的值；若不存请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=3x+b,求b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a=1时，记函数g（x）=f（x）-x（ex-1），求证：函数g（x）有唯一的极大值点x0，且.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ABC
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】π
14.【答案】46
2060

15.【答案】解：（1）由，得f′（x）=-x2+2a x,
曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，
故f′（1）=-1+2a=1，所以a=1；
（2）由（1）知，f′（x）=-x2+2x,
令f′（x）=-x2+2x＜0，则x＜0或x＞2；
令f′（x）=-x2+2x＞0，则0＜x＜2；
故函数的单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递增区间为（0，2）；
故函数的极小值为f（0）=0，极大值为．
16.【答案】证明：连接AC，交BD于点M，
因底面ABCD为边长为2的正方形，则M是AC的中点，
又E是PC的中点，则得ME∥PA．
又ME 平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE
17.【答案】f（x）定义域为R，f′（x）=ex-x-1，
令g（x）=f′（x），则g′（x）=ex-1，
∴当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）是R上的增函数 f（x）在[-1，1]上单调递增，
∵，，
∴，
∴；由（1）知：f′（x）在[-1，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增，
∵，|f′（1）|=e-2，∴，
∴|f′（1）|＞|f′（-1）|，即N=e-2；∴，∴M＜N
18.【答案】；
；
存在，
19.【答案】解：（1）f'（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，
因函数f（x）在x=0处的切线方程为y=3x+b，
则 f′（0）=3a-3=3，f（0）=2a-2=b，
解得 a=2，b=2；
（2）f'（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1），2ex+1＞0，
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在R上单调递减，
当a＞0时，当f′（x）＜0时，得x＜-lna，
当f′（x）＞0时，得x＞-lna，
则 f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（- lna,+∞）上单调递增，
综上所述，a≤0时，f（x）在R上单调递减，
a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna,+∞）上单调递增；
（3）证明：当a=1时，
g（x）=f（x）-x（ex-1）=e2x-ex-x-x（ex-1）=e2x-（x+1）ex，
则g'（x）=2e2x-（x+2）ex=ex（2ex-x-2），
令h（x）=2ex-x-2，则h′（x）=2ex-1，
当时，得，当h（x）＜0时，得，
则h（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
又h（0）=0，h（-1）=2e-1-1＜0，h（-2）=2e-2＞0，
则由零点存在性定理可知， x0∈（-2，-1）使得，
则当x＜x0或x＞0时，h（x）＞0，g'（x）＞0，
当x0＜x＜0时，h（x）＜0，g'（x）＜0，
故g（x）在（-∞，x0）和（0，+∞）上单调递增，在（x0，0）上单调递减，
则g（x）有唯一的极大值点x0，
且g（x0）=-（x0+1）=（-x0-1）
=（-x0-1）=-=-，
令φ（x）=-xex，x∈（-2，-1），
则φ′（x）=-（x+1）ex＞0，
则φ（x）在（-2，-1）上单调递增，
则φ（x）＜φ（-1）=，
故．
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