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2025-2026学年江苏省无锡市锡山区怀仁中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则f'（2）=（　　）
A. B. 6 C. 3 D. -3
2.由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为（　　）
A. 36 B. 24 C. 12 D. 6
3.（1+2x）4的展开式中含x3项的系数为（　　）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
4.已知随机变量X满足E（2-2X）=4，D（2-2X）=4，下列说法正确的是（　　）
A. E（X）=-1，D（X）=-1 B. E（X）=1，D（X）=1
C. E（X）=-1，D（X）=4 D. E（X）=-1，D（X）=1
5.如果f（x）=ax-ex在区间（-1，0）上不单调，那么实数a的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
6.全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲、乙、丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（　　）
A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种
7.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知曲线y=x2与y=e2x+a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围（　　）
A. （-2，+∞） B. [-2，+∞） C. （-∞，-2] D. （-∞，-2）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（　　）
A. f（-1）＜f（1）
B. f（2）＜f（3）
C. f（x）有2个极大值点，1个极小值点
D. f（x）的单调递减区间为（-2，2），（4，+∞）
10.在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.以下有关排列组合问题中正确的是（　　）
A. 有种不同的节目演出顺序
B. 当4个舞蹈节目接在一起时，有种不同的节目演出顺序
C. 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有种不同的演出顺序
D. 若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序
11.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），则下列说法正确的是（　　）
A. 若c=f′（1），则3a+2b=0
B. 若b=-3，且曲线y=f（x）的对称中心为（1，-2），则c=-1
C. 若b=-3，函数f（x）在R上单调递增，则ac≤3
D. 若bc＞0，且，则存在实数m,n（m≠n），使得f（m）=f（n）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=______．
13.已知a∈R，对任意t∈R，关于x的方程x2-aetx+t=0有实数解，则a2的最小值为 .
14.若的展开式中的常数项为1，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-x2+ax-1.
（1）若函数的极大值点是-1，求a的值；
（2）若函数f（x）有一正一负两个极值点，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球，其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球.
（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从甲箱中任取2个球，设取出的2个球的得分的和为X，求随机变量X的分布列；
（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球黑球的概率.
17.(本小题15分)
已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大.
（1）求奇数项的二项式系数和；
（2）a∈Z，且0≤a＜20，若f（-10）+a能被20整除，求a的值；
（3）求a0+2a1+3a2+…+（n+1）an的值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）当a=1时，x∈[1，3]，证明不等式f（x）＞-4lnx；
（3）当a∈R时，求函数f（x）的单调区间.
19.(本小题17分)
已知函数，曲线y=f（x）在点A（a,f（a））处的切线方程为l1.
（1）求函数f（x）的极值点的个数及极值；
（2）当-1＜a＜0时，证明：除切点A外，直线l1在曲线y=f（x）的下方.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】2．
15.【答案】a=-3 （-∞，0）
16.【答案】（1）根据题意，X可取的值为2，3，4，
X=2，即从甲箱中取出两个黑球，则P（X=2）==，
X=2，即从甲箱中取出一个黑球和一个白球，P（X=3）==，
X=4，即从甲箱中取出两个白球，P（X=4）==，
则X的分布列为：
X 2 3 4
P
（2）根据题意，设A=“从甲箱中取出两个黑球”，B=“从甲箱中取出一个黑球和一个白球”，C=“从甲箱中取出两个白球”，
事件D=“从乙箱中取出的这个球是黑球”，
则P（A）=，P（B）=，P（C）=，
P（D|A）=，P（D|B）=，P（D|C）=，
则P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=×+×+×=．
17.【答案】2048 19 25
18.【答案】解：（1）因为f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，则f（x）=x-lnx,且，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，
所以函数f（x）的最小值为f（1）=1．
（2）证明：当a=1时，则，
构建，
则在[1，3]内恒成立，
可知g（x）在[1，3]内单调递增，则，
所以当x∈[1，3]，f（x）＞-4lnx；
（3）因为f（x）的定义域为（0，+∞），且，
（i）若a≤0，可知1-ax＞0，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
可知f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（ⅱ）若a＞0，令f′（x）=0，解得x=1或，
①当，即a＞1时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当，即a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
③当，即0＜a＜1时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述：a≤0，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为；
a＞1，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
a=1，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
0＜a＜1，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
19.【答案】函数f（x）有一个极值点，极小值为0，无极大值 根据（1）知，，因此．
因此l1的方程为y-f（a）=f′（a）（x-a），即，
即．
令．
那么导函数．
令t（x）=f′（x），那么．
令t′（x）＜0，则1-ln（x+1）＜0，即x+1＞e，即x＞e-1．
令t′（x）＞0，则1-ln（x+1）＞0，即x+1＜e，即-1＜x＜e-1，
所以f′（x）=t（x）在（-1，e-1）上单调递增，在（e-1，+∞）上单调递减．
由于-1＜a＜0＜e-1，
所以当a＜x＜0时，h′（x）=f′（x）-f′（a）＞0，h（x）单调递增；当-1＜x＜a时，h′（x）=f′（x）-f′（a）＜0，h（x）单调递减，
当x≥0时，恒成立，f′（a）＜f′（0）=0恒成立，
因此导函数h′（x）=f′（x）-f′（a）＞0，h（x）单调递增．
所以h（x）≥h（a）=0恒成立，即f（x）≥g（x），
即除切点A外，函数y=g（x）的图象在曲线y=f（x）的下方，
即除切点A外，直线l1在曲线y=f（x）的下方
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