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2025-2026学年江苏省常州市北郊高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b,α之间的关系可记作（　　）
A. Q∈b∈α B. Q∈b α C. Q b α D. Q b∈α
2.在三棱锥A-BCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG=P，则点P（　　）
A. 一定在直线BD上 B. 一定在直线AC上
C. 在直线AC或BD上 D. 不在直线AC上，也不在直线BD上
3.已知平面向量与的夹角为120°，，，则=（　　）
A. 1 B. C. 2 D. 4
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==，则△ABC的形状是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形
5.已知复数z满足（1+3i）z=6-2i,则=（　　）
A. 2 B. 4 C. D. 8
6.已知平面α，两条不重合的直线l,m,则“存在直线m α，使l∥m”是“l∥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=6，b=6，c=4，则中线AD的长为（　　）
A. B. C. D.
8.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为4π，则圆锥的表面积为（　　）
A. B. 3π C. 6π D. 9π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A. 若|z|=1，则z=±1或z=±i
B. 若点Z的坐标为（3，4），且z是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=19
C. 若，则的实部为
D. 若2≤|z+4-3i|≤3，则点Z的集合所构成的图形的面积为5π
10.已知平面向量，则下列说法错误的是（　　）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当x=-2时，在方向上的投影向量为
D. 若和的夹角为钝角，则x的取值范围为
11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=3：5：7，且，则（　　）
A. △ABC三个内角A，B，C满足关系2（A+B）=C
B. △ABC的周长为15
C. 角平分线CD的长为
D. 若O为△ABC的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若∠A=45°，，，则∠B= .
13.如图，棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A′B′C′D′（含边界）上运动，若满足BC′∥平面EFG，则点G的轨迹长度为 .
14.平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（m2-6m+8）+（m2-m-6）i.
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内，复数z表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），设，，.
（1）若，求实数m,n的值；
（2）若M为线段BC靠近点C的三等分点，求点M的坐标.
（3）若与垂直，求λ的值.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，A1C1，B1C1的中点.
（1）证明：DE∥平面A1BF；
（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为18，求四棱锥A1-B1BCF的体积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.且满足c=1，b2-a2+c2=bc.
（1）求角A；
（2）若a=2，求△ABC的面积；
（3）点D在边BC上，AD=CD，E为AC中点，且，求角C的大小.
19.(本小题17分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy（α）仿射坐标系，在xOy（α）仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在xOy（α）仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求cosα；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】60°或120°
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2或4 （3，4）
16.【答案】m=-1，n=-1 （-1，-3）
17.【答案】连接EF，如图所示．
因为E，F分别是棱A1C1，B1C1的中点，
所以，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB=A1B1．
因为D是棱AB的中点，所以，
所以EF∥DB，EF=DB，所以四边形BDEF是平行四边形，DE∥BF，
因为BF 平面A1BF，DE 平面A1BF，
所以DE∥平面A1BF 9
18.【答案】
19.【答案】
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