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2025-2026学年湖南省株洲市石峰区九方中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x2-4x+3≤0}，则A∩B=（　　）
A. {x|1≤x≤2} B. {x|-1≤x≤2} C. {x|1≤x≤3} D. {x|-1≤x≤3}
2.已知命题p： x＞0，ln（x+2）≥0，则￢p为（　　）
A. x≤0，ln（x+2）＞0 B. x＞0，ln（x+2）＜0
C. x＞0，ln（x+2）＞0 D. x≤0，ln（x+2）≤0
3.已知复数，则复数z的模为（　　）
A. B. C. 2 D. 4
4.已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数m=（　　）
A. B. C. -1 D. 1
5.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则角A等于（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.已知x∈（e-1，1），记a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. c＜b＜a D. b＜c＜a
7.在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（　　）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列命题正确的有（　　）
A. 若b=1，c=2，，则a=
B. 若b=5，，，则
C. 若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形
D. 若A=60°，a=5，则△ABC面积的最大值为
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若（sinA+sinB）：（sinB+sinC）：（sinC+sinA）=9：11：10，则下列结论正确的的是（　　）
A. a：b：c=3：4：5 B. △ABC是锐角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍 D. 若a=2，则△ABC的面积为
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱C1D1上的动点（不含端点），下列说法中正确的有（　　）
A. DC∥平面BPD1 B. B1C⊥BP
C. 四面体PAB1C的体积为定值 D. 存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，A1C1⊥CC1，，CC1=1，则异面直线A1B与CC1所成角的余弦值为 .
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知sin（B+C）=sinBsinC，a=4，则△ABC的面积为 .
14.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）≥f（x）+1与f（x+1013）≤f（x）+1013恒成立，若f（x）与任意定义域为R的奇函数均有交点，则f（2026）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求角A；
（2）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设二面角F-BE-D为α，求sinα.
17.(本小题15分)
如图，已知矩形ABCD中，AB=8，，M、N分别是边AD、BC上的动点（不含端点），Q为边AB的中点，且∠MQN=120°，设∠AQM=α.
（1）求的值
（2）记△MQA面积为S1，△NQB面积为S2，求的取值范围
（3）记△MQN面积为S（α），求的最小值
（提示：）
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=BC=AD=2.
（1）若，记三棱锥P-ABC外接球的球心为O.
（i）求证：OD∥平面PAB；
（ii）求三棱锥P-ABC外接球的表面积.
（2）记，当时，求三棱锥P-BCD体积的最大值.
19.(本小题17分)
三个互不相同的函数y=f（x），y=g（x）与y=h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y=h（x）为y=f（x）与y=g（x）在区间D上的“分割函数”.
（1）设h1（x）=4x,h2（x）=x+1，试分别判断y=h1（x）、y=h2（x）是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”；
（3）若[m,n] [-2，2]，且存在实数k,b,使得y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n-m的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】2026
15.【答案】解：（1）在△ABC中，
∵，
∴sinAcosC+sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴，
∵sinC＞0，∴，
又∵A∈(0，π)，∴；
（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°，
又∵a=，∴b2+c2-bc=7，∴(b+c)2-3bc=7，
又 ∵，
∴bc=6，∴(b+c)2-18=7，∴b+c=5，
∴△ABC的周长为．
16.【答案】证明：因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥DE，
因为BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，
所以AC⊥平面BDE
17.【答案】64 （1，+∞）
18.【答案】（i）证明见解析；
（ii）；
．
19.【答案】解：（1）因为2x2-4x+2=2（x-1）2≥0恒成立，且4x-（-x2+4x）=x2≥0恒成立，所以当x∈R时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒成立，
故y=h1（x）是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；
又因为x+1-（-x2+4x）=x2-3x+1，当x=0与1时，其值分别为1与-1，
所以h2（x）≥-x2+4x与h2（x）≤-x2+4x在（-∞，+∞）上都不恒成立，
故h2（x）不是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；
（2）设y=ax2+cx+d（a≠0）是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”，
则2x2+2≥ax2+cx+d≥4x对一切实数x恒成立，
又因为（2x2+2）′=4x,当x=1时，它的值为4，
可知y=2x2+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x,
它也是y=ax2+cx+d的图象在x=1处的切线，
所以，可得，
所以2x2+2≥ax2+（4-2a）x+a≥4x对一切实数x恒成立，
即（2-a）（x-1）2≥0且a（x-1）2≥0对一切实数x恒成立，
可得2-a≥0且a＞0，即0＜a≤2，
又a=2时，y=ax2+（4-2a）x+a与y=2x2+2为相同函数，不合题意，
故所求的函数为y=ax2+（4-2a）x+a（0＜a＜2）；
（3）关于函数y=x4-4x2，令y′=8x3-8x=0，可得x=0，，
当x∈（-∞，-）与x∈（0，）时，y′＜0；当x∈（-，0）与x∈（，+∞）时，y′＞0，
可知是函数y=x4-4x2极小值点，0是极大值点，
该函数与y=4x2-16的图象如图所示：
由y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，
故存在b0使得b≤b0且直线y=kx+b0与y=x4-4x2的图象相切，并且切点横坐标t∈[-2，-]∪[，2]，
此时切线方程为y=（4t3-8t）x+4t2-3t4，
即k=4t3-8t,b0=4t2-3t4，
设直线y=kx+b与y=4x2-16的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），
则由，可得4x2-kx-16-b=0，
所以|x1-x2|==≤===（s=t2∈[2，4]），
令k（s）=s3-7s2+8s+16，s∈[2，4]，
则k′（s）=3s2-14s+8=（3s-2）（s-4）≤0，当s=4时，k′（s）=0，
所以k（s）在[2，4]上单调递减，
所以k（s）max=k（2）=12，
所以|x1-x2|max=2，
所以n-m的最大值为2．
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