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2025-2026学年湖北省仙桃市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i是虚数单位，若复数z满足（1-i）z=2+i,则在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知为不共线的非零向量，，，，则（　　）
A. A，B，C三点共线 B. A，B、D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
3.在△ABC中，，AC=1，B=30°，则A=（　　）
A. 45° B. 15°或105° C. 45°或135° D. 105°
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）
A. 6 B. 3 C. 12 D. 6
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，则△ABC一定为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
6.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 　　
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=8.取BC边中点D，连接AD，设E为AD中点，连接BE并延长与△ABC交于点F，则EF的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知锐角α，β满足，，则下列结论不可能成立的是（　　）
A. α=30° B. α=70° C. β=50° D. β=80°
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm,正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（　　）
A. 正四棱锥的高为
B. 该几何体的表面积为
C. 该几何体的体积为
D. 一只小蚂蚁从点E沿几何体的表面爬行到点S，它所经过的最短路程为
10.已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-13，+∞）
11.在△ABC中，AB=6，AC=4，O为△ABC边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（　　）
A. 若O为△ABC的重心，则λ+2μ=1
B. 若O为△ABC的外心，则
C. 若O为△ABC的内心，，则
D. 若O为△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形，则与共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a= .
13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E，则= .
14.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底O同一水平面内共线的三个点A，B，C，且在点A，B，C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°，45°，同时测得AB=40m,BC=60m（如图），则塔的高度为 m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，.
（1）设向量，的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）若和互相垂直，求k的值.
16.(本小题15分)
已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位.
（1）求z；
（2）若复数z是方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个解，求m-n的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且.
（1）求B；
（2）若D是边AC上靠近A的三等分点，a=2，，求△ABC的面积；
（3）若BD是∠ABC的角平分线，a=2，，求b的长.
18.(本小题17分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为x,y,2，且x≥y,x+y=2.
（1）当底面ABCD为正方形时，求长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积和体积；
（2）求三棱锥A1-BC1D体积的最大值；
（3）记三棱锥A1-BC1D外接球的表面积为S1，底面ABCD的面积为S2，求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足，A≠C.
（1）求证：B=2C；
（2）求的取值范围；
（3）若a=2，求三角形ABC面积的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】60
15.【答案】 或
16.【答案】z=4-2i m-n=-28
17.【答案】
18.【答案】10，2； ； [6π，+∞）．
19.【答案】证明：因为，A≠C，可得a≠c，
由正弦定理可得，即，
即b2=c2+ac，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
所以ac=a2-2accosB，
所以c=a-2ccosB，
由正弦定理可得sinC=sinA-2cosBsinC，
在△ABC中，sinA=sin（C+B）=sinCcosB+cosCsinB，
整理可得：sinC=sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C），
因为△ABC为锐角三角形，故，，
所以，
又函数y=sinx在上单调递增，
故C=B-C，即B=2C
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