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2025-2026学年河南省南阳市方城第一高级中学卓越班高二（下）期中数学模拟试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）=-2，则的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 4
2.已知函数f（x）=（x+a）2（x+1）在x=1处有极小值，则a=（　　）
A. -1 B. -5 C. -1或-5 D. -1或5
3.已知等比数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若，则a7=（　　）
A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4
4.已知数列{an}的首项a1=1，且满足，则数列{an}（　　）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减
5.设数列{an}满足，则{an}的前2026项和为（　　）
A. 32026-1 B. 32026 C. 32027-1 D. 32027
6.记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（2）=1，且 x∈R，f′（x）＜f（x），若关于x的不等式f（ax+1）＜eax-1在x∈[1，2]上有解，则a的取值范围为（　　）
A. （-∞，1） B. C. （1，+∞） D.
7.若经过点（0，-2）的直线l既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=ex-a（a∈R）相切，则a=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. e
8.已知函数，若不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=9，3an=an+1+2an-1+10（n≥2），设bn=an+1-an，则（　　）
A. a3=15 B. 数列{bn-10}为等比数列
C. D. Sn的最大值为53
10.如图是璃典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，记第n个图形的边数为an，第n个图形的周长为bn，则（　　）
A. a3=48
B. a6=1024
C. 数列{log3bn}是等差数列
D. 若对任意n∈N*恒成立，则
11.已知函数f（x）=ex-ax2，其中a∈R，则（　　）
A. 若函数f（x）有且仅有1个零点，则
B. 若函数f（x）有且仅有2个极值点，则a的取值范围是
C. 不存在a∈R，使函数f（x）存在唯一的极值点
D. 若对 x＞0，f（x）≥0恒成立，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为 ；的值为 .
13.{2n+3}与{7n-1}的公共项从小到大构成新数列{an}，则的最小项为 .
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
已知函数f（x）=-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是______．
15.(本小题13分)
学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好.某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：
x 60 70 80 90 100 110 120 130
y 92 109 114 120 119 121 121 122
（1）从三个函数①y=bx+a.②y=m xk（m＞0，k＞0）.③y=cx2+dx+f中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由.
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考数据：，，，e3.25≈25.79.
16.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=3，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn，并证明：.
17.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=1，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列{an an+1}的前n项和Sn；
（3）设，且，m∈Z，求m的最大值.
18.(本小题17分)
已知函数，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a≤1时，判断函数f（x）的零点个数.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx,a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）当a=0时，证明：f（x）＜ex+x-1；
（3）若a＞0，b∈R，对任意的x＞0，f（x）≥b-a恒成立，求b+2a的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】

13.【答案】-69
14.【答案】（0，）
15.【答案】解：（1）根据题意可知，x增大时，y值整体呈上升趋势但存在局部波动，
选择②作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适；
（2）对y=m xk（m＞0，k＞0）两边取以e为底的对数可得lny=klnx+lnm,
设u=lnx,v=lny,则，
，
，所以v=0.33u+3.25，
故lny=0.33lnx+3.25，即，所以．

16.【答案】an=2n-1 ；证明：因为，
所以，
所以，
所以
=，
所以，
因为
=，
所以Tn+1＞Tn，
所以{Tn}是单调递增数列，所以，
因为n∈N*，所以，所以．
综上：
17.【答案】由，可得=+2，
即有数列是首项为1，公差为2的等差数列 Sn= 9
18.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减 当时，函数f（x）无零点；当或0≤a≤1时，函数f（x）的零点个数为1；当时，函数f（x）的零点个数为2
19.【答案】 证明：由题意函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R，
当a=0时，只需证明xlnx＜ex+x-1，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，xlnx＜0，ex+x-1＞0，此时xlnx＜ex+x-1成立，
当x∈[1，+∞）时，令g（x）=ex+x-1-xlnx，g′（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx，
令m（x）=ex-lnx，则，
因为在区间[1，+∞）上单调递减，y=ex在区间[1，+∞）上单调递增，
所以m′（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
因为m′（1）=e-1＞0，所以x∈[1，+∞）时，m′（x）＞0，
所以g′（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以g′（x）min=g′（1）=e-ln1=e＞0，
所以g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）=e+1-1-1ln1=e＞0，
所以xlnx＜ex+x-1，
综上可得xlnx＜ex+x-1成立 3 e3
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