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2025-2026学年河北省保定市定州中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本和人文自然类文本各一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（　　）
A. 56种 B. 28种 C. 24种 D. 30种
2.已知函数f（x）=sin（πx）+lnx,则f′（1）=（　　）
A. B. π+1 C. π-1 D. -π+1
3.函数f（x）=x3-9x在[0，1]上的值域为（　　）
A. [-8，0] B. [-8，1] C. [-9，0] D. [-9，1]
4.若，则n的最小值为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为20，则a=（　　）
A. 4 B. -2 C. 2 D. 3
6.将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（　　）
A. 7 B. 10 C. 13 D. 16
7.已知直线l：y=mx-2与曲线y=2lnx和y=ex+n都相切，则实数n的值为（　　）
A. 4-2ln2 B. ln2-4 C. 2ln2-4 D. 2ln2-2
8.已知函数f（x）=a（ax2+x）-lnx,a＜0，若b≤f（x）恒成立，则的最小值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的图象大致如图所示，则（　　）
A. a是f（x）的极大值点
B. c是f（x）的极小值点
C. f（x）在（-∞，c）上单调递减，在（c,+∞）上单调递增
D. f（x）在（-∞，a）和（b,+∞）上单调递增，在（a,b）上单调递减
10.已知m,n,k∈N，且n≥m≥2，则下列等式一定正确的是（　　）
A. B.
C. D.
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（　　）
A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有的数字之和为2n
B. 在“杨辉三角”第2n行的数中，从左到右第n+1个数最大
C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为
D. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则的值恰好是第2n行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）满足f′（8）=2，则= .
13.已知（1+2x）8+（1-2x）8=a0+a1x+…+a8x8，则a1+a3+a5+a7= .
14.将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成A，B两个工作小组，然后从A组中选择2人干工作a,其余2人干工作b；从B组中选择1人干工作c,其余3人干工作a,已知甲不能干工作a,乙要干工作b,丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第6项的二项式系数相等.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x3项的系数（用数字作答）；
（3）若展开式中，第k（k∈N*）项为有理项，求k的取值集合.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2+asinx+b,曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x-1.
（1）求a,b；
（2）若函数g（x）=f（x）-kx在区间上单调递增，求k的取值范围.
17.(本小题15分)
为了帮助学生们进入理想大学，现在有甲、乙、丙三位教师无偿指导五名学生a,b,c,d,e填报志愿.
（1）若每位教师指导且只指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；
（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-x2+1.
（1）若函数f′（x）为f（x）的导函数，判断f′（x）在R上的零点个数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞2x-1；
（3）设，若存在x1∈[0，1]，对任意x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）.
（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围.
（3）若函数f（x）在[1，e2]上有且仅有2个零点，求实数a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】0
14.【答案】68
15.【答案】9 18 k∈{2，4，6，8，10}
16.【答案】a=2，b=-1
17.【答案】60种 70种
18.【答案】0个 证明：令k（x）=f（x）-2x+1=ex-x2-2x+2且x＞0，
则k′（x）=ex-2x-2，
令 （x）=k′（x）=ex-2x-2，
则 ′（x）=ex-2，且在（0，+∞）上单调递增，
结合（1）知0＜x＜ln2时， ′（x）＜0， （x）=k′（x）在（0，ln2）上单调递减，
x＞ln2时， ′（x）＞0， （x）=k′（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
所以，
所以，使，
综上，0＜x＜x0时，k′（x）＜0，k（x）在（0，x0）上单调递减，
x＞x0时，k′（x）＞0，k（x）在（x0，+∞）上单调递增，
所以，
所以x＞0时，f（x）＞2x-1，得证 （-∞，e+1-ln2]
19.【答案】极大值为-1，无极小值 （-∞，-] （]
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