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2025-2026学年广东省深圳市实验学校高中园高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列导数运算正确的是（　　）
A. B.
C. （x2lnx）′=2xlnx D. （e-x）′=e-x
2.若D（X）=2，则D（3X+2）=（　　）
A. 2 B. 6 C. 8 D. 18
3.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（　　）
A. 72种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
4.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为（　　）
A. 0.78 B. 0.8 C. 0.82 D. 0.84
5.展开式中x3的系数为（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
6.将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（　　）
A. 36种 B. 24种 C. 14种 D. 12种
7.记Tn为数列{an}的前n项积，已知=3，则T10=（　　）
A. B. C. D.
8.直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有三个互不相同的公共点，则a的取值范围为（　　）
A. （-2，0） B. [-2，0] C. （-2，2） D. [-2，2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量X的分布列如下表：
X -1 0 1 2
P m n
若，则（　　）
A. B. C. D.
10.在二项式的展开式中，正确的说法是（　　）
A. 常数项是第3项 B. 各项的系数和是1
C. 偶数项的二项式系数和为32 D. 第4项的二项式系数最大
11.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线y=-1上的射影分别为A1，B1，则（　　）
A. |AB|的最小值是
B. ∠A1FB1是直角
C. 若|AF|=4|BF|，则直线AB的斜率为
D. 若M（5，13），则△AMF的周长的最小值为27
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y=2t2+1，那么该物体在t=2s时的瞬时速度是______m/s.
13.对于随机事件A，B，若，，，则P（A|B）= ______.
14.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了数表．

该数表的第一行是数列{n}，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为 ，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和Sn= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1=1，a2+a3=12，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{bn-an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
函数f（x）=ax2+blnx+x,曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）的单调区间和极值.
17.(本小题15分)
某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相间的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字，清费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代盒券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率．
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E（X）．
（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元．若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点.
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上.
（i）若，F为椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C相交于另一点Q，求线段PQ的长度；
（ii）直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-ex.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当x∈（0，+∞）时，若f（x）≤xlnx-x2恒成立，求实数a的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】52
n2n-1

15.【答案】解：（1）因为{an}是正数等比数列，且a1=1，a2+a3=12，
所以，
即q2+q-12=0，
分解得（q+4）（q-3）=0，
又因为an＞0，所以q=3，
所以数列{an}的通项公式为；
（2）因为{bn-an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以bn-an=1+（n-1）×2=2n-1，
所以，
所以Tn=b1+b2+…+bn=（30+1）+（31+3）+…+（3n-1+2n-1），
=（30+31+…+3n-1）+（1+3+…+2n-1），
=，
=．
16.【答案】a=-1，b=3 f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值
17.【答案】解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字”为事件A，则，
所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是；
（2）随机变量X的所有可能取值为0，10，20，
则，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 10 20
P
；
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y=X-5，
所以，因此消费者不愿意再次参加该项抽奖活动．
18.【答案】椭圆C的方程为，离心率 （i）；（ii）设P（x0，y0），x0＜0，y0＜0，A（2，0），B（0，1），
直线，令x=0，得，即
直线BP：，令y=0，得，即，
，，
所以四边形ABNM的面积为，
=
=
=
=
所以四边形ABNM的面积为定值2
19.【答案】y=（1-e2）x+e2 a≤0时，f（x）的单调递减区间是（-∞，+∞），无单调递增区间，
a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，lna），单调递减区间是（lna，+∞） e-1
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