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第2课时 反比例函数的图象和性质(1)
第21章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
反比例函数的图象和性质
【合作探究】
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般为：
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
1
解：列表如下：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
-2
-2.4
-3
-4
-6
6
4
3
2.4
2
-12
12
-1
-5
-4
-6
O
-2
x
1
2
3
4
5
6
-3
5
6
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象.
观察这两个函数图象，回答下列问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？
你能由它们的解析式说明原因吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，
考虑问题 (1)(2)，你能得出同
样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
知识要点
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
【练一练】
2. 已知反比例函数 的图象过点 (－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与 y2
的大小关系为 ( )
A. y1 ＞ y2
B. y1 = y2
C. y1 ＜ y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 ＞5，可知 y1，y2 的大小关系.
【类比与思考】
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
知识要点
函数 图象形状 图象位置 图象变化
趋势 函数值
增减规律
在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限
k＞0
k＜0
在每一个曲线上，y 都随 x 的增大而减小
在每一个曲线上，y 都随 x 的增大而增大
归纳总结
3. 点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞” “＜”或“=”).
＜
练一练
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、三象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6) 在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1) (3)
5. 反比例函数 　　(k＞0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1＞x2＞0，则 y1－y2 0.
＜
7. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5 = －1，
m＞0，
解得 m = 2.
8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，-4).
(1) 求 k 的值；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，-4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化
解：这个函数的图象位于第二、四象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(4) 点 B (1，-8) ，C (-3，5) 是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
解：该反比例函数的解析式为 .
能力提升：
9. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2) 在反比例函数
(k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵ y1＜y2，∴ a－1＞a＋1，无解；
② 当这两点分别位于图象的两支上时，
∵ y1＜y2，∴ 必有 y1＜0＜y2.
∴ a－1＜0，a＋1＞0， 解得－1＜a＜1.
故 a 的取值范围是 －1＜a＜1.
反比例函数 (k ≠ 0) k k ＞ 0 k ＜ 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大

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