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第3课时 反比例函数的图象和性质(2)
第21章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
问题1 反比例函数的图象是什么？
问题2 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
反比例函数的图象和性质的运用
1
(1) 如果这个函数图象经过点 (-3，5)，求 k 的值；
例1 已知反比例函数
解：(1) 因为函数图象经过点 (-3，5)，代入函数的表达式，得 .
解得 k = -7.
(2) 根据题意，有 2k - 1＞0. 解得 k＞
(2) 如果当 x > 0 或 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围.
例1 已知反比例函数
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O
x
y
【练一练】1. 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的每一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时，
y1＜y2.
反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格：
【合作探究】
2
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 的图象
上也用同样的方法取 P，Q 两
点，并分别向两坐标轴引垂线，
围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格：
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = -k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = | k |.
y
x
O
P
S
我们就 k＜0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵ 点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab = k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k.
若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0.
若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k.
B
P
A
综上可知，
S矩形 AOBP = |k|.
自己尝试证明
k ＞ 0的情况.
k＞0 的情况请同学们自行证明！
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 (k ≠ 0)，
A
B
| k |
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( )
A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC
C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB
2. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点
y
x
O
A
B
C
C
【练一练】
3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
-12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0.
y
x
O
P
A
4. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线
PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2.
例2 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上
【典例精析】
2
S1
S2
＞
＝
S3
5.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，
【练一练】
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3
F
S1
S2
S3
P是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 ＜ S3
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
【合作探究】
①
x
y
O
x
y
O
②
3
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
例3 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
k＞0
由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
6. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
a＞0，
a＜0，矛盾
a＞0
a＞0，成立
不满足与 y 轴交点为（0，1）
a＜0，
a＞0，矛盾
练一练
例4 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y = k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
例5 正比例函数 y = kx 与反比例函数 的图象都经过点 A(m，2).
(1) 求 k，m 的值；
解 (1) 将点 A 的坐标 (m，2) 代人反比例函数，得
解方程，得 m = 3.
将点 A 的坐标 (3，2) 代人正比例函数，得 2 = 3k.
解方程，得
(2) 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y = kx 和反比例函数 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围.
如图，由图象可知，这两个函数的图象有两个交点，交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2).
所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为 x > 3 或 -3< x < 0.
你能用代数的方法得到这两
个函数图象的交点坐标吗？
由 (1) 得，正比例函数解析式为
联立
解得 或
x = 3，
y = 2，
x = -3，
y = -2.
交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2).
例6 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.
7.如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围
是 ．
－1
2
y
x
O
A
B
x < －1 或 0 < x < 2
练一练
1. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
B
2. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，
则 m 的取值范围是________.
m ＞ 2
3. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
y
D
B
A
C
x
3
2
5
4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围
5. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：由题意得
，
y = －x + 2，
所以 A (－2，4)，B (4，－2).
解得 或
x = 4，
y =－2，
x = －2，
y = 4.
作 AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于 D，
则 AC = 4，BD = 2.
(2) 求△AOB 的面积.
解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM = 2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB = OM·BD÷2 = 2×2÷2 = 2.
∴S△OMA = OM·AC÷2 = 2×4÷2 = 4.
∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6.
面积问题
→面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数的图象和性质的综合运用

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