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2025-2026学年广东省茂名市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数，则=（　　）
A. B. C. D.
2.=（　　）
A. B. C. D.
3.若1，a，b，c，4成等比数列，则abc=（　　）
A. 16 B. 8 C. -8 D. ±8
4.曲线y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线的斜率为( )
A. 2 B. 3 C. D.
5.如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.若，则n=（　　）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
7.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中h（t）（单位：cm）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，t=（　　）
A. 1 B. C. D.
8.已知等比数列{an}满足a3+a4=lna3，若a1＞1，则（　　）
A. a3＜1，a2＞a4 B. a3＜1，a2＜a4 C. a3＞1，a2＞a4 D. a3＞1，a2＜a4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列问题属于排列问题的是（　　）
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10.如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）以下结论中正确的有（　　）
A. k的取值范围是
B. 函数f（x）=kx-lnx有两个极值点
C. 当时x∈（x1，x2），f（x）=kx-lnx先减后增且恒为负
D.
11.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有A，B，C，D，E，F，G共7个节目，则下列结论正确的是（　　）
A. 若节目A与节目B相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目E与节目F不相邻，则共有3600种不同的安排方法
C. 若节目C在节目D之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则m= .
13.已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前n项和等于 ．
14.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+x2-8x+7.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若方程f（x）=a恰有一个实数解，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（x∈N*）
乘坐站数 0＜x≤4 4＜x≤9 9＜x≤15
票价（元） 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站.
（1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
17.(本小题15分)
在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn-2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
若数列{an}的首项a1=1，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）求{an}的前n项和Sn.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-x.
（1）求证：f（x）≤-1；
（2）设函数.
①若x＞1时，函数h（x）单调递增，求a的取值范围；
②若函数h（x）无零点，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】10
13.【答案】2n-1
14.【答案】（-1，+∞）
15.【答案】f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和，单调递减区间为，
f（x）的极大值为f（-2）=19，f（x）的极小值为
16.【答案】解：（1）若甲、乙两人共付车费6元，
则其中一人乘坐地铁站数不超过4站，另外一人乘坐地铁站数超过4站且不超过9站，
共有（种），
故甲、乙下地铁的方案共有40种．
（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过4站，乙乘地铁站数超过9站且不超过15站，有（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站，记地铁第五站至第九站分别为P5，P6，P7，P8，P9，
易知甲比乙先下地铁有以下四种情形：
①甲P5站下，乙下地铁方式有种；
②甲P6站下，乙下地铁方式有种；
③甲P7站下，乙下地铁方式有种；
④甲P8站下，乙只能从P9下地铁，共有1种方式，共有10（种），
依据分类加法计数原理，得24+10=34（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有34种．
17.【答案】an=2n-1，
18.【答案】证明：已知，则，
整理得：，
即，又因为首项，
因此是首项为-2、公比为-1的等比数列，得证
19.【答案】证明：函数f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞），．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x=1处取得极大值，即最大值，最大值为f（1）=-1．
所以f（x）≤-1 ①；②
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