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2025-2026学年广东省惠州市惠东县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（y-2x）8的展开式中的第6项的二项式系数是（　　）
A. B. C. D.
2.已知函数f（x）的图象如图所示，下列正确的是（　　）
A. f′（2）＜f′（3）＜f（3）-f（2）
B. f（3）-f（2）＜f′（2）＜f′（3）
C. f′（3）＜f′（2）＜f（3）-f（2）
D. f′（3）＜f（3）-f（2）＜f′（2）
3.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3 0.1
若随机变量Y=|X-1|，则P（Y=1）=（　　）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4.设A B，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P（A|B）=（　　）
A. 1 B. C. D.
5.已知函数f（x）=2lnx-x2+x,则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A. y=x-1 B. y=x+1 C. y=2x-1 D. y=1
6.已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=e,且f′（x）-f（x）＜0，则不等式f（x+1）＞ex+1的解集是（　　）
A. （2，+∞） B. （-∞，2） C. （0，+∞） D. （-∞，0）
7.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（　　）
A. 44 B. 43 C. 42 D. 41
8.已知函数f（x）=ex+e-x+cosx-3，若对，f（mx+1）≤f（x-2），则m的取值范围为（　　）
A. [-5，-1] B. [-5，0] C. [-2，1] D. [-2，0]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知离散型随机变量X的分布列为
X 2 4 6 8
P a
则（　　）
A. B.
C. D.
10.设函数f（x）=（3x-1）9，且记，则（　　）
A. 数列{an}的首项为-1 B. 数列{an}的前10项和为512
C. 数列{（-1）nan}的前10项和为-49 D. 数列的前10项和为0
11.已知函数，则（　　）
A. x=e是函数f（x）的极小值点
B. 对 k≥3，方程f（x）-k=0恒有两个不同的实数解
C. πln2＞2lnπ
D. 存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种.
13.二项式的展开式中的常数项为 .
14.已知函数，函数g（x）=f（x）-m恰有3个零点，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为30%、40%、30%.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为0.02；是中午投放的条件下，违规混投的概率为0.03；是晚上投放的条件下，违规混投的概率为0.04.现随机抽查一袋垃圾，求：
（1）这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率；
（2）这袋垃圾存在违规混投的概率；
（3）若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=3，AB=2，∠ABC=60°，M为AD的中点.
（1）证明：PM⊥AC；
（2）求直线AB与平面PMC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且|AB|=4，椭圆C离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线x=4上.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】18
13.【答案】15
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意，得，
当，
当n=1时，a1=S1=1，适合上式，
∴an=2n-1．
（2）由（1）可得=，
所以
=．
16.【答案】0.012； 0.03； 0.4．
17.【答案】取AB的中点为N，连接PN，MN，BD．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为M，N分别是AD，AB的中点，所以MN∥BD，
所以AC⊥MN．
由PA=PB，得PN⊥AB，
而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PN 平面PAB，
故PN⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，所以AC⊥PN．
又MN∩PN=N，MN，PN 平面PMN，
所以AC⊥平面PMN．
而PM 平面PMN，
故PM⊥AC
18.【答案】当a≤0，f（x）的递增区间是（-∞，+∞），没有单调递减区间，
若a＞0，f（x）的递减区间是（-∞，lna），递增区间是（lna，+∞） （-∞，e-1]
19.【答案】解：（Ⅰ）因为|AB|=4，椭圆C离心率为，
所以解得a2=4，b2=3．
所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）①若直线l的斜率不存在时，如图，
因为椭圆C的右焦点为（1，0），所以直线l的方程是x=1．
所以点M的坐标是，点N的坐标是．
所以直线AM的方程是，
直线BN的方程是．
所以直线AM，BN的交点Q的坐标是（4，3）．
所以点（4，3）在直线x=4上．
②若直线l的斜率存在时，如图．
设直线l的斜率为k，所以直线l的方程为y=k（x-1）．
联立方程组
消去y，整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
显然△＞0． 不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），
所以，．
所以直线AM的方程是． 令x=4，得．
直线BN的方程是． 令x=4，得．
所以=
=
6k（x1-1）（x2-2）-2k（x1+2）（x2-1）
=2k[3（x1x2-x2-2x1+2）-（x1x2-x1+2x2-2）]
=2k[2x1x2-5（x1+x2）+8]
=
==0．
所以点Q在直线x=4上．
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