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21.1 二次函数
第21章 二次函数与反比例函数
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗
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1. 什么叫函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
问题1 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
二次函数的定义
1
解 设围成的矩形水面的一边长为 x m，面积为 S m ，则有
S = x(20 - x)
S = - x2 + 20x
对于 x 的每一个值，S 都有唯一确定的对应值，即 S 是 x 的函数.
追问：S 与 x 是函数关系吗？
问题2 某公司今年 1 月销售额为 100 万元. 公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为 x. 按此计划，3 月的销售额是多少万元？
解 按题意，2 月的销售额为 100(1 + x) 万元.
设 3 月的销售额为 y 万元，则有
y = 100(1 + x)2
y = 100x2 + 200x + 100
对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
追问：y 与 x 是函数关系吗？
问题3 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足
h = 10t - ×10t2 + 0.2.
排球离地面的最大高度是多少？
h = -5t2 + 10t + 0.2.
追问：h 与 t 是函数关系吗？
对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数.
问题 1~3 中的函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次整式表示的
S = - x2 + 20x
y = 100x2 + 200x + 100
h = -5t2 + 10t + 0.2.
想一想
二次函数的定义：
一般地，表达式形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
（2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0；
（3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
知识要点
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x ； ③ y = x2；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = (x+3) - x .
不一定是，缺少 a≠0 的条件.
不是，右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
y = 6x + 9
典例精析
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等.
方法归纳
解：
（1）由题意知
解得
（2）由题意知
解得 m = 3.
第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
注意
例2
(1) 当 m 取何值时，此函数是
正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？
典例精析
1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数.
解：
由题意得
所以 m ≠ ±3.
练一练
解：
由题意得
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
思考：在问题1 中，所得出 S 关于 x 的函数关系式 S = - x2 + 20x，其自变量 x 的取值有什么限制吗？
x＞20
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际情况，使实际问题有意义.
例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式.
解：∵ AB 边长为 x 米，
∴ y＝ (30－x)x＝
∴ AD 边长为 (30－x) 米.
(0＜x＜30).
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
注意
二次函数的值
例4 已知二次函数 (k 为常数).
（1）求 k 的值；
（2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 k = 2.
将 x = 0.5 代入函数关系式，得
（2）当 k = 2 时，
2
此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值.
归纳总结
【练一练】某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元. 每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件.
(1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式；
解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利润增加了 2(x－1) 元.
则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)].
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
(2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次.
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得 x2－18x＋72＝0，
解得 x1＝12 (舍去)，x2＝6．
所以，该产品的质量档次为第 6 档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( )
A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0
C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
C
1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数.
1
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y = 2x＋1 B．
C．y = 3x2＋1 D．
C
5. 若函数 是二次函数，求：
（1）a 的值；
（2）函数表达式；
（3）当 x = -2 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 a = -1.
（2）函数表达式为
（3）将 x = -2 代入函数关系式中，得
6. 写出下列各函数关系式，并判断它们的函数类型.
（1）正方体的表面积 S (cm2) 与正方体棱长 a (cm) 之间的函数关系；
（2）圆的面积 y (cm2) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为 26 cm，求菱形的面积 S (cm2) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系.
二次函数
二次函数
二次函数
7. 某商店销售一种成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少；
（2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）.
450 kg，6750 元
8. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求：
（1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）当 x = 3 时矩形的面积.
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15，
即矩形的面积为 15 cm2.
二次函数
定 义
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
一般形式
右边是整式；
自变量的最高指数是 2；
二次项系数 a ≠ 0.
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c.
(a ≠ 0，a，b，c 是常数)

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