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2025-2026学年广东省河源中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2+2x-8＜0}，B={x||x|≤2}，则A∩B=（　　）
A. （-4，-2） B. （-2，2） C. [-2，2） D. [-2，2]
2.设复数，则的虚部是（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3.已知向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
5.若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向左平移φ个单位后在区间上单调递增，则φ=（　　）
A. B. C. D.
6.若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. c＜a＜b B. c＜b＜a C. a＜c＜b D. b＜c＜a
7.已知椭圆C1：与双曲线C2：的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）
A. e1e2＞2 B. e1+e2＞2 C. 0＜e1e2＜2 D. 0＜e1+e2＜2
8.已知球O与圆台O1O2的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1、r2，且2r1≤r2.若球和圆台的体积分别为V1和V2，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（　　）
A. 样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B. 样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C. 样本乙的方差一定小于样本甲的方差 D. 样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
10.已知，则（　　）
A. f（2）=f（4） B. f（x）在（0，e）上单调递增
C. x0，使f（x0）=-2 D. x0，使f（x0）=2
11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x,y轴的非负半轴交于A，B两点，若|OA|+|OB|=1恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（　　）
A. 曲线C关于直线y=x和y=-x都对称
B. 曲线C上的点到和到直线y=-x的距离相等
C. 曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D. 曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，则数列的前100项和T100= .
13.已知直线l：y=kx是曲线f（x）=ex+1和g（x）=lnx+a的公切线，则实数a= ______.
14.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足.
（1）求角A的大小；
（2）若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=ln（x+2）.
（1）求曲线y=f（x）在x=-1处的切线方程；
（2）若函数h（x）=f（x）-a（x+2）有且只有两个零点，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，M是BC中点，N是PD中点.
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）若，求平面PCD与平面GMN的夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知抛物线C1：x2=y的焦点为F1，抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为F2，|F1F2|=，A，B，C为C1上不同的三点.
（1）求C2的标准方程；
（2）若直线BC过点F1，且斜率k≥0，求△F2BC面积的最小值；
（3）若直线AB，AC与C2相切，求证：直线BC也与C2相切.
19.(本小题17分)
如果n项有穷数列{an}满足a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i=1，2，…，n），则称有穷数列{an}为“对称数列”.
（1）设数列（bn）是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2=3，b5=5，依次写出数列{bn}的每一项；
（2）设数列{cn}是项数为2k-1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|cn+1-cn|=2，记Sn为数列{cn}的前n项和.
①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck=2023.当k为何值时，S2k-1取得最大值？
②若ck=2024，且S2k-1=2024，求k的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】

15.【答案】解：（1）由题意知△ABC中，，
故，即，
即，
所以，而B∈（0，π），∴sinB≠0，
故，即，
又A∈（0，π），故；
（2）由余弦定理：，
又S△ABD+S△ACD=S△ABC，
所以，所以，
所以，当且仅当b=c时，取等号，
则的最小值为2．
16.【答案】y=x+1
17.【答案】证明：（1）设AP的中点为E，连接BE，EN，如图所示，
由M，N分别为BC，PD的中点可得BM∥AD，BM=AD，EN∥AD，EN=AD，
∴BM=EN，且BM∥EN，∴四边形BMNE为平行四边形，∴MN∥BE，
又MN 面PAB，BE 面PAB，∴MN∥面PAB；
（2）由PA⊥面ABCD，AB⊥AD，以A坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2），M（2，1，0），N（0，1，1），
=（2，2，-2），=（0，2，-2），=（-2，0，1），=（-2，-1，2），
由，可得==（，，-），∴=+=（-，，），
设面PCD的法向量为=（x1，y1，z1），
则，即，令y1=1，则z1=0，x1=0，∴=（0，1，1），
设面MNG的法向量为=（x2，y2，z2），
则，即，令x2=1，则z2=2，y2=-1，∴=（1，-1，2），
∴|cos＜，＞|====，
∴平面PCD与平面GMN的夹角的余弦值为．
18.【答案】（1）解：根据题意知，，，，
因为p＞0，解得p=2，F（1，0），抛物线C2的标准方程为y2=4x；
（2）解：设直线BC为，代入C1，得x2-kx-=0，且Δ＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则有x2+x3=k,；
点F2到直线BC的距离为，
，
△F2BC的面积为=d|BC|=××（1+k2）=，
设，则，
所以函数f（k）在[0，+∞）上单调递增，所以f（k）min=f（0）=，所以△F2BC面积的最小值为．
（3）证明：直线AB的方程为，
因为，，所以，
即y=（x2+x1）x-x1x2，代入到y2=4x,得：，
则Δ1=16+16（x2+x1）x1x2=0，即x2y1+x1y2+1=0，①
同理直线AC的方程为y=（x3+x1）x-x1x3，代入到y2=4x,得：，
则Δ2=16+16（x3+x1）x1x3=0，即x3y1+x1y3+1=0，②
显然B（x2，y2），C（x3，y3）满足方程xy1+yx1+1=0，
再将直线BC代入到y2=4x,得：，，
所以直线BC也与C2相切．
19.【答案】解：（1）因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”，所以b5=b3=5，
又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差d=b3-b2=2，……3分
所以数列{bn}的7项依次为1，3，5，7，5，3，1．………4分
（2）①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k-1的“对称数列”且满足|cn+1-cn|=2，
可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1，…，c2k-1构成公差为-2的等差数列，……6分
故S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2（ck+ck-1+…+c2k-1）-ck
=，….8分
所以当时，S2k-1取得最大值．……9分
②因为|cn+1-cn|=2，即cn+1-cn=±2，
所以cn+1-cn≥-2，即cn+1≥cn-2，
于是ck≥ck-1-2≥ck-2-4≥ ≥c1-2（k-1），……11分
因为数列{cn}是“对称数列”，所以S2k-1=c1+c2+…+c2k-1=2（c1+c2+…+ck-1）+ck）
，……13分
因为S2k-1=2024，故-2k2+4052k-2026≤2024，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，……15分
当c1，c2，…，ck构成公差为-2的等差数列时，满足c1=2024，且S2k-1=2024，
此时k=2025，所以k的最小值为2025．……………17分
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