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2025-2026学年广东省广州市天河外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
2.计算×的结果是（　　）
A. 2 B. 7 C. 14 D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　）
A. 70°
B. 110°
C. 120°
D. 140°
4.下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（　　）米.
A. 3
B. 4
C. 5
D.
6.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）
A. AB=BC
B. AD=BC
C. OA=OB
D. AC⊥BD
7.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=6，BD=8，则OM的长为（　　）
A.
B. 4
C. 5
D.
8.如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F.若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 1.5
B. 3
C. 6
D. 4
10.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，∠ABD=30°，∠BDC=120°，AB=CD=2，则EF的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米长．
12.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
13.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且，则△ABC的面积为 .
14.计算的结果为 .
15.在 ABCD中，AB=2，BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交点为O，EF=1.OB2+OC2的值为 .（提示：请画图）
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线.
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F.
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H.
（4）作射线AH.
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M.
（6）连接MC、MB，MB分别交AC、AD于点N、P.有下列结论：
①BD=CD；
②∠ABM=15°；
③∠APN=∠ANP；
④.
其中，正确的是 （填序号）.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上.
（1）在图①中画一条长度为的线段；
（2）在图②中画一个面积为5的正方形.
19.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，BM⊥AD，垂足为M；BN⊥CD，垂足为N.
（1）求证：AM=CN.
（2）若∠A=80°，则∠MBN的度数为______.
20.(本小题8分)
【阅读材料】问题：已知，求x2-2x+2的值.
小明的做法是：
∵，
∴.
∴（x-1）2=3.
∴x2-2x+1=3.
∴x2-2x=2.
∴x2-2x+2=2+2=4.
小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答.
小丽的做法是：
∵x2-2x+2=x2-2x+1+1=（x-1）2+1，
∴当时，原式=.
小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答.
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求x2-4x+1的值”；
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知x=，求4x3+10x2的值.
21.(本小题10分)
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE=BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积.
23.(本小题10分)
已知a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高.
（1）下列说法正确的是______.
A.a2、b2、c2能组成三角形；
B.、、能组成直角三角形三边；
C.a+b、c+h、h能组成直角三角形三边；
D.、、能组成直角三角形三边.
（2）请选择一个正确选项进行证明.
24.(本小题14分)
如图1所示，四边形ABCD是矩形，AD=2，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，使点A、点C都恰好落在点O处.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）点M是直线BD上的一个动点，请在图1中，作MG⊥DF于G，作MH⊥FB于H，MG+MF的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由；
（3）如图2，若P是线段ED上的动点，求2AP+PD的最小值.
25.(本小题14分)
定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”.如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”.
（1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有______.
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N.①求证：四边形MECN是“忧乐四边形”.②若AB=3，AD=5；当△ADN是直角三角形时，请求出线段CN的长.
（3）如图1，在四边形ABCD中，AD=AB，∠DAB=60°，∠DCB=60°，线段AC、BC之间存在怎样的数量关系？
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】17
12.【答案】x≥1
13.【答案】30
14.【答案】60
15.【答案】9或25
16.【答案】①②
17.【答案】0 6
18.【答案】如图，AB即为所求； 如图，正方形CDEF即为所求．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，AB∥CD，
∵BM⊥AD，BN⊥CD，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN 80°
20.【答案】4
21.【答案】解：（1）AF=DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE=BF，
在△DAE与△ABF中，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED，
∵AF=DE，
∴HI=KJ=HK=IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°
∴∠KHI=90°，
∴四边形HIJK是正方形．
22.【答案】135°
23.【答案】C 证明C选项：
∵a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2=c2，且ab=ch，
又∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2，
将a2+b2=c2，ab=ch，代入得：（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2，
∴根据勾股定理逆定理，a+b、c+h、h能组成直角三角形三边
24.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处，
∴△ADE≌△ODE，△CBF≌△OBF，
∴∠A=∠DOE=90°，∠ADE=∠ODE，∠C=∠BOF=90°，∠CBF=∠OBF，
∴EF⊥BD，
∵点O是BD的中点，
∴EF是BD的垂直平分线，
∴DF=BF，
在Rt△DFO和Rt△BFO中，
，
∴Rt△DFO≌Rt△BFO（HL），
∴∠FDO=∠FBO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∴∠EBO=∠FBO，
∴BO平分∠EBF，
∵EF⊥BD，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴BF=BE，
∴DF=BE，且DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BD与EF相互垂直平分，即对角线相互垂直平分，
∴四边形DEBF是菱形 是定值，定值为2
25.【答案】B、D ①如图2，E是BC的中点，连接EN、MC，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AME，
∴∠B=∠AME，BE=EM，
∴EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ECD=180°-∠B，且∠EMN=180°-∠AME=180°-∠B，
∴∠ECD=∠EMN，
∴∠NMC=∠NME-∠EMC=∠ECN-∠ECM=∠NCM，
∴∠NMC=∠NCM，
∴MN=CN，
在△EMN和△ECN中，
，
∴△EMN≌△ECN（SAS），
∴四边形MECN沿EN折叠完全重合，
∴四边形MECN是“忧乐四边形”；②或 AC=BC
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