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第3课时 二次函数 y = a (x + h) + k 的图象和性质
2. 二次函数 y = ax + bx + c 的图象和性质
第21章 二次函数与反比例函数
1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
(1) y = ax2；
(2) y = ax2 + k；
(3) y = a(x + h)2.
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
2. 请说出二次函数 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值.
3. 把 y = -2x2 的图象
向上平移 3 个单位
y = -2x2 + 3
向左平移 2 个单位
y = -2(x + 2)2
4. 二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 的图象平移得到？你认为该如何平移呢？
O
x
y
3
-2
O
y
3
-2
x
二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质
1
问题：怎样画出函数 y = (x - 2)2 + 1 的图象？
x … -1 0 2 4 5 …
… 5.5 3 1 3 5.5 …
y=(x-2)2+1
解：先列表：
并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
再描点、连线.
x … -1 0 2 4 5 …
… 5.5 3 1 3 5.5 …
y=(x-2)2+1
开口向上；
对称轴是直线 x = 2；
顶点坐标是 (2，1).
解：
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
直线 x = -1
开口方向向下，
对称轴是直线 x = -1，
顶点坐标是 (-1，-1)
【试一试】 画出二次函数 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
二次函数 y = a(x + h)2 + k (a ≠ 0) 的性质
y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
归纳总结
向上
直线 x = -h
（-h，k）
当 x = -h 时，y最小值=k
当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大
向下
直线 x = -h
（-h，k）
当 x = -h 时，y最大值=k
当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大
顶点式
例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( )
解析：根据二次函数开口向上，得 a＞0；根据－c 是二次函数顶点的纵坐标，得 c＞0．故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0).
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系.
(1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4，
(2) 方法一：
根据题意，得 y1＝(m－1)2－4vy2＝(m＋n－1)2－4.
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2，
∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称.
∴ m＋n－1＝1－m.
化简，得 2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值.
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，
水管应多长
C(3，0)
B(1，3)
A
1
x
O
y
2
3
1
2
3
解：建立如图所示的直角坐标系.
点 (1，3) 是这段抛物线的顶点，
因此可设这段抛物线表达式为
∵ 这段抛物线经过点 (3，0)，
∴ 0 = a(3－1)2＋3.
解得
∴ 抛物线的解析式为
y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当 x = 0 时，y = 2.25.
答：水管长应为 2.25 m.
3
4
a =－ .
y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
3
4
－
二次函数 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 的图象关系
2
画一画，填出下表：
图象的开
口方向
图象的对称轴
图象的顶
点坐标
函数
向上
x = 0
(0, 0)
向上
x = 0
(0, 1)
向上
x = 2
(2, 0)
向上
x = 2
(2, 1)
探究归纳
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
向右平移 2 个单位
平移方法1
1 个单位
向上平移
平移方法2
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
向右平移 1 个单位
2 个单位
向上平移
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
向左平移 1 个单位
平移方法1
1 个单位
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
探究归纳
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
平移方法2
向左平移
向下平移
1个单位
1 个单位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 + k 的图象关系
二者形状、开口都相同，可看作互相平移得到.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x + h)2
y = a(x + h)2 + k
上下平移
左右平移
上下 平移
左右 平移
平移规律
简记为：
上下平移时，
常数项上加下减；
左右平移时，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
归纳总结
例4 将抛物线 y = 2x2 向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 (　　)
A．y = 2(x 4)2 1 B．y = 2(x + 4)2 + 1
C．y = 2(x 4)2 + 1 D．y = 2(x + 4)2 1
B
将抛物线 y＝5(x﹣1)2 + 1 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛物线的解析式为(　　)
A．y＝5(x + 2)2 + 3 B．y＝5(x﹣4)2﹣1
C．y＝5(x﹣4)2 + 3 D．y＝5(x﹣3)2 + 4
变式训练
C
1. 请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 可由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到
向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到.
2. 如果一个二次函数的图象与抛物线 的形状相同，且顶点坐标是 (4，-2)，试写出这个二次函数的表达式.
练一练
抛物线表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x + 3)2 + 5
向上
(1，-2)
向下
向下
(3，7)
(2，-6)
向上
直线 x = -3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(-3，5)
y = -3(x - 1)2 - 2
y = 4(x - 3)2 + 7
y = -5(2 - x)2 - 6
1. 完成下列表格：
2. 把抛物线 y = -3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是__________________.
4. 由抛物线 y = -3( x - 1)2 + 2 如何得到 y = -3x2 的图象
3. 抛物线 y = -3x2 + 2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线表达式为________________.
答：先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位；
或先向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位.
5. 已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1，3)，且它是由抛物线 y = 5x2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
解：y = 5(x + 1)2 + 3.
一般地，抛物线 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 形状和开口相同，位置不同.
二次函数
y = a(x + h)2 + k 的图象和性质
图象特征
a＞0 时开口向上，
a＜0 时开口向下；
对称轴是 x = -h；
顶点坐标是 (-h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减

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