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2025-2026学年北京市顺义区第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.“点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为（　　）
A. A∈l,l∈α B. A l,l α C. A l,l∈α D. A∈l,l α
2.已知平面向量，且，则x的值为（　　）
A. ±2 B. -2 C. 0 D. 2
3.在△ABC中，，则b=（　　）
A. B. C. 4 D. 6
4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
5.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若m α，n β，α∥β，则m∥n B. 若m∥n,n α，则m∥α
C. 若α⊥β，m⊥β，n⊥m,则n⊥α D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β
6.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则 等于（　　）
A. - B. - C. D.
7.在△ABC中，“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”成立的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在△ABC中，，设，则λ+μ=（　　）
A. B. C. D. 1
9.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（　　）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
10.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1，CC1形成的几何体ABC-A1B1C1（图2）中，AB=AC≈8米，∠BAC≈144°，则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值约为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在△ABC中，，则B= .
12.已知向量，则向量= ，向量夹角的大小为 .
13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为4，高为6，圆锥的高为3，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 .
14.如图，已知正方形ABCD边长为4，E为线段CD的中点，若F为线段BE上的动点，G为DF的中点，则的最小值为 .
15.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，且A1F∥平面AD1E，有以下四个说法：
①A1F可能与B1E相交；
②A1F与BE是异面直线；
③A1F与D1E不可能平行
④三棱锥F-AC1D的体积为定值；
其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知，与的夹角为.
（1）求；
（2）求；
（3）当k为何值时，？
17.(本小题13分)
在△ABC中，a2+c2-b2=ac.
（1）求∠B；
（2）若，求边b.
18.(本小题14分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，四边形ABB1A1为正方形.
（I）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，BC=4，
（i）直接写出直三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
（ii）直接写出异面直线AD与A1C所成角的余弦值.
19.(本小题15分)
在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC.
（1）求∠B；
（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：a=8，b=5；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题15分)
如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，平面PBA⊥平面ABCD，M是线段PQ上的一点，且DM∥平面ACP.求证：
（1）平面ADQ∥平面BCP；
（2）M是线段PQ的中点；
（3）PB⊥平面ABCD.
21.(本小题15分)
已知为n维向量，若-1＜xi＜1，i=1，2，…，n,则称为可聚向量.对于可聚向量实施变换T：把的某两个坐标xi，xj（i≠j）删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个n-1维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换T，得到新向量，如此经过k次变换后得到的向量记为.特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数.若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数.
（1）设，直接写出的所有可能结果；
（2）求证：对于任意一个n（n≥2）维可聚向量，变换T总可以进行n-1次；
（3）设，求的聚数的所有可能结果.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】或
12.【答案】5

13.【答案】80π
84π

14.【答案】
15.【答案】①②④
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】（I）证明：如图，连接A1B∩B1A=E，连接DE，
因为四边形ABB1A1为正方形，
所以E为A1B中点，又D是BC的中点，
所以A1C∥ED，又A1C 平面AB1D，ED 平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）（i）；（ii）．
19.【答案】 选择条件①，则△ABC不存在；选择②或③，则△ABC的面积为
20.【答案】∵AD∥BC，
且AD 平面BCP，BC 平面BCP，可得AD∥平面BCP，
又∵DBPQ为平行四边形，则DQ∥PB，
且DQ 平面BCP，PB 平面BCP，可得DQ∥平面BCP，
且AD∩DQ=D，AD，DQ 平面A D Q，
∴平面ADQ∥平面BCP 设AC∩BD=O，连接PO，
∵DM∥平面ACP，DM 平面DBPQ，平面ACP∩平面DBPQ=PO，∴DM∥PO，
在平行四边形DBPQ中，BD=PQ，
又∵DO∥PM，则DOPM为平行四边形，则DO=PM，
且O为BD中点，则，
即，
∴M是线段PQ的中点 ∵ AB⊥BC，AC⊥BD，
且平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面A B C D=A B，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面PBA，∵PB 平面PBA，∴BC⊥PB，
又∵平面DBPQ⊥平面ABCD，平面DBPQ∩平面ABCD=BD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥平面DBPQ，由PB 平面DBPQ，∴AC⊥PB，
且BC∩AC=C，BC，AC 平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD
21.【答案】或或 设-1＜xi＜1，-1＜xj＜1，则0＜1+xixj＜2，1+xi＞0，1+xj＞0，1-xi＞0，1-xj＞0，
xi+xj+1+xixj=（1+xi）（1+xj）＞0，xi+xj＞-（1+xixj），
∴，
1+xixj-（xi+xj）=（1-xi）（1-xj）＞0，xi+xj＜1+xixj，∴，
即，
∴n维可聚向量经过一次变换后得n-1维向量仍然是可聚向量，
这样经过n-1次变换后变成一个数，
∴对于任意一个n（n≥2）维可聚向量，变换T总可以进行n-1次
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