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2025-2026学年安徽省鼎尖教育高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=2-i（i为虚数单位），则=（　　）
A. 2+i B. 2-i C. D.
2.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，则=（　　）
A. 16 B. -16 C. 9 D. -9
3.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为60°和30°，则B、C两点的距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”.某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为2π和4π，高为3，则该模型的体积为（　　）
A. 7π B. 8π C. 9π D. 10π
5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置的直观图，得到边长为2的等边三角形，则原△ABC的面积为（　　）
A. B. C. 4 D.
6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数V-棱数E+面数F=2.已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（　　）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 20
7.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，a+c=8，且AC边上的中线长为，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则存在正实数λ，使得与垂直；
③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件；
④若，则“”是“与的夹角为60°”的充要条件.
其中正确结论的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z满足z（1+i）=2-2i（i为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则下列说法正确的有（　　）
A. z的虚部为-2 B. 复数z的共轭复数为-2i
C. m=0 D. n=4
10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有（　　）
A. 正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点
B. 若底面边长，则侧棱长
C. 若侧棱长h=2，则该正三棱柱的体积为
D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为
11.已知△ABC中，，点P为边BC上的动点，满足（λ，μ为实数），则下列说法正确的有（　　）
A. △ABC的面积的最大值为
B. 当P为BC中点时，
C. 若△ABP的面积为△ABC面积的，则
D. 若∠BAC=60°，则的最小值为-1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与共线，则实数m= .
13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为 .
14.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=120°，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为（x,y）.已知点A的斜坐标为（1，2），点B的斜坐标为（3，k）.若，则实数k的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，是夹角为60°的两个单位向量，设，.
（1）求证：与垂直；
（2）求向量与的夹角的大小.
16.(本小题15分)
已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数.
（1）求复数z；
（2）若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限.
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的周长的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，侧棱AA1=3.该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面A1B1C1上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切.
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求该直三棱柱的外接球O的体积；
（3）点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记|MN|=d,R为外接球的半径，求（R-d）2的最大值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+（c-3a）cosB=0.
（1）求cosB的值；
（2）若b=3，解答下列问题：
①当△ABC的面积为时，求AC边上的中线长；
②若点D在边AC上，且BD平分∠ABC，求的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】由已知，
，
所以，
因为，是夹角为60°的单位向量，
所以，且，
代入得，
因此，与垂直 120°
16.【答案】z=-2+i或z=2-i 当z=-2+i时，w在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当z=2-i时，w在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】 ①；②
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