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2026年浙江省中考数学最后一卷
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．表示（ ）
A．a的相反数 B．a的绝对值 C．a的倒数 D．a的次幂
2．物理学中真空光速约为，下列关于该数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些箱子的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．在下列计算中，正确的是()
A． B． C． D．
6．如图，，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．某校开展“校园读书节”活动，10名学生的每日阅读打卡天数统计如下表所示：
阅读打卡天数（天） 6 7 8 9
人数 1 3 4 2
则这10名学生阅读打卡天数的众数和中位数分别是（ ）
A．7和8 B．7和 C．8和 D．8和8
8．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是说“今有多人共买一物，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则少4钱，问人数和物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，为线段上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转交轴于点，若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：______．
12．现有5张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，随机抽一张卡片，抽到数字5的概率为______．
13．已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形．
14．如图，是的直径，与相切于点，连接交于点．若，则的度数为_____．
15．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数的图象相交于点A和点B．若点B的横坐标为，则点A的坐标为______．
16．如图，在中，对角线，相交于点，，，，点是的中点，将点沿过点的直线对折，使点落在对角线上的点处，连接，则________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．若定义一种新运算：．
(1)设为整式，，求整式并化简．
(2)在（1）的条件下，当时，求的值．
19．如图，在矩形中，E是的中点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，，求的周长．
20．“校园餐”关乎青少年的健康成长，为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取名学生，统计他们对“校园餐”满意度的打分情况如下（单位：分，满分分）：
小学部：，，，，，，，，，；
初中部：，，，，，，，，，．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
小学部
初中部
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ， ， ．
(2)综合表中数据，小学部和初中部哪一学段学生对校园餐的满意度更趋于一致？请说明理由．
(3)若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于分的学生占比%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有名学生，初中部有名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由．
21．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
22．在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若，，直接写出的长为________．
(3)如图3，连接，，，求的长．
23．某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销售量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)根据上述信息，求出与之间的函数关系式（不需要写出的范围）；
(2)超市要想每天获得元的销售利润，售价应定为多少元？
(3)当每日购进这种水果的总进价不超过元时，通过计算说明每天能否获得元的销售利润？
24．如图，是的直径，延长至点，切于点，点在劣弧上，且，连接，，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)已知，，求线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B B D B A B
1．A
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可直接判断结果．
解：给任意数添加负号得到，与只有符号不同，
表示的相反数．
2．B
解：的相反数是．
3．C
解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
4．B
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解：从图可得小正方体的个数有8个，如图：
故选：B．
此题主要考查了由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
5．B
本题考查整式基本运算，需根据同类项合并，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式的法则逐一判断选项正误．
解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误．
选项B，∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴B正确．
选项C，∵根据积的乘方法则，可得，∴C错误．
选项D，∵根据完全平方公式，可得，∴D错误．
6．B
根据对应点坐标求出位似比，再根据相似三角形的性质解答即可求解．
解：∵，是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．D
根据众数和中位数的定义求解即可．
解：由表格可知，阅读打卡天数为8天的人数最多，共4人，
则这组数据的众数为，
由表格可知，将10名学生的阅读打卡天数从小到大排列为：
6，7，7，7，8，8，8，8，9，9，
则中位数为，
因此，众数和中位数分别是和．
8．B
解：设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为：
.
9．A
根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
解：一次函数图象过第一、二、四象限，
，
，
二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧；
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
二次函数的图象与y轴交点在x轴下方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
10．B
把代入求出，进而求出，得出是等腰直角三角形，，，，，证明是等腰直角三角形，得出，，利用旋转的性质及外角性质得出，根据得出，即可求出，根据点在轴负半轴可得点坐标．
解：如图，过点作于，
∵直线分别交轴，轴于，两点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，，
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转交轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴点坐标为．
11．
解：．
12．/
根据等可能事件的概率计算公式，先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到数字5的结果数，代入公式计算即可．
解：由题意可知，随机抽取1张卡片，所有等可能的结果共有种，其中抽到数字的结果只有种，
∴抽到数字5的概率为．
13．十
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可．
解：，
，
这个多边形的边数是10．
故答案为：十．
14．
先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理求出的度数。
解：与相切于点，且为直径，
，
，
．
是的直径，
,
．
15．
根据正比例函数图象与反比例函数图象交点关于原点中心对称求出即可．
解：∵点B的横坐标为，点B的纵坐标为，
∴点A的坐标为，
∴，解得，
∴点A的坐标为．
16．
根据勾股定理求出的长，根据平行四边形的性质可得的长，证明，最后利用等面积法求出的长．
解：如图，连接，
四边形是平行四边形 ，
，
在中，
点是的中点
由折叠的性质可知，
∴
又∵
∴
又
17．3
解：原式．
18．(1)
(2)
（1）根据题意先化简求出，再根据新运算定义解答即可；
（2）根据新运算定义和已知数据求解即可．
（1）解：∵，
∴，
根据新运算定义：，，
∴，
解得：．
（2）解：∵，，
∴根据新运算定义：．
19．(1)证明：在矩形中，，．
为中点，
．
；
(2)
（1）根据矩形的性质得到，，根据E是的中点得到，可知；
（2）根据E是的中点得到，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，即可求出的周长．
（1）略
（2）解：，
．
，．
．
，
．
的周长为．
20．(1)，，
(2)小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下：
∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致．
小学部方差，初中部方差为，．
∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致．
(3)该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．理由如下：
样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人．
全校评分大于或等于8分的总人数为：（人）
全校总人数为（人）
占比为
∵
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．
（1）根据中位数、众数、方差的定义，分别计算、、的值；
（2）利用方差的意义，即方差越小数据波动越小，越趋于一致，比较两方方差得到结论；
（3）计算全校评分大于等于8分的学生占比，和比较后得出结论．
（1）解：将小学部10个数据从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10
中位数为第5个和第6个数据的平均数，因此
将初中部10个数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10
其中出现次数最多的数据为9，因此众数
已知小学部平均数为8，根据方差公式计算得：
（2）小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致，理由如下：
∵方差越小，数据的波动越小，满意度越趋于一致．
小学部方差，初中部方差为，．
∴小学部学生对校园餐的满意度更趋于一致．
（3）样本中，小学部评分大于或等于8分的有7人，初中部评分大于或等于8分的有6人．
全校评分大于或等于8分的总人数为：（人）
全校总人数为（人）
占比为
∵
∴该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”．
21．(1)
(2)
(3)12
本题考查因式分解的应用．
（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）配方后即可得出多项式的最值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．
（1）解：
；
（2）解：，
多项式的最小值是；
（3）解：，
即，
，
，
，，，
∴的周长为．
22．(1)证明：∵正方形，
∴，
又∵，
∴；
(2)
(3)
（1）利用证明即可．
（2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可．
（3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案．
（1）略
（2）解：如图，连接交于，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长交分别于点，作于点，如图，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)售价应定为元
(3)不能，计算见解析
（1）根据题意可知，是的一次函数，利用待定系数法求解析式即可；
（2）设售价应定为元，根据题意可得 ，解方程舍去不符合题意的解即可；
（3）设最大利润为元，根据题意可得 ，整理后利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设函数解析式为（），
由条件可得：，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：设售价应定为元根据题意可得：
，
解得（舍去），，
∴售价应定为元；
（3）解：设日销售利润为元，根据题意可得：
，
∵总进价不超过元， ，即日销售量不超过千克，
，解得，
，抛物线开口向下，
∴当时，最大为元，
∴总进价不超过元时，不能获得元的销售利润．
24．(1)∵是的切线，
∴，即
∵是的直径，
∴，即
∵，
∴，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
∴；
(3)
（1）根据切线的性质得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据等角的余角相等得出；
（2）证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据已知可得，，设，则得出，根据得出，，过作于点，令，根据勾股定理求得，进而得出，求得，，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
（1）略
（2）略
（3）解：∵，，
∴，，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，，
∴
解得
∴，
过作于点，令，
∵
∴
在中，
∴
∴，
在中，
∴(共5张PPT)
2026年浙江省中考数学最后一卷 试题分析
一、单选题
1 0.95 负整数指数幂；相反数的定义
2 0.95 用科学记数法表示绝对值大于1的数；相反数的定义
3 0.9 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
4 0.85 由三视图，判断小立方体的个数
5 0.85 积的乘方运算；同底数幂的除法运算；运用完全平方公式进行运算
6 0.9 求两个位似图形的相似比；利用相似三角形的性质求解
7 0.85 求众数；求中位数
8 0.75 根据实际问题列二元一次方程组
9 0.65 一次函数、二次函数图象综合判断；反比例函数、二次函数图象综合判断
10 0.4 解直角三角形的相关计算；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合
二、填空题
11 0.95 平方差公式分解因式
12 0.95 根据概率公式计算概率
13 0.65 多边形内角和与外角和综合
14 0.75 半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
15 0.73 一次函数与反比例函数的交点问题
16 0.4 折叠问题；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
三、解答题
17 0.85 实数的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.61 计算单项式乘多项式及求值；已知字母的值 ，求代数式的值；运用完全平方公式进行运算
19 0.65 用SAS证明三角形全等（SAS）；全等的性质和SAS综合（SAS）；利用矩形的性质证明；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
20 0.62 求众数；求方差；根据方差判断稳定性；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
21 0.65 运用完全平方公式进行运算；平方差公式分解因式
22 0.47 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
23 0.55 y=ax +bx+c的最值；求一次函数解析式；营销问题(一元二次方程的应用)
24 0.42 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理

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