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华东师大版平昌县平昌中学中考数学模拟测试卷
(120分钟完卷，满分150分)
一、单选题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1、的相反数是(　　　)
A.9 B.－9 C.3 D.－3
2、我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型。下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　　)
A. B. C. D.
3、随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设。若现有设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为(　　　)
A.8×1016 B.2×1017 C.5×1017 D.2×1018
4、下列计算正确的是(　　　)
A.3(a＋2)＝3a＋6 B.(a＋b)2＝a2＋b2 C.a＋a2＝a3 D.(ab)2＝a2b
5、使得式子有意义的x的取值范围是(　　　)
A.x＞－且x≠1 B.x≥－ C.x≤－且x≠1 D.x≥－且x≠1
6、下列命题是真命题的个数有(　　　)
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④过点P作线段AB的垂线，垂足一定在线段AB上；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7、如图1：将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是(　　　)
A.∠2＝∠5 B.∠3＝∠4 C.∠3＋∠5＝180° D.∠1＋∠2＝180°
8、我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为(　　　)
A. B. C. D.
9、如图2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10。按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为(　　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
10、如图3：O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝－2，其中A(2，0)、B(0，c)，且－3＜c＜－2。以下结论：①abc＞0；②＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为x1、x2(x1＜x2)，则－2＜x1＜4－、6＜x2＜4＋2。其中正确结论有(　　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11、若不等式组的解集是x＜3，则m的取值范围是　　　　　　　。
12、定义新运算：例如：，。若，则x的值为　　　　　　。
13、一块三角形材料的形状如图4所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°。用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在BC、AB、AC上。则可剪出矩形CDEF的最大面积为　　　　　。
14、如图5：在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处。若A、M、E三点共线，则的值为　　　　。
15、正方形A1B1C1A2、A2B2C2A3、A3B3C3A4、…，按如图6所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点B1、B2、B3、…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点C2026的纵坐标是　　　　　　。
华东师大版平昌县平昌中学中考数学模拟测试卷
(120分钟完卷，满分150分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(每小题4分，共20分)
11、 ； 12、 ； 13、 ；
14、 ； 15、 。
三、解答题(本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、按要求完成下列各题：
(1)计算：3tan30°－＋－(2025－π)0＋ (6分)
(2)先化简再求值：已知x1和x2是关于x的一元二次方程x2＋(3a－10)x＋a2＝0的两个根，且＋＝1。①求a的值；②化简后计算的值。(8分)
17、(10分)在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界。某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用。为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为　　人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为　　度；
(2)补全条形统计图；
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率。
18、(10分)如图，AB是斜坡BC上的一个仿真树信号塔，斜坡BC的长为20米，坡角为30°，在坡底C处测得塔尖A的仰角为60°，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为37°(图中的点A、B、C、D、E、F均在同一平面内，BE∥DF，AB⊥BE)。
(1)求仿真树信号塔AB的高度；
(2)求C、D两点之间的距离(结果精确到0.1米)(参考数
据：≈1.73、sin37°≈0.60、cos37°≈0.80、tan37°≈0.75)。
19、(4＋4＋3＝11分)如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(2，6)、B(6，m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出ax＋b－＞0的解集；
(3)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标。
20、(10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱。现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：
(1)若要从这两种食品中摄入2120kca能量和101g蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？
21、(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线MN交BA的延长线于点M。交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC。
(1)求证：MN是⊙O的切线； (2)求证：AD2＝AB·CN；
(3)当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长。
22、(12分)如图：在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中B(3，0)、C(0，－3)。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与轴交于点F、Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点。写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来。
23、(13分)已知在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，＝＝。
【初步感知】(1)如图1∶若＝1，连接AD、BE，则AD与BE之间的数量关系是　　　　　　，位置关系是　　　　　　(直接写出结论，不写推理过程)；
【深入探究】(2)如图2∶若≠1，将△CDE绕点C旋转，设直线BE与AC交于点M，与AD交于点N，试确定AD与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】(3)如图3∶当点D在Rt△ABC内部，且∠ACD＝∠ABC时，若＝，BC＝7.5，CE＝3.5，连接AD、BE，作CF⊥BE于点F，交AD于点G，求FG的长。
华东师大版平昌县平昌中学中考数学模拟测试卷
(120分钟完卷，满分150分)
一、单选题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1、的相反数是( )
A. 9 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先化简，再确定相反数即可.
【详解】解：，3的相反数是，
故选：D
【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，求得=3是解题的关键.
2、我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型.下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意.
故选：A.
3、随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设.若现有设备的算力为(是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的倍，达到，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.用现有设备的算力乘以，直接计算即可得出的值.
【详解】解：现有设备的算力为 ，新算力是现有设备的算力的倍，
.
故选：D.
4、下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案.
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A.
5、使得式子有意义的的取值范围是( )
A. ，且 B.
C. ，且 D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到的取值范围.
【详解】解：∵要使有意义，
∴需满足，
解不等式，移项得，系数化为得，
解不等式，得，
∴的取值范围是，且.
6、下列命题是真命题的个数有( )
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④过点P作线段的垂线，垂足一定在线段上；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面内垂直与平行的基础性质，只需逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可.
【详解】解：① 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故①是真命题；
② 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，并非一定相等，故②是假命题；
③ 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明被截的两条直线平行，故③是假命题；
④ 过点P作线段的垂线，垂足可能在线段的延长线上，不一定在线段上，故④是假命题；
⑤只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，命题未说明点在直线外，若点在已知直线上无法作出平行线，故该命题是假命题；
综上，真命题只有1个.
7、将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答.
【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得，
∵三角板的顶角是直角，
∴，
∴，故与不一定相等；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，
∵与不一定相等
∴与不一定相等；
∵，
∴不一定等于；
观察四个选项，选项D符合题意.
8、我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可.
【详解】解：设甜果x个，苦果y个，
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：
∵甜果9个11文，苦果7个4文，
∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文，
∵总费用为999文，故可列方程为：；
故可列方程组：；
故选C.
9、如图，在四边形中，，，.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解.
【详解】解：根据题意可得：平分，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A.
10、如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且.以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，.其中正确结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可.
【详解】∵抛物线开口向上
∴
∵对称轴为直线
∴
∵抛物线与y轴交于负半轴
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为直线
∴
∵在抛物线上
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将代入
将，代入得，
∴
∵
∵对称轴为直线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是钝角三角形，故③正确；
∵
∴当时，，
∴方程转化为
解得；
∴当时，，
∴方程转化为
解得或6；
∵方程的两根为、
∴，，故④正确.
综上所述，其中正确结论有3个.
故选：C.
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点.
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11、若不等式组的解集是，则m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再结合不等式组的解集为，从而可得答案.
【详解】解：
由①得：＞
＜
由②得：
不等式组的解集是，
故答案为：
【点睛】本题考查的是不等式组的解法，由不等式组的解集确定字母系数的范围，掌握以上知识是解题的关键.
12、定义新运算：例如：，.若，则的值为______.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义.根据新定义运算法则列出方程求解即可.
【详解】解：∵
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或.
13、一块三角形材料的形状如图所示，，.用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上.则可剪出矩形的最大面积为_____.
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积.
设矩形一边长为未知数(如)，利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长(如)；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值.
【详解】解：设矩形中，().
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形.
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值.
最大值.
故答案为：.
14、如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处.若A、、三点共线，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案.
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
由翻折得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为.
15、正方形，，，，按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的纵坐标是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标规律；利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论.
【详解】解：作轴于，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
四边形为正方形，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为，
当时，，
点的坐标为.
同理，点的纵坐标为.
同理，可知：点的坐标为，
点的纵坐标为.
，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为.
故答案为：.
三、解答题(本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16、按要求完成下列各题：
(1)计算：
(2)先化简，再求值：已知和是关于x的一元二次方程的两个根，且
①求a的值；
②化简后计算的值.
【答案】(1)
(2)①或2；②，
【解析】
【分析】(1)先根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的意义，以及零指数幂和负整数指数幂的意义逐项化简，再算乘法，后算加减即可；
(2)①先根据根与系数的关系得出，，然后把通分后代入求解即可；
②先根据分式的运算法则化简，再选一个使分式有意义的a的值代入计算即可.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：①∵和是关于x的一元二次方程的两个根，
∴，.
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验：符合题意，
∴a的值为；或2；
②
，
∵，
∴，
∴，
∴原式.
17、在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用.为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度；
(2)补全条形统计图；
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率.
【答案】(1)200，144
(2)60 (3)
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
(1)用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
(2)求出类软件的人数，补全条形图即可；
(3)列出表格，利用概率公式进行计算即可.
【小问1详解】
解：(人)；
；
故答案为：200，144；
【小问2详解】
软件的人数为：(人)；
补全条形图如图：
【小问3详解】
由题意，列表如下：
A A A B
A
A，A A，A A，B
A A，A
A，A A，B
A A，A A，A
A，B
B B，A B，A B，A
共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，
故.
18、(10分)如图，AB是斜坡BC上的一个仿真树信号塔，斜坡BC的长为20米，坡角为30°，在坡底C处测得塔尖A的仰角为60°，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为37°(图中的点A、B、C、D、E、F均在同一平面内，BE∥DF，AB⊥BE)。
(1)求仿真树信号塔AB的高度；
(2)求C、D两点之间的距离(结果精确到0.1米)(参考数
据：≈1.73、sin37°≈0.60、cos37°≈0.80、tan37°≈0.75)。
【答案】(1)仿真树信号塔AB的高度20米；
(2)C、D两点之间的距离22.7米，见解析。
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键；
【小问1详解】
解：延长AB交DF于点G，
∵ BE∥DF
∴ AG⊥DF
在Rt△BCG中：
∵ ∠DCG＝30° BC＝20米
∴ BG＝0.5BC＝10米 CG＝BG·＝10米
在Rt△ACG中：
∵ ∠ACG＝60°
∴ AG＝CG·tan60°＝10·＝30米
∴ AB＝AG－BG＝30－10＝20米
答：仿真树信号塔AB的高度是20米。
【小问2详解】
在Rt△ADG中：
∵ ∠ADG＝37° AG＝30米
∴ DG＝≈＝40米
∴ CD＝DG－CG＝40－10＝40－10×1.73＝22.7米
答：C、D两点之间的距离约为22.7米
19、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出的解集；
(3)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可.
(2)直接利用图象法进行求解即可.
(3)先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可.
【小问1详解】
解：由题意，，
∴，反比例函数的解析式为；
∴，
把、代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由图象可知的解集为或；
【小问3详解】
解：令时，则，
∴，
∵点D与点A关于点O对称，
∴
设点，
∵，
∴
又∵，，
∴，，，
∵与相似，，
∴分两种情况：或，
当时，
即，
解得：，
此时，点，
当，
即，
解得：，
此时，
综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或.
20、国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱.现有两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下：
食品类别 能量(单位：) 蛋白质(单位：) 脂肪(单位：) 碳水化合物(单位：)
(1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共，从两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用两种食品各多少份？
【答案】(1)应选用种食品份，种食品份；
(2)应选用种食品份，种食品份.
【解析】
【分析】(1)设应选用种食品份，种食品份，根据题意列方程组得，然后解方程组即可；
(2)由每份食品质量为，总质量为，因此总份数为，设选用种食品份，则种食品为份，由题意得，解得，设总能量为，则，然后通过一次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
解：设应选用种食品份，种食品份，
根据题意列方程组得，
解得，
答：应选用种食品份，种食品份；
【小问2详解】
解：每份食品质量为，总质量为，因此总份数为，设选用种食品份，则种食品为份，
由题意得，
解得，
设总能量为，则，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当取最大值时，最小，此时，
答：应选用种食品份，种食品份.
21、如图，四边形内接于为的直径，，过点的直线l交的延长线于点M.交的延长线于点N且.
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当时，求的长.
【答案】(1)见详解 (2)见详解
(3)
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线.
(1)连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理由可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论；
(2)连接，可证得，得出，再由，即可证得结论；
(3)连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
证明：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：连接交于点，连接，如图，
由(1)(2)得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
即，
.
22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来.
【答案】(1)
(2)取得最大值为，
(3)点的坐标为或或.
【解析】
【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；
(2)直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
(3)根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解.
【小问1详解】
解：将点，.代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
【小问2详解】
∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴,
∵.
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
【小问3详解】
∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴,
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或.
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23、和中，，.
【初步感知】
(1)如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；(直接写出结论，不写推理过程)
【深入探究】
(2)如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
(3)如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长.
【答案】(1)，；(2)数量关系：，位置关系：，理由见解析；(3)
【解析】
【分析】(1)证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明；
(2)证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明；
(3)先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可.
【详解】(1)解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
(2)解：数量关系：，位置关系：.
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
(3)解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解。

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