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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.3.1两数和乘以这两数的差第11章整式的乘除11.3.1两数和乘以这两数的差同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册11.3.1知识点，对应平方差公式，紧扣公式结构特征、正用逆用、简便运算和化简求值。结合整式乘法基础，针对性训练识别公式、替换底数、整体代入等能力，解决公式乱用、结构认错、符号出错等易错问题，适配课后同步巩固与基础检测。一、填空题（每空2分，共20分）1.两数和乘以这两数的差公式：$$(a+b)(a-b)=$$________，叫做________公式。2. $$(x+3)(x-3)=$$________。3. $$(2a+1)(2a-1)=$$________。4. $$(-x+4)(-x-4)=$$________。5. $$(3x+2y)(3x-2y)=$$________。6.若$$a^2-b^2=12$$，$$a-b=2$$，则$$a+b=$$________。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列式子能用平方差公式计算的是（）A. $$(x+2)(x+2)$$ B. $$(x-3)(3-x)$$ C. $$(x+5)(x-5)$$ D. $$(2x-1)(x+2)$$2.计算$$(4a-b)(4a+b)$$的结果是（）A. $$16a^2-b^2$$ B. $$16a^2+b^2$$ C. $$4a^2-b^2$$ D. $$b^2-16a^2$$3.计算$$99\times101$$的简便结果是（）A. 9900 B. 10000 C. 9999 D. 100014.化简$$x^2-(x+2)(x-2)$$的结果是（）A. 4 B. -4 C. $$2x^2+4$$ D. $$2x^2-4$$5.若$$(m+2n)(m-2n)=m^2-kn^2$$，则k的值为（）A. 2 B. 4 C. -2 D. -4三、解答题（共50分）1.基础计算题（每题6分，共24分）（1）$$(a+6)(a-6)$$（2）$$(5x-3y)(5x+3y)$$（3）$$(-2m+5)(-2m-5)$$（4）$$198\times202$$2.化简计算题（12分）：$$(2x+3)(2x-3)-(x-1)(x+1)$$3.能力提升题（14分）：先化简$$(x+2y)(x-2y)+(2y)^2$$，再代入$$x=3，y=-1$$求值。四、参考答案与解析填空题答案：1. $$a^2-b^2$$、平方差2. $$x^2-9$$ 3. $$4a^2-1$$ 4. $$x^2-16$$ 5. $$9x^2-4y^2$$ 6. 6选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.A 5.B解答题解析：1.（1）原式$$=a^2-36$$；（2）原式$$=25x^2-9y^2$$；（3）原式$$=4m^2-25$$；（4）原式$$=(200-2)(200+2)=200^2-2^2=39996$$。2.原式$$=(4x^2-9)-(x^2-1)=4x^2-9-x^2+1=3x^2-8$$，分别套用平方差公式后去括号合并同类项。3.原式$$=x^2-4y^2+4y^2=x^2$$，代入$$x=3$$得原式$$=9$$。核心考点总结：平方差公式关键是识别“同号项、异号项”，同号平方减异号平方；公式可用于简便运算、整式化简和整体求值；必须区分完全平方与平方差结构，是本章最核心、考查频率最高的乘法公式之一。学习目标
1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点）
2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构
5m
x m
情境导入
从前有一个狡猾的地主，他把一块长为 x m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊.
5m
x 5m
x+5m
x2____(x+5)(x 5)
？
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
平方差公式
1
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= x2 - 12
= m2 - 22
= (2m)2 - 12
= (5y)2 - z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
(a + b)(a b) = a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b) (a + b) = a2 b2，
(b + a)( b + a ) = a2 b2.
平方差公式：
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，
有时也简称为平方差公式.
知识要点
_____________ ＝ ________ － ________
几 何 解 释
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
(a+b)(a-b)
=
－
(a + b)(a - b)
a2
b2
b
a
a
b
b
b2
a2
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
适当交换
合理加括号
2米
2米
a米
原来
a2
(a - 2)
(a + 2)米
现在
(a + 2)(a - 2)
数学揭秘：面积变了吗？
回顾导入
a2 - 4
a2
＞
算一算：口答下列各题：
（l）(-a + b)(a + b) = _________.
（2）(a - b )(b + a) = __________.
（3）(-a - b)(-a + b) = ________.
（4）(a - b)(-a - b) = _________.
a2 - b2
a2 - b2
b2 - a2
b2 - a2
例1 填一填：
(1 + x)(1 - x)
( - 3 + m)( - 3 - m)
(0.3y - 1)(1 + 0.3y)
(1 + t)( - 1 + t)
a
b
a2 - b2
1
x
-3
m
12 - x2
( - 3)2 - m2
t
1
t2 - 12
0.3y
1
( 0.3y)2 - 12
(a - b)(a + b)
典例精析
例2 计算：
(1) (a + 3)(a－3)；
(2) (2a + 3b)(2a－3b)；
(3) (1 + 2c)(1－2c)；
= a2－9
= 4a2－9b2
= 1－4c2
解：(1) (a + 3)(a－3)
= a2－32
= 12－(2c)2
(4) (－2x－y)(2x－y).
(2) (2a + 3b)(2a－3b)
= (2a)2－(3b)2
(3) (1 + 2c)(1－2c)
典例精析
原式 = －(2x + y)(2x－y)
= －(4x2－y2)
= －4x2 + y2.
或
(4) (－2x－y) (2x－y)
原式 = (－y－2x)(－y + 2x)
= (－y)2－(2x)2
= y2－4x2
(4) (－2x－y)(2x－y).
(－y－2x)
(－y + 2x)
－(2x + y)
例3 计算 1998×2002.
(2000 - 2)(2000 + 2)
= 4 000 000 - 4
= 3 999 996.
解：
1998×2002 =
= 20002 - 22
1.计算：
(x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1).
(x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x8－1)(x8 + 1)
= x16－1
解：
练一练
跟踪训练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(2a 3b)( 2a+3b) B.( 3a+4b)( 4b 3a)
C.(a b)(b a) D.(a b c)( a+b+c)
B
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样
改正？
（1）(x+2)(x 2)=x2 2
（2）( 3a 2)(3a 2)=9a2 4
改正：(x+2)(x 2)=x2 4
改正：( 3a 2)(3a 2)=4 9a2
3.计算：
（1）(a+3b)(a 3b)；
（2）(3+2a)( 3+2a)；
（3）51×49；
（4）(a b+c)(a+b+c).
=a2 (3b)2
=a2 9b2
=(2a)2 32
=4a2 9
=(50+1)×(50 1)
=502 12
=2500 1
=2499
=[(a+c)+b][(a+c) b]
=(a+c)2 b2
=(a+c)(a+c) b2
=a2+2ac+c2 b2
4.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？说说你的道理.
解：长方形区域的周长是一定的，设为4a，如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的长方形，设其长为b(b≠a≠0) ，则宽必为(2a-b)，因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而a2- (2ab-b2)=(a-b)2>0(a≠b≠0)，因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小.
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1. 下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是(　　)
A．(2m－n)(n＋2m) B．(－m＋n)(m＋n)
C．(2n－m)(2m－n) D．(－m－n)(－m＋n)
C
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2．下列多项式中，与－x＋y相乘的结果为x2－y2的是(　　)
A．x＋y　　　　 B．x－y
C．－x＋y　　　　 D．－x－y
D
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3．若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
B
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4．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为__________．
n3－4n
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5. 已知x2－x－1＝0，则式子(x＋3)·(x－3)＋x(x－2)的值为________．
－7
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6．计算：
(1)(2x－3)(2x＋3)(4x2＋9)；

(2)(x＋y－3)(x－y＋3)．
【解】原式＝(4x2－9)(4x2＋9)＝16x4－81.
【解】原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]＝x2－(y－3)2＝x2－(y2－3y－3y＋9)＝x2－y2＋6y－9.
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7．已知4x2－y2＝3，则(2x＋y)3(y－2x)3的值是(　　)
A．－27 B．－9 C．9 D．27
A
【点拨】(2x＋y)3(y－2x)3＝－(2x＋y)3(2x－y)3＝－[(2x＋y)(2x－y)]3＝－(4x2－y2)3＝－33＝－27.
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8．已知M＝2 0262，N＝2 025×2 027，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．MC．M＝N D．不能确定
A
【点拨】∵M＝2 0262，N＝2 025×2 027＝(2 026－1)(2 026＋1)＝2 0262－1，∴M－N＝2 0262－(2 0262－1)＝1＞0.∴M＞N.
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9．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝________．
6
【点拨】∵(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，∴[(a2＋b2)＋1][(a2＋b2)－1]＝35，∴(a2＋b2)2－1＝35，∴(a2＋b2)2＝36.∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝6.
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10. 霍州鼓楼位于山西省霍州市市中心，明万历十一年(1583年)建，又称文昌阁．建筑融合了木构阁楼与琉璃工艺，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯(sǔn mǎo)结构，其精湛的工艺传扬至今．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，截面的整体是一个长为(2a＋b)cm，宽为(2a－b)cm的长方形，中间凿掉一个边长为a cm的正方形，且该零部件的高为a cm.则这个零部件的体积为__________cm3.
(3a3－ab2)
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11．解不等式：(1－5x)(x－2)－(3－x)(x＋3)≤(2x－3)(－3－2x)＋x.
【解】原不等式可化为x－2－5x2＋10x－(9－x2)≤(－3)2－(2x)2＋x，则11x－2－5x2－9＋x2≤9－4x2＋x，即11x－11≤9＋x，解得x≤2.故原不等式的解集为x≤2.
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12. 老师在黑板上设置了一个趣味数学游戏：第一步：取一个自然数a1＝5，计算(a1＋1)(a1－1)得到b1；第二步：算出b1的各位数字之和得到a2，计算(a2＋1)(a2－1)得到b2；第三步：算出b2的各位数字之和得到a3，再计算(a3＋1)(a3－1)得到b3……依此类推，则b2 026的值为(　　)
A．63 B．80 C．99 D．120
B
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13. 已知a为实数，若有整数b，m，满足(a＋b)(a－b)＝m2，则称a是b，m的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：_____________________．
5，4，3(答案不唯一)
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2
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用

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