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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.5.1提公因式法第11章整式的乘除11.5.1提公因式法同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册11.5.1提公因式法知识点，紧扣因式分解的定义、公因式的寻找方法、单项式公因式、多项式公因式提取等核心考点。题型由浅入深，覆盖概念辨析、基础因式分解、符号变形、整体提公因式、化简求值，针对性解决找错公因式、漏提系数、漏项、符号出错等高频易错点，是因式分解最基础、最重要的必考题型。一、填空题（每空2分，共20分）1.把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做因式分解。2.多项式$$3x^2-6x$$的公因式是________。3.分解因式：$$5a^2+10a=$$________。4.分解因式：$$-4x^2+8xy=$$________。5.多项式$$m(a-b)+n(a-b)$$的公因式是________。6.分解因式：$$2x(x-y)-y(x-y)=$$________。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列变形属于因式分解的是（）A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$C. $$x^2+2x=x(x+2)+0$$ D. $$x^2+2x=x^2(1+\dfrac{2}{x})$$2.多项式$$6a^2b-9ab^2$$的公因式是（）A. $$3ab$$ B. $$3a^2b$$ C. $$6ab$$ D. $$ab^2$$3.分解因式$$3x^2-9x$$的结果正确的是（）A. $$3(x^2-3x)$$ B. $$x(3x-9)$$ C. $$3x(x-3)$$ D. $$3x(x+3)$$4.分解因式$$-2m^2+4m$$的结果是（）A. $$-2m(m-2)$$ B. $$-2m(m+2)$$ C. $$2m(m-2)$$ D. $$-2(m^2-2m)$$5.分解因式$$a(x-y)+b(y-x)$$的结果是（）A. $$(x-y)(a+b)$$ B. $$(x-y)(a-b)$$ C. $$(y-x)(a-b)$$ D. $$(x+y)(a-b)$$三、解答题（共50分）1.基础因式分解（每题6分，共24分）（1）$$4x^2-12x$$（2）$$8a^2b-24ab^2$$（3）$$-6m^3+9m^2$$（4）$$15x^3y^2-10x^2y^3$$2.整体提公因式（12分）：$$3(x-2)+x(2-x)$$3.能力提升求值（14分）：已知$$m-n=2$$，求代数式$$m^2-mn-2n$$的值。四、参考答案与解析填空题答案：1.积2. $$3x$$ 3. $$5a(a+2)$$ 4. $$-4x(x-2y)$$ 5. $$a-b$$ 6. $$(x-y)(2x-y)$$选择题答案：1.A 2.A 3.C 4.A 5.B解答题解析：1.（1）原式$$=4x(x-3)$$；（2）原式$$=8ab(a-3b)$$；（3）原式$$=-3m^2(2m-3)$$；（4）原式$$=5x^2y^2(3x-2y)$$。2.原式$$=3(x-2)-x(x-2)=(x-2)(3-x)$$，先统一整体因式，再提取公因式化简。3.原式$$=m(m-n)-2n$$，代入$$m-n=2$$得$$2m-2n=2(m-n)=4$$。核心考点总结：提公因式法口诀“一看系数取最大公约数，二看字母取最低次幂”；首项为负先提负号，括号内各项变号；遇见互为相反数的整体，统一符号后再提公因式；因式分解要彻底，不能留有公因式，是后续公式法分解的基础。学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的
区别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法
分解因式.
复习回顾
1.运用前面所学的知识填空：
（1）m(a+b+c)=_____________；
（2）(x+1)(x 1)=_____________；
（3）(a+b)2=_____________.
ma+mb+mc
x2 1
a2+2ab+b2
2.试一试，观察上面三个等式，填空：
（1）ma+mb+mc=( )( )；
（2）x2 1=( )( )；
（3）a2+2ab+b2=( )2.
m
a+b+c
x+1
x 1
a+b
这些式子有什么共同点？
都是多项式化为几个整式的积的形式.
把下列多项式写成乘积的形式，观察结果有什么特点.
都是多项式化为几个整式的积的形式
(1) ma + mb + mc = ( )( )
(2) a2 - b2 = ( )( )
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2
m a + b + c
a + b a - b
a + b
因式分解
1
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.
知识要点
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
这个多项式有什么特点？
因式分解之基本方法 — 提公因式法
2
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
例1 如何确定一个多项式的公因式？
典例精析
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
pa+ pb +pc
p
=
知识要点
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b + c) - 3(b + c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
典例精析
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc).
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是 2a2b + 3b2c，
它还有公因式是 b.
（2）2a(b + c) - 3(b + c)
= (b + c)(2a - 3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算去检验.
例3 把下列多项式分解因式：
(1) －5a + 25a； (2) 3a －9ab；
(2) 3a －9ab
= 3a(а－3b).
解：(1) －5a + 25a
= －5a(a－5).
典例精析
跟踪训练
1.分解因式：
①ax+ay； ②3mx 6my；
③8m2n+2mn； ④12xyz－9x2y2；
⑤2a(y z) 3b(z y)；
⑥p(a2+b2) q(a2+b2) .
=a(x+y)
=3m(x 2y)
=2mn(4m+1)
=3xy(4z－3xy)
=(y z)(2a+3b)
=(a2+b2)(p q)
2. 先分解因式，再求值：
4a2(x＋7) －3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3 .
当a=－5，x=3时，
原式=
3. 计算5×34＋4×34＋9×32.
4.简便计算：
返回
1. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是(　　)
A．x3－x＝x(x－1)(x＋1)
B．a2(a－1)＝a3－a2
C．a2－2a－1＝a(a－2)－1
D．(a－3)(a＋3)＝a2－9
A
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2. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_____________________________________.
x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)
3. 已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
返回
方法2：设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
∴当x＝－3时，x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)＝0，
即(－3)2－4×(－3)＋m＝0，解得m＝－21，
∴x2－4x＋m＝x2－4x－21＝(x＋3)(x－7)，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
返回
4．把多项式12ab2c＋3ab3分解因式，应提的公因式是(　　)
A．3ab B．3ab2 C．12ab3c D．12a2b5c
B
返回
5. 把下列各式分解因式：
(1)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；

(2)m(m－n)－3(n－m)；

(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
【解】原式＝－ab2c(ab－2c2＋1)．
【解】原式＝m(m－n)＋3(m－n)＝(m－n)(m＋3)．
【解】原式＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3＝5(x－2y)3(x＋4y)．
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6．长宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为(　　)
A．80 B．96 C．192 D．240
B
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7. 已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为(　　)
A．－30 B．30 C．－5 D．－6
C
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8．计算(－2)100＋(－2)101所得的结果是________．
－2100
返回
9. 篮子里有若干个苹果，可以平均分给(x＋1)名同学，也可以平均分给(x－3)名同学(x为大于3的正整数)，用代数式表示苹果数量不可能的是(　　)
A．(x＋1)(x－3) B．x(x2－2x－3)
C．x2－4x＋3 D．2x3－4x2－6x
C
返回
10. △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC一定是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
B
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11. 已知a>b，a>c，若M＝a2－ac，N＝ab－bc，则M与N的大小关系是(　　)
A．MC．M>N D．不能确定
C
【点拨】∵M＝a2－ac，N＝ab－bc，∴M－N＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)．∵a>b，a>c，∴a－b＞0，a－c＞0.∴(a－b)(a－c)＞0.∴M＞N.
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12. 已知x2－x－1＝0，则x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x的值是(　　)
A．0　 B．1　 C．－1　 D．2
A
【点拨】∵x2－x－1＝0，∴x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x＝(x2 025－x2 024－x2 023)＋(x2 022－x2 021－x2 020)＋…＋(x3－x2－x) ＝x2 023(x2－x－1)＋x2 020(x2－x－1)＋…＋x(x2－x－1) ＝0＋0＋…＋0＝0.
因式
分解
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号

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