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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.5.2公式法第11章整式的乘除11.5.2公式法同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册11.5.2公式法知识点，依托平方差公式、完全平方公式两大核心公式，专项训练公式法因式分解。覆盖公式结构辨析、基础因式分解、提公因式与公式法混合分解、参数求值、化简应用等必考题型，针对性解决公式混淆、分解不彻底、符号错误、漏项等高频易错问题，夯实因式分解综合运算能力。一、填空题（每空2分，共20分）1.平方差公式因式分解：$$a^2-b^2=$$________。2.完全平方公式因式分解：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。3.分解因式：$$x^2-25=$$________。4.分解因式：$$a^2-8a+16=$$________。5.分解因式：$$4x^2-9y^2=$$________。6.若$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则$$k=$$________。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列多项式能用平方差公式分解的是（）A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-2x$$ D. $$x^2+4x+4$$2.下列多项式属于完全平方式的是（）A. $$a^2-2a-1$$ B. $$a^2+4a+4$$ C. $$a^2+2a+2$$ D. $$a^2-4a-4$$3.分解因式$$9x^2-1$$的结果是（）A. $$(9x+1)(9x-1)$$ B. $$(3x+1)(3x-1)$$ C. $$(3x-1)^2$$ D. $$(3x+1)^2$$4.分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（）A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$5.分解因式$$2a^2-8$$的最终结果是（）A. $$2(a^2-4)$$ B. $$2(a-2)^2$$ C. $$2(a+2)(a-2)$$ D. $$(2a+4)(a-2)$$三、解答题（共50分）1.基础公式分解（每题6分，共24分）（1）$$x^2-36$$（2）$$4a^2-25b^2$$（3）$$m^2-10m+25$$（4）$$9x^2+12x+4$$2.混合因式分解（12分）：$$3x^2-12y^2$$3.能力提升求值（14分）：已知$$x+y=4$$，$$x-y=2$$，求代数式$$x^2-y^2$$的值。四、参考答案与解析填空题答案：1. $$(a+b)(a-b)$$ 2. $$(a+b)^2$$、$$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)(x-5)$$ 4. $$(a-4)^2$$ 5. $$(2x+3y)(2x-3y)$$ 6. $$\pm6$$选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.A 5.C解答题解析：1.（1）原式$$=(x+6)(x-6)$$；（2）原式$$=(2a+5b)(2a-5b)$$；（3）原式$$=(m-5)^2$$；（4）原式$$=(3x+2)^2$$。2.原式$$=3(x^2-4y^2)=3(x+2y)(x-2y)$$，先提取公因式，再用平方差公式分解，保证分解彻底。3.利用平方差公式变形，原式$$=(x+y)(x-y)$$，代入得$$4\times2=8$$。核心考点总结：公式法分解核心是识别多项式结构，二项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式；因式分解遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，必须分解到不能再分解为止；熟记公式结构、区分两种公式特征，是整式因式分解的核心重难点。学习目标
1.认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点）
2.会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点）
复习回顾
1.什么叫多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2. 下列式子从左到右哪个是因式分解 哪个整式乘法 它们有什么关系
② ma+mb+mc=m(a+b+c)
① m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
互为相反的变形.
还记得前面学过的乘法公式吗？
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和(差)的平方公式：
(a±b)2=a2±2ab+b2
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
运用平方差公式因式分解
1
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式.
（1）x2 + y2
（2）x2 - y2
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
y2 - x2
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（6）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
( y + x)( y - x )
= (5x+4y)(5x-4y).
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解：(1)原式 =
5x
4y
5x
5x
4y
4y
(2)原式
a
b
4y
(5x)2 - (4y)2
典例精析
(1) 25x －16y ；
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
方法总结
例2 分解因式：
………… 一提（公因式）
…… 二套（公式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
分解因式的一般步骤
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 )
= ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
(1) x4－y4； (2) 3x3－12xy2.
(2) 原式 = 3x(x －4y2)
= 3x[ x －(2y)2 ]
= 3x(x＋2y)(x－2y).
典例精析
两数和(或差)平方公式：
两数和(或差)平方公式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2 倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
=（a ± b）2
运用两数和(或差)平方公式因式分解
2
凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
3、x + 4xy + 4y = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
2、m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( )
1、a + 4a + 4 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
a
2
a + 2
x
x 2y
x + 2y
2y
对照公式 a ± 2ab + b = (a ± b) 进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
3
a
2
m
3
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
下列各式是不是两数和(或差)平方公式？
（1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 - 1 的符号不统一.
不是
分析：
不是
是
（4）中间项缺 2 倍.
例3 分解因式：
（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中，16x2 = (4x)2，
9 = 3 ，24x = 2·4x·3，
所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32.
2
a
b
b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为
-(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1) 16x2 + 24x + 9
= ( 4x + 3 )2.
= ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2
(2) -x2 + 4xy - 4y2
= -( x2 - 4xy + 4y2 )
= -( x - 2y )2.
例4 把下列各式分解因式：
（1）4x3y + 4x2y2 + xy3；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
分析：（1）中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36.
解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2) = xy(2x - y)2.
(2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62
= (a + b - 6)2.
例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算.
= 1.
= 2500.
跟踪训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A. a +1
B. a -6a+9
C. x +5y
D. x -5y
B
2.若关于x的多项式 x -8x+m 是完全平方式，则m的值为________.
±4
（1） （2）
3.分解因式：
=(3a+2b)(3a-2b)
（3） （4）
=y(x+2) (x－2)
=(4+a ) (2+a) (2－a)
4.把下列多项式因式分解.
5.计算下列各题：
返回
1．课堂上老师在黑板上布置了如框图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，则错误的题目是(　　)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
B
用平方差公式分解下列各式：
(1)－a2＋b2；　　　(2)－a2－b2；
(3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25.
返回
2．若a，b，c是△ABC的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．不能确定
B
返回
3．如果x＋y，x－y，x2－y2，4，m＋n，mn分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将4m(x2－y2)＋4n(x2－y2)分解因式，结果呈现的可能是哪句话(　　)
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣
C．鹿鸣数学 D．我爱数学
A
返回
4．下列可以用完全平方公式分解因式的是(　　)
A．4a2－4a－1 B．4a2＋2a＋1
C．1－4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1
C
返回
5．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m>0，n>0)，则大正方形的边长为(　　)
A．5m＋9n B．5m－3n
C．25m＋9n D．5m＋3n
D
【点拨】因为大正方形的面积＝9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2，
所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D.
返回
6．将4x2＋1加上一项，使它能写成(a＋b)2的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是(　　)
A．4x B．－4x C．4x4 D．2x
D
返回
7．若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是________．
±12
返回
8．利用因式分解计算：
(1)992－1＝________．
(2)1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________．
9 800
16
9.下面是嘉淇同学把多项式－16my2＋4mx2分解因式的具体步骤：
　－16my2＋4mx2
＝4mx2－16my2(利用加法交换律变形)①
＝m(4x2－16y2)(提取公因式m)②
＝m[(2x)2－(4y)2](逆用积的乘方公式)③
＝m(2x＋4y)(2x－4y)(运用平方差公式因式分解)．④
(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是_____________________________________；
第②步公因式没有提取完全
返回
(2)请给出这个问题的正确解法．
－16my2＋4mx2＝4mx2－16my2＝4m(x2－4y2)
＝4m(x＋2y)(x－2y)．
10．分解因式：
(1)25a2－(4a－3b)2; 　
(2)a2(x－y)＋9(y－x)；

【解】原式＝[5a－(4a－3b)][5a＋(4a－3b)]＝(a＋3b)(9a－3b)＝3(a＋3b)(3a－b)．
【解】原式＝(x－y)(a2－9)＝(x－y)(a＋3)(a－3)．
返回
(3)(x＋2)(x＋6)＋4;
(4)(a2－12)2＋6(a2－12)＋9.
【解】原式＝x2＋8x＋12＋4＝x2＋8x＋16＝(x＋4)2.
【解】原式＝(a2－12＋3)2＝(a2－9)2＝(a＋3)2(a－3)2.
返回
11．对任意整数n，(2n＋3)2－1都(　　)
A．能被2整除，不能被4整除
B．能被3整除
C．既能被2整除，又能被4整除
D．能被5整除
C
【点拨】(2n＋3)2－1＝(2n＋3＋1)(2n＋3－1)＝(2n＋4)(2n＋2)＝4(n＋2)(n＋1)，∵n为任意整数，
∴4(n＋2)(n＋1)既能被2整除，又能被4整除．
返回
12．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□－4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
D
公式法因式分解
公式
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
两数和(或差)平方公式：
a2±2ab＋b2 = (a±b)2

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