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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.1.2定理与证明第12章全等三角形12.1.2定理与证明同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.1.2定理与证明知识点，紧扣基本事实、定理、证明的定义与区别、几何证明步骤、推理依据书写等核心考点。题型梯度清晰，覆盖概念辨析、基础填空、推理判断、完整几何证明书写，针对性解决学生混淆基本事实与定理、证明步骤混乱、漏写推理依据等高频问题，规范几何推理书写格式。一、填空题（每空2分，共20分）1.人们长期实践总结出来，作为原始依据的真命题叫做________，也叫公理。2.经过________得到的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。3.根据条件、定义、基本事实、定理等，经过________来判断一个命题是否正确的过程，叫做证明。4.证明的每一步推理都要有________，不能凭空臆断。5. “两点确定一条直线”属于________。（填“基本事实”或“定理”）6. “对顶角相等”是________，需要通过推理证明得出。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列属于基本事实的是（）A.对顶角相等B.两点之间，线段最短C.同角的余角相等D.两直线平行，内错角相等2.下列说法正确的是（）A.定理不一定是真命题B.基本事实不需要证明C.真命题一定是基本事实D.假命题也可以作为推理依据3.下列属于定理的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.同位角相等，两直线平行C.两点确定一条直线D.以上都是4.几何证明过程中，每一步推理的依据不能是（）A.已知条件B.个人猜测C.基本事实D.已证定理5.下列关于命题、定理、基本事实说法错误的是（）A.基本事实是真命题B.定理是经过证明的真命题C.所有真命题都是定理D.命题有真有假三、解答题（共50分）1.概念辨析（每题5分，共20分）：判断下列语句是基本事实、定理、一般命题。（1）同角的补角相等（2）两点确定一条直线（3）相等的角是对顶角（4）垂线段最短2.补全证明过程（14分）：已知：$$\angle1=\angle2$$，求证：$$\angle1$$与$$\angle2$$的补角相等。补全每一步推理依据。3.基础证明题（16分）：求证：同角的余角相等。四、参考答案与解析填空题答案：1.基本事实2.证明推理3.推理4.依据5.基本事实6.定理选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C解答题解析：1.（1）定理（2）基本事实（3）假命题（4）基本事实2.证明：设$$\angle1$$的补角为$$\angle3$$，$$\angle2$$的补角为$$\angle4$$。∵$$\angle1+\angle3=180^\circ，\angle2+\angle4=180^\circ$$（补角定义）又∵$$\angle1=\angle2$$（已知）∴$$\angle3=\angle4$$（等角的补角相等）3.已知：$$\angle1+\angle2=90^\circ，\angle1+\angle3=90^\circ$$，求证：$$\angle2=\angle3$$。证明：∵$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$（已知）∴$$\angle2=90^\circ-\angle1，\angle3=90^\circ-\angle1$$（等式性质）∴$$\angle2=\angle3$$（等量代换）核心考点总结：基本事实（公理）：无需证明，直接作为推理基础；定理：经过严格证明的真命题，可用于推理；证明核心：步步有依据（已知、定义、公理、定理）；几何证明必须逻辑严谨、步骤完整、依据准确，是后续几何大题书写的核心基础。学习目标
1.理解基本事实、定理等概念.（重点）
2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点）
复习回顾
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.
例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义.
讨论：你能举出其他类似的例子吗
定义、定理与证明
1
讨论：判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题
(1) 内错角相等,两直线平行；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；
(4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
(4)(5)是公认的真命题.
(4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗
2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
1. 两点之间线段最短.
3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
(简述为：同位角相等，两直线平行).
(1) 内错角相等,两直线平行
定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
真命题
“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据.
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2 + 1 = 3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211，
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？
试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？
结果都是质数.
思考
(2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？
不正确.
如钝角三角形.
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面的几个例子说明了什么问题？
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
探讨归纳
命题
真命题
假命题
基本事实
一般举一个反例即可
定理
基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系：
定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围.
定义
归纳总结
证实其他命题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
定义、基本事实
一些条件
＋
归纳总结
例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°.
求证：∠A +∠B = 90°.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，
(三角形的内角和等于 180°)，
又∵∠C = 90° (已知)，
∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质).
A
B
C
典例精析
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.
例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
b
a
(
2
)
1
) 3
你能根据图写出此定理的已知和求证吗？
证明：我们将∠1的同位角记为∠3.
∵ a∥b (已知)，
∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　
已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角.
求证：∠1 + ∠2 = 180°.
∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换).
又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)，
典例精析
练 习
1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小题（1）所示的定理：
（1）同旁内角互补，两直线平行；
解：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
结论：这两条直线平行.
已知：如图，直线a、b被直线c所截，∠1+∠2=180°.
求证：a∥b.
证明：∵∠1+∠3=180°(平角的定义)，
∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠2=∠3(同角的补角相等)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
（2）三角形的外角和等于360°.
解：如果三个角分别是一个三角形的三个外角，那么这三个角的和等于360°.
条件：三个角分别是一个三角形的三个外角；
结论：这三个角的和等于360°.
已知：如图，△ABC中，∠DAC，∠EBA，∠BCF为△ABC 的外角．
求证：∠DAC+∠EBA+∠BCF=360°．
证明：由题意，可得∠BAC+∠CAD=180°，
∠ABC+∠EBA=180°，∠BCA+∠BCF=180°，
∴∠BAC+∠CAD+∠ABC+∠EBA+∠BCA+
∠BCF=540°．
由三角形内角和定理知：∠BAC +∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=540° 180°=360°．
即三角形外角和等于 360°．
2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由.
解：假命题.理由：如图，直线AB、AC被直线BC所截，∠2与∠1是内错角，但∠2≠∠1.
3.如图，已知∠B=50°，∠C=70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE=120°.求证：DE∥AC.
对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.
证明 ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等
于180°)，
∠B=50°(已知) ，∠C=70°(已知)，
∴∠A=60°(等式的性质).
____________________________________，
____________________________________，
____________________________________.
∵∠ADE=120°(已知)
∴∠A+∠ADE=180°
∴DE∥AC(同旁内角互补，两直线平行)
返回
1．下列属于定义的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
D
返回
2．“两点之间线段最短”是(　　)
A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理
C
返回
3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
返回
4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为∠A＝∠C(已知)；
②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；
③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；
④所以∠B＝∠D(等量代换)；
⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)．
正确的顺序是________________．
②③①⑤④
5. 完成下面的推理填空：
已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G.
求证：AB∥CD.
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF＝90°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠D(已知)，
∴________∥________(_____________________________)，
AF
DE
同位角相等，两直线平行
返回
∴∠4＝∠CGF(____________________________)，
∴∠4＝90°.
又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°.
又∵∠2与∠C互余(已知)，
∴∠C＝∠3(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(____________________________)．
两直线平行，同位角相等
90
内错角相等，两直线平行
6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据
图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG，
可以添加的条件是________________________________；
(2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明．
条件：________________________，结论：___________.(填序号)
∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一)
(答案不唯一)①③
②
证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD.
∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC.
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7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________；
互相垂直
共线(或在一条直线上)
互相平行
互相平行
互相垂直
【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性；
∥
【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的．
∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的．
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定义、定理与证明
基本事实
定理的概念
证明
步骤：(1) 根据题意作出图形；
(2) 写出已知和求证；
(3) 写出证明的过程
概念
定义

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