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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.2.5斜边直角边第12章全等三角形12.2.5斜边直角边（HL）同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.2.5知识点，紧扣斜边直角边（HL）判定定理，是直角三角形专属的全等判定方法。重点掌握HL的适用条件、区分普通三角形与直角三角形判定差异，明确HL无需夹角、无需角条件的特殊性，规避“普通三角形用HL判定”“边角不对应”等高频易错点。题型梯度完整，覆盖概念填空、正误辨析、条件补充、规范证明，完善全等判定知识体系。一、填空题（每空2分，共20分）1. ________三角形专属的全等判定方法是斜边直角边定理，简写成________。2. HL定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。3. HL判定只能用于________三角形，不能用于普通锐角、钝角三角形。4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，________，可依据HL判定全等。5.直角三角形全等判定中，HL________用到角相等的条件（填“需要”或“不需要”）。6.判定两个直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、ASA、AAS。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列判定方法只适用于直角三角形的是（）A. SSS B. SAS C. HL D. ASA2.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A=∠D=90°，斜边BC=EF，AC=DF，则判定为（）A. HL B. SAS C. ASA D.无法判定3.下列说法正确的是（）A.任意三角形都能用HL判定全等B. HL需要两组直角边对应相等C. HL只需斜边、一条直角边对应相等D. HL判定必须有角相等条件4.不能判定两个直角三角形全等的是（）A.斜边和一条直角边相等B.两条直角边对应相等C.三个角对应相等D.一个锐角和斜边对应相等5.已知两个直角三角形斜边相等，要用HL判定全等，需补充条件（）A.一个锐角相等B.一条直角边对应相等C.直角相等D.任意一边相等三、解答题（共50分）1.基础判定辨析（每题6分，共24分）：判断能否用HL判定全等，说明理由。（1）两个直角三角形，斜边和一条直角边对应相等（2）两个锐角三角形，两条边对应相等（3）两个直角三角形，只有斜边相等（4）两个直角三角形，斜边、一条直角边对应相等2.条件补充证明（12分）：已知∠C=∠D=90°，AB=AE，补充条件利用HL证明Rt△ABC≌Rt△AED。3.规范证明题（14分）：已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。四、参考答案与解析填空题答案：1.直角、HL 2.斜边、直角边3.直角4. $$AC=DF$$（或$$BC=EF$$）5.不需要6. SSS、SAS选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.C 5.B解答题解析：1.（1）能，符合HL直角三角形全等判定定理；（2）不能，HL仅适用于直角三角形；（3）不能，缺少对应直角边相等条件；（4）能，满足HL完整判定条件。2.补充条件：$$BC=ED$$。证明：∵$$\angle C=\angle D=90^\circ$$，∴△ABC、△AED为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△AED中，$$\begin{cases}AB=AE(\text{已知})\\BC=ED(\text{补充条件})\end{cases}$$，∴Rt△ABC≌Rt△AED(HL)。3.证明：∵$$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴$$\angle C=\angle D=90^\circ$$。在Rt△ABC和Rt△BAD中，$$\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}$$，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)。核心考点总结：HL是直角三角形专属判定，无需角度；判定条件：一斜边、一直角边对应相等即可；绝对易错点：普通三角形不能使用HL；解题常挖掘公共斜边、公共直角边作为隐含条件，是直角三角形全等证明的高频考点。学习目标
1.已知斜边、直角边会画直角三角形
2.经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性.
3.掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等
复习回顾
1.请将判定定理填到相应的图形下.
40°
92°
40°
92°
48°
43°
48°
43°
45°
45°
SAS
ASA
AAS
SSS
2.说一说直角三角形的三条边的名称.
90°
直角边
直角边
斜边
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量．
(1) 你能帮他想个办法吗？
根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角.
利用“HL”判定直角三角形全等
1
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定
“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
(2) 如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 　
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等 → 两个直角三角形全等
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
2 cm
3 cm
步骤：
1. 画一条线段 AB，使它等于 2 cm；
2. 画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺)；
3. 以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于 C；
△ABC 即为所求.
4. 连结 BC.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
画一画
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL ”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL ).
∵AB = A′B′，
BC = B′C′，
“SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
知识要点
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
∵AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL ”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
典例精析
练一练
变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A
B
D
C
AD ＝ BC
∠DAB ＝∠CBA
BD ＝ AC
∠DBA ＝∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC.
求证：BD = AC.
变式2
HL
BD ＝ AC
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系.
变式3
HL
∠ADB ＝ ∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
例2 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE.
AB＝AB，
AD＝AF，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
证明: ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°(垂直的定义)，
∴△BED与△CFD都是直角三角形(直角三角形的定义)．
∵D为BC的中点，∴BD=CD．
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵BD=CD(已证)，DE=DF(已知)，
∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL)．
练 习
1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF. 求证：Rt△BED≌Rt△CFD.
2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=BD.
证明：∵∠C=∠D=90°(已知)，
∴△ACB和△ADB都是直角三角形
(直角三角形的定义).
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵AB=AB(公共边)，AC=AD(已知)，
∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (HL)．
∴BC=BD(全等三角形的对应边相等)．
3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，这两个滑梯的倾斜角∠CBA与∠EFD的大小有什么关系？说说你的想法和理由.
解：∠CBA+∠EFD=90°.理由：
在Rt△BAC和Rt△EDF中，∵BC=EF(已知)，AC=DF(已知)，
∴Rt△BAC≌ Rt△EDF (HL)．
∴∠CBA=∠FED(全等三角形的对应角相等)．
∵∠FED+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠CBA+∠EFD=90°(等量代换).
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1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(　　)
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
C
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　)
A．28° B．59° C．60° D．62°
B
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3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝2 m，DE＝3 m，AD＝1 m，则BF的长为______m.
6
4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连结对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB；
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(2)DF＝CE＋EF.
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5．Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°.
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”．
AAS
ASA
HL
SAS
6．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝________°.
90
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7．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有(　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
B
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“斜边直角边”
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）

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