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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.1等腰三角形的性质第12章全等三角形12.3.1等腰三角形的性质同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.3.1知识点，紧扣等腰三角形的定义、边角性质、三线合一、轴对称性质等核心考点。重点训练“等边对等角”“三线合一”的理解与应用，针对性解决角度计算漏解、混淆三线适用条件、腰底不分等高频易错点，题型由浅入深，覆盖概念辨析、角度计算、基础证明、能力提升，规范几何推理书写。一、填空题（每空2分，共20分）1.有________条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。2.等腰三角形的两底角相等，简写成________。3.等腰三角形________、________、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。4.等腰三角形是________图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线。5.若等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角为________°。6.若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为________°。二、选择题（每题3分，共30分）1.等腰三角形的对称轴有（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条2.已知等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角的度数为（）A. 40°、40°B. 50°、50°C. 100°、20°D. 80°、20°3.下列关于等腰三角形“三线合一”说法正确的是（）A.任意边上的中线、高、角平分线重合B.腰上的三线互相重合C.底边上的中线、高、顶角平分线重合D.以上都不对4.等腰三角形一腰与底边的夹角是45°，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（）A. 70°B. 55°C. 70°或55°D. 40°三、解答题（共50分）1.基础计算题（每题6分，共24分）：求等腰三角形内角度数。（1）顶角为40°（2）底角为70°（3）一个角为90°（4）一个角为60°2.基础证明题（12分）：已知AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。3.能力提升题（14分）：已知等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=20°，求△ABC的顶角和底角度数。四、参考答案与解析填空题答案：1.两2.等边对等角3.顶角平分线、底边上的中线4.轴对称5. 50 6. 80选择题答案：1.A 2.A 3.C 4.B 5.C解答题解析：1.（1）底角=(180° 40°)÷2=70°，三角度数：40°、70°、70°；（2）顶角=180° 70°×2=40°，三角度数：40°、70°、70°；（3）90°只能为顶角，底角=45°，三角度数：90°、45°、45°；（4）有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，三角均为60°。2.证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的高平分顶角，∴AD平分∠BAC。3.解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∠A=180° 90° 20°=70°。又AB=AC，∴底角∠ABC=∠ACB=(180° 70°)÷2=55°。即顶角70°，底角55°。核心考点总结：等腰三角形两大核心性质：等边对等角、三线合一；三线合一仅针对底边和顶角，腰不适用；角度计算需分类讨论，区分顶角和底角，杜绝漏解；含60°的等腰三角形为等边三角形，是常用推论，为后续几何计算与证明核心基础。学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的探究过程
3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
情境导入
这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形的定义与性质
1
如图，AB＝AC，
△ABC 是等腰三角形.
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？
D
A
B
C
做一做
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2. ∠B ＝∠C
探究归纳
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD.
在△ABD 与△ACD 中，
∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
知识要点
例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°，
求∠C 和∠A 的大小.
解：
典例精析
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B＝∠C
∠BAD＝∠CAD
∠ADB＝∠ADC＝90°
性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”.
例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小.
A
D
C
1
2
B
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ，
∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB
= 180° - 30° - 90° = 60°.
∴AD⊥BC.
∴∠ADC =∠ADB = 90°.
解：(1) ∵AB = AC，BD = DC，
典例精析
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？
P
Q
A
B
O
思考
在△APQ 和∠BPQ 中，
∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ，
∴△APQ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等).
又∵AP = BP，
∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一).
因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB.
P
Q
A
B
O
思考
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
相当于作线段 MN 的垂直平分线
就可以证明过点 C 所作的直线 CP
确实是已知直线 AB 的垂线
类似
类似垂直平分线的证明
试写出整个证明过程.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
C
B
等边三角形的性质
2
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
C
B
A
B
C
D
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 图中有哪些等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
典例精析
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x
的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x.
于是在△ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
练 习
1.填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为_____和______；
（2）如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为______.
50°
80°
55°
2. 如图，点E在BC上，AE∥DC， AB=AE. 求证：∠B=∠C.
A
D
C
E
B
证明：∵AE∥DC，
∴∠C=∠AEB(两直线平行，同位角相等).
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB(等边对等角).
∴∠B=∠C.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△BDC和△CEB中，
∵∠BDC=∠CEB，∠BCD=∠CBE，BC=CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
4. 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD.
证明：∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°(等边对等角).
∵∠DAC=50°，
∴∠ADC=180° ∠C ∠DAC=90°，
即AD⊥BC.
又∵AB=AC，
∴BD=CD(等腰三角形的三线合一).
返回
1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
D
返回
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　)
A．100° B．115° C．130° D．145°
B
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________．
45°
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4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD.
(1)试说明∠ABC＝2∠C；
【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C.
∴∠ABC＝2∠C.
(2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC.
【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE.
∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，
∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC.
返回
5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　)
A．∠ADB＝∠ADC
B．AD⊥BD
C．BC＝2AD
D．△ABD与△ACD的周长相等
C
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6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________．
6
返回
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　)
A．56° B．58° C．60° D．62°
A
【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A.
返回
C
返回
返回
9. 如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE＋OF的值为________．
5
10. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝65，AD是∠BAC的平分线，E是AD边上的动点，F是AB边上的动点，则BE＋EF的最小值为________．
10
11. 如图，在△ABC中，BA＝AC＝20 cm，BC＝16 cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为__________cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
2或2.5
等腰三角形的性质
等边对等角
等边三角形
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
三线合一
有三条对称轴，每个内角等于 60°.

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