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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.2等腰三角形的判定第12章全等三角形12.3.2等腰三角形的判定同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.3.2知识点，紧扣等腰三角形的核心判定定理，重点掌握“等角对等边”的判定方法，区分等腰三角形的性质与判定的互逆关系。针对性解决性质与判定混淆、角度推导出错、不会根据边角关系判定三角形形状、遗漏隐含等腰三角形等高频易错点。题型梯度清晰，覆盖概念填空、正误辨析、角度推导、几何证明、能力提升，规范几何推理书写，完善等腰三角形知识体系。一、填空题（每空2分，共20分）1.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成________。2.等腰三角形的判定与性质互为________关系。3.在△ABC中，若∠A=∠B，则________=________，△ABC为等腰三角形。4.有两个角相等的三角形一定是________三角形。5.若三角形的三个内角之比为1:1:2，则该三角形是________三角形。6.在△ABC中，∠C=50°，∠A=50°，则可判定________=________。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列条件能判定三角形为等腰三角形的是（）A.有两个角互余B.有两个角相等C.三个角都相等D.有一个角为60°2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形3.下列说法正确的是（）A.等边对等角是判定定理B.等角对等边是判定定理C.有一条边相等的三角形是等腰三角形D.有一个角相等的三角形是等腰三角形4.三角形内角分别为30°、120°、30°，该三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判定5.下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A=50°，∠B=60°D. ∠B=∠C三、解答题（共50分）1.基础判定（每题6分，共24分）：根据角度判断三角形是否为等腰三角形。（1）∠A=60°，∠B=60°（2）∠A=45°，∠B=90°（3）∠A=35°，∠B=110°（4）∠A=70°，∠C=40°2.基础证明题（12分）：已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。3.能力提升题（14分）：已知AD∥BC，BD平分∠ABC，求证：△ABD是等腰三角形。四、参考答案与解析填空题答案：1.等角对等边2.互逆3. BC、AC 4.等腰5.等腰直角6. AB、BC选择题答案：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C解答题解析：1.（1）是，两角相等，为等腰三角形（同时为等边三角形）；（2）是，剩余角度为45°，两角相等；（3）是，剩余角度为35°，两角相等；（4）是，剩余角度为70°，∠A=∠B。2.证明：过点A作AD⊥BC于点D。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。3.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD（等角对等边），∴△ABD是等腰三角形。核心考点总结：判定核心口诀：等角对等边；性质：等边→等角，判定：等角→等边，二者不可混淆；几何常结合平行线、角平分线、垂直等条件推导等角，进而判定等腰三角形，是几何证明的高频考点。学习目标
1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边
三角形的判定定理.(重点)
2.能用等腰三角形性质定理与判定定理
3.等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)
复习回顾
等腰三角形的性质：
A
B
C
1.等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
1
在△BAD 与△CAD 中，
∠1 =∠2，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∵∠B =∠C，
AD = AD，
∴AB = AC (全等三角形的对应边相等).
如图，作∠BAC 的平分线 AD.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
等角对等边
等边对等角
知识要点
例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.
A
B
C
证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
∠A = 40°，∠B = 70°，
∴∠C = 180° -∠A -∠B，
= 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠C =∠B.
∴ AB = AC(等角对等边).
典例精析
40°
70°
证明：∵ AB∥CD (已知)，
∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 =∠2，
∴∠B =∠1 (等量代换).
∴AB = AC (等角对等边).
例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
A
B
C
（
（
1
2
D
分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
等边三角形的判定
2
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B，
∴ AC = BC.
∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边
AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.
A
C
B
B'
A'
C'
B
(A)
(C)
∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，
∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.
即点 B、C'、B' 在同一条直线上.
在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，
∴ ∠B =∠B' (等边对等角).
在△ABC 和△A'B'C' 中，
∵∠B =∠B' (已证)，
∠ACB =∠ A'C'B' (已知)，
AC = A'C' (已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
B'
A'
A
C
B
C'
B
(A)
(C)
这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理
练 习
1. 如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.
A
B
C
D
∠ACB=72°
∠BCD=∠ACD=36°
△ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形.
2. 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB=EC.
B
A
E
D
C
证明：在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等).
∴EB=EC(等角对等边).
3. 如图，∠A=∠B，CE∥DA. 求证：CE=CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形
B
A
D
C
E
证明：∵CE∥DA，
∴∠A=∠CEB(两直线平行，同位角相等).
∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.
∴CE=CB(等角对等边).
增加条件∠A=60°时，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）.
A 组
1.等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长.
解：①当腰长是6时，底边长为16 6 6=4.
∵4+6>6，∴符合三角形的三边关系.
②当底边长是6时，腰长为 ×(16 6)=5.
∵5+5>6，∴符合三角形的三边关系.
综上所述，三角形另两条边的长分别为6、4或5、5.
2.等腰三角形的底角比顶角大15°，求各个角的度数.
解：设顶角为x°，则底角为(15+x)°.
由三角形的内角和等于180°，得x+2(15+x)=180，
解得x=50，则15+x= 65.
所以三角形各个角的度数分别为50°，65°，65°.
3.有两个三角形，它们的三个角分别为：① 20°，40°，120°；② 20°，60°，100°. 怎样把它们分别分成两个等腰三角形 画出图形试试看.
解：如图①②所示，图①有两种分法.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是边BC上的点，且BD=CE. 求证：∠ADE=∠AED.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE(全等三角形的对应边相等).
∴∠ADE=∠AED(等边对等角).
5. 如图，AB、CD相交于点E，EA=EC，AC∥BD. 求证：EB=ED.
证明：∵AC∥BD，
∴∠D=∠C，∠B=∠A(两直线平行，内错角相等).
∵EA=EC，∴∠A=∠C(等边对等角).
∴∠B=∠D(等量代换).
∴EB=ED(等角对等边).
B 组
6.如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O. 求证：OB=OC，OD=OE.
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBO=∠EBC= ∠ABC.
同理，∠ECO=∠DCB= ∠ACB.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DBO=∠ECO，∠EBC=∠DCB.
∴OB=OC.在△DBO和△ECO中，
∵∠DBO=∠ECO，BO=CO，∠DOB=∠EOC，
∴△DBO≌△ECO(ASA). ∴OD=OE.
7.如图，已知点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵D为BC的中点，∴DB=DC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.
∴△DEB和△DFC都是直角三角形.
在Rt△DEB和 Rt△DFC中，∵DB=DC，BE=CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
∴AB=AC(等角对等边). ∴△ABC是等腰三角形.
在Rt△DEB中，∠BDE= 30°，∠B=90° ∠ BDE=
90° 30°=60°. ∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
8. 在如图所示的三角测平架中，AB=AC，在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
解：BC正好处于水平位置.理由如下:
由题意可知AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
而AD与地面垂直，∴BC与地面平行.
∴BC正好处于水平位置.
4.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.即：如图，已知线段a、h，求作△ABC，使AB=AC，BC=a，边BC上的高AD=h.
解：如图所示.
D
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.

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