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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.2线段垂直平分线第12章全等三角形12.4.2线段垂直平分线同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.4.2知识点，紧扣线段垂直平分线的定义、性质定理、判定定理两大核心考点。重点掌握“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”和“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”的互逆定理，区分性质与判定的用法，结合几何计算、证明题型训练，解决定理混用、条件遗漏、作图原理不清等易错问题，巩固几何推理与图形认知能力。一、填空题（每空2分，共20分）1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的________。2.线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离相等。3.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。4.线段的垂直平分线可以看作是________的所有点的集合。5.若点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=5，则PB=________。6.若PA=PB，则点P在________的垂直平分线上。二、选择题（每题3分，共30分）1.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB2.已知PA=PB，则点P的位置是（）A.在线段AB上B.在线段AB的垂直平分线上C.在直线AB上方D.在直线AB下方3.下列说法正确的是（）A.垂直于线段的直线就是垂直平分线B.平分线段的直线就是垂直平分线C.垂直平分线上的点到线段两端距离相等D.以上都不对4.在△ABC中，AB=AC，则点A在（）A. BC的垂直平分线上B. AB的垂直平分线上C. AC的垂直平分线上D.无法确定5.若直线l垂直平分AB，直线m垂直平分AB，则直线l与m的关系是（）A.相交B.平行或重合C.垂直D.无法判断三、解答题（共50分）1.基础计算题（每题6分，共24分）（1）已知直线l垂直平分线段AB，点P在l上，PA=8，求PB的长。（2）已知点P在AB垂直平分线上，PB=12，求PA的长。（3）若MA=MB，NA=NB，判断直线MN与线段AB的位置关系。（4）△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，若DB=DC，∠B=50°，求∠DCB度数。2.基础证明题（12分）：已知直线l垂直平分AB，点P在直线l上，求证：PA=PB。3.能力提升题（14分）：已知在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，求证：AD垂直平分BC。四、参考答案与解析填空题答案：1.垂直平分线2.两个端点3.垂直平分线4.到线段两端距离相等5. 5 6.线段AB选择题答案：1.A 2.B 3.C 4.A 5.B解答题解析：1.（1）根据线段垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PB=8；（2）同理可得PA=12；（3）∵MA=MB，NA=NB，∴M、N都在AB垂直平分线上，两点确定一条直线，故直线MN垂直平分AB；（4）∵DB=DC，∴∠DCB=∠B=50°。2.证明：设直线l交AB于点O。∵直线l垂直平分AB，∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°。在△POA和△POB中，AO=BO，∠POA=∠POB，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。3.证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。又∵D为BC中点，∴BD=DC，点D在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，∴直线AD垂直平分BC。核心考点总结：线段垂直平分线两大核心定理：性质定理（线上点→距两端等）、判定定理（距两端等→点在线上）；两定理互为互逆定理，是几何计算、证明线段相等、垂直关系的重要依据；常结合等腰三角形、全等三角形综合考查，解题优先利用垂直平分线性质转化边长。学习目标
1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理
2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3.了解数学和生活的紧密联系.
复习回顾
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
C
D
O
对称轴：线段的垂直平分线
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（又名中垂线）
如何利用尺规作线段的垂直平分线呢？
A
B
作法：1.分别以A、B两点为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧相交于C、D点；
C
D
2.过C、D两点作直线CD.
所以，直线CD就是所求.
线段的垂直平分线有哪些性质呢？
如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿
直线 MN 对折，你发现了什么？如何
表达，并简述你的证明过程.
对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
线段垂直平分线的性质定理
1
M
A
B
N
C
P
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知），
∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义).
在△ACP 和△BCP 中，
∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC，
∴ △ACP≌△BCP (SAS).
∴PA = PB (全等三角形的对应边相等).
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
M
N
P
A
C
B
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
几何语言叙述：
∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
（或 PC⊥AB，AC = BC），
∴ PA = PB.
M
N
P
A
C
B
知识要点
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定定理
2
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上．
分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB；
也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB．
证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C，
∵ QA = QB，QC⊥AB，
∴ AC = BC (等腰三角形的三线合一).
∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
知识要点
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢
试一试
点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
O
l
n
m
l 是 AB 的垂直平分线
m 是 BC 的垂直平分线
OA = OB
OB = OC
OA = OC
点 O 在 AC的垂直平分线 n 上
证明：连接 PA，PB，PC.
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
∴ PA = PB，PA = PC
(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等).
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
B
C
A
P
l
n
m
练 习
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
A
B
l
P
2. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE. 求证：AB+CD=AD +CB.
D
A
C
B
E
证明：∵BD⊥AC，AE=CE，
∴AD=CD，AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，
∴AB+CD=AD+CB.
3.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且BD+AD=BC. 求证：点D在边AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD+AD=BC，BD+CD=BC，
∴AD=CD，
∴点D在边AC的垂直平分线上.
返回
1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D，连结CD，则∠ACD的大小为(　　)
A．60° B．75° C．65° D．70°
B
2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　)
A．5 B．8 C．9 D．10
A
返回
3. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB，AC，则∠DBC的度数为(　　)
A．15°
B．16°
C．18°
D．20°
A
返回
4．如图，在△ABC中，E是BC边上一点，连结AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连结DE.
(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，则AB＝________；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
6
返回
因为∠ABC＝30°，∠C＝45°，
所以∠BAC＝180°－30°－45°＝105°.
由题意易得AB＝EB，AD＝ED.又因为BD＝BD，
所以△BAD≌△BED(SSS)．
所以∠BED＝∠BAC＝105°.
所以∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°.
返回
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是________．
2
返回
6. 风筝又称“纸鸢”，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝90 cm，BD＝60 cm，则制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
2 700
7. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，求证：OP垂直平分AB.
【证明】证法1(判定定理法)：
∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP.
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，
∴△AOP≌△BOP(AAS)，点P在AB的垂直平分线上．
∴OA＝OB.∴点O在AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分AB.
返回
如图，设OP与AB相交于点C，
∵∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC(SAS)．
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，AC＝BC.
∴OP⊥AB.∴OP垂直平分AB.
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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