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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.3角平分线第12章全等三角形12.4.3角平分线同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册12.4.3知识点，紧扣角平分线的性质定理与判定定理两大核心内容。重点掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”和“到角两边距离相等的点在角的平分线上”一组互逆定理，区分性质与判定的使用场景，纠正“距离理解错误、定理乱用、缺少垂直条件”等高频易错点。题型梯度清晰，覆盖概念填空、选择辨析、基础计算、规范证明、能力提升，完美衔接线段垂直平分线知识，完善几何点的轨迹体系。一、填空题（每空2分，共20分）1.角平分线上的点到这个角两边的________相等。2.到一个角两边距离相等的点，在这个角的________上。3.角平分线所在直线可以看作是________的所有点的集合。4.若点P在∠AOB的平分线上，且点P到OA的距离为3，则点P到OB的距离为________。5.角平分线的性质与判定定理互为________定理。6.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形________的距离相等。二、选择题（每题3分，共30分）1.点P在∠AOB平分线上，下列结论正确的是（）A. PA=PB B.点P到OA、OB的距离相等C. OP=OA D. OP=OB2.若点P到∠AOB两边的距离相等，则点P一定在（）A. OB边上B. OA边上C. ∠AOB的平分线上D. ∠AOB内部任意位置3.运用角平分线性质定理的必备条件是（）A.点在角平分线上、垂直两边B.只需点在角平分线上C.只需两边垂直D.任意条件均可4.三角形内角平分线的交点是三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心5.下列说法错误的是（）A.角平分线上的点到角两边距离相等B.到角两边距离相等的点在角平分线上C.角平分线平分对边D.三角形三条角平分线交于一点三、解答题（共50分）1.基础计算题（每题6分，共24分）（1）点P在∠AOB平分线上，P到OA距离为6，求P到OB的距离。（2）点P到∠AOB两边距离均为4，判断点P的位置。（3）OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=5，求PE的长。（4）三角形三内角平分线交于一点，该点到一边距离为2，求到另外两边的距离。2.基础证明题（12分）：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。3.能力提升题（14分）：已知PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。求证：OP平分∠AOB。四、参考答案与解析填空题答案：1.距离2.角平分线3.到角两边距离相等4. 3 5.互逆6.三边选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.B 5.C解答题解析：1.（1）根据角平分线性质，距离相等，答案为6；（2）点P在∠AOB的角平分线上；（3）由角平分线性质得PE=5；（4）三角形角平分线交点到三边距离相等，均为2。2.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，$$\begin{cases}\angle PDO=\angle PEO\\\angle POD=\angle POE\\OP=OP\end{cases}$$，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。3.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在Rt△PDO和Rt△PEO中，$$\begin{cases}OP=OP\\PD=PE\end{cases}$$，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。核心考点总结：角平分线性质：点在平分线→距两边相等；角平分线判定：距两边相等→点在平分线；解题必须带垂直条件，无垂直不能用定理；常与垂直、全等、线段垂直平分线综合出题，是几何转化线段相等、角度相等的核心工具。学习目标
1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理
证明意识和能力．
情境导入
AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个凉亭，使凉亭P到三条小路的距离相等．请同学们帮助选好凉亭P位置．
A
B
C
这要用到角平分线的知识.
怎么用呢？
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
O
B
M
N
Q
C
射线OC所在直线就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？
如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的性质定理
1
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，
∴ ∠DOP =∠BOP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，
∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE.
D
P
A
C
B
E
O
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，
且 PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD = PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
2
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP（公共边），
PD = PE（已知），
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ).
(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠DOP =∠EOP
B
A
D
O
P
E
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AO 是∠BAC 的平分线
BO 是∠ABC 的平分线
OI = OH
OG = OI
OH = OG
点 O 在∠BCA 的平分线上
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
N
M
典例精析
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
返回
1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　)
A．PC＝PD
B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO
D．∠CPD＝∠DOC
D
2．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
B
返回
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
C
返回
4．如图，点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为________．
54
返回
返回
5．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
D
6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H.
(1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；
【解】如图，过点P作PF⊥BE于点F.
由题意可知PH＝5 cm.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PF＝PH＝5 cm，
即点P到直线BC的距离为5 cm.
返回
6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H.
(2)求证：AP平分∠HAC.
【证明】∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE，
∴PF＝PD.由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH.
∵PH⊥BA，PD⊥AC，
∴AP平分∠HAC.
7. 如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝(　　)
A．4 B．3.5 C．3 D．5
B
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角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

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