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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.2直角三角形的判定第13章勾股定理13.1.2直角三角形的判定同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册13.1.2知识点，紧扣勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定方法。核心考点为利用三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，学会识别最长边、验证平方关系，区分勾股定理与逆定理的互逆用法，规避“找错最长边、公式套用颠倒、勾股数判断失误”等高频易错点。题型梯度由浅入深，覆盖概念填空、选择辨析、三边判定、综合应用，巩固直角三角形判定体系。一、填空题（每空2分，共20分）1.如果三角形的三边长$$a、b、c$$满足________，那么这个三角形是直角三角形。2.勾股定理的逆定理是判定________三角形的重要依据。3.利用三边判定直角三角形时，应先找出三边中的________。4.若三角形三边长为6、8、10，则该三角形________直角三角形。（填“是”或“不是”）5.满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为________。6.三角形三边长为5、12、13，最长边对应的角为________°。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、62.三角形三边长为9、12、15，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定3.判定直角三角形的核心依据是（）A.三边相等B.两边平方和等于第三边平方C.三角相等D.两边之和大于第三边4.下列各组线段，不能构成直角三角形的是（）A. 5、12、13 B. 7、24、25 C. 6、7、8 D. 8、15、175.关于勾股定理与逆定理说法正确的是（）A.两者无关联B.互为互逆定理C.完全相同D.都不能判定直角三角形三、解答题（共50分）1.基础判定题（每题6分，共24分）：判断下列三边能否构成直角三角形。（1）4、6、8（2）9、12、15（3）8、15、17（4）10、24、262.基础应用题（12分）：已知三角形三边长为1.5、2、2.5，判断该三角形是否为直角三角形。3.能力提升题（14分）：已知三角形三边长为$$n^2-1、2n、n^2+1$$（$$n>1$$），求证该三角形为直角三角形。四、参考答案与解析填空题答案：1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2.直角3.最长边4.是5.勾股数6. 90选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.C 5.B解答题解析：1.（1）$$4^2+6^2\neq8^2$$，不是直角三角形；（2）$$9^2+12^2=15^2$$，是直角三角形；（3）$$8^2+15^2=17^2$$，是直角三角形；（4）$$10^2+24^2=26^2$$，是直角三角形。2.解：最长边为2.5，$$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$$，$$2.5^2=6.25$$，满足$$a^2+b^2=c^2$$，该三角形是直角三角形。3.证明：最长边为$$n^2+1$$。$$(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$$，$$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$$，可得$$(n^2-1)^2+(2n)^2=(n^2+1)^2$$，故此三角形为直角三角形。核心考点总结：判定口诀：短边平方和=最长边平方，即为直角三角形；勾股定理（已知直角→得三边关系），逆定理（已知三边→判直角三角形）；正整数勾股数可倍数放大，依然能构成直角三角形；解题务必先找最长边，避免平方关系验算颠倒。学习目标
1.了解直角三角形的判定条件．（重点）
2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
3.
复习回顾
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.
两个角互余的三角形是直角三角形.
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8；
(3) a = 6，b = 8，c = 10.
可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形.
直角三角形的判定
1
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？
在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2.
对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？
△ABC≌△ A′B′C′ 　　
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证一证
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
A
B
C
B′
C′
A′
证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
则 A′B′ = a + b = c ，即 A′B′ = c.
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∵ BC = a = B′C′，
AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′ .
∴∠C = ∠C′ = 90°.
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理
这是判定直角三角形的一个依据.
形
数
知识要点
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形
归纳总结
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，
∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13 ，b = 14，c = 15.
(2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225，
∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
典例精析
例2 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
典例精析
在△BCD 中，
所以△BCD 是直角三角形，
∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
例3 已知△ABC，AB = n - 1，BC = 2n，AC = n +1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB + BC = (n - 1) + (2n)
= n4 - 2n + 1 + 4n
= n4 + 2n + 1
= (n + 1)
= AC ，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
先确定
AB、BC、AC、
的大小
典例精析
概念：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
常见勾股数： ① 3，4，5 ；② 6， 8， 10；
③ 5，12，13； ④ 8，15，17； ⑤ 7，24，25.
2
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
练 习
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足 ，则这个三角形是直角三角形吗？
解：∵ ，∴a2=c2 b2.∴a2+b2=c2.
∴这个三角形是以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形.
3.想一想，你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形.
解：有3种方法，分别是：
（1）直角三角形的定义；
（2）勾股定理的逆定理；
（3）一个三角形中有两个角的和为90°.
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积.
解：如图，延长AD到点E，使 DE=AD，连结BE.
∵D为BC的中点，∴ CD=BD.
在△ADC和△EDB中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴ S△ADC=S△EDB，BE=AC=5.
又∵AE=2AD=4，AB=3，∴AB2+AE2=32+42=25=BE2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°，即AB⊥AE.
拓展提升
如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，求△ABC的面积.
∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=S△EDB+S△ADB
=S△ABE
= AE·AB= ×4×3=6.
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1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　)
A．5，9，12 B．5，9，13
C．5，12，13 D．9，12，13
C
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2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A?∠B?∠C＝3?4?5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　)
A．①④ B．①②④
C．②③④ D．①②③
B
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3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　)
A．点A B．点B C．点C D．点D
D
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4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______．
150°
【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°.
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.
(2)求图中阴影部分的面积．
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C
m
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8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
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B
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135°或45°
10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________．
【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°.
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11. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________．
1
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12. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB－∠DCE＝________°.
45
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数

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