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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.3反证法第13章勾股定理13.1.3反证法同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册13.1.3知识点，紧扣反证法的定义、推理步骤、适用场景及基础应用。重点掌握反证法“反设、归谬、存真”三步核心流程，学会正确否定命题结论、推出矛盾，区分直接证明与间接证明的差异。针对性解决结论否定错误、矛盾点找不准、步骤书写混乱等高频易错点，题型梯度完整，夯实几何间接推理逻辑。一、填空题（每空2分，共20分）1.反证法是一种________证明方法。（填“直接”或“间接”）2.反证法的三大步骤：________、________、存真。3.用反证法证明命题时，首先需要假设命题的________成立。4.反证法的核心是通过推理推出与已知条件、________、基本事实、定理相矛盾的结果。5.证明“一个三角形中最多有一个直角”，应假设________。6.矛盾出现后，即可判定________错误，原命题成立。二、选择题（每题3分，共30分）1.反证法的第一步是（）A.推出矛盾B.假设结论不成立C.证明原命题D.总结结论2.用反证法证明“三角形内角中至少有一个角不大于60°”，反设正确的是（）A.三个角都小于60°B.三个角都大于60°C.至多一个角大于60°D.至少一个角大于60°3.下列适合用反证法证明的是（）A.基础边角计算B.唯一性、至多、至少类命题C.角度求值D.边长证明4.用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，归谬的目的是（）A.推出合理结论B.推出矛盾，否定假设C.直接证明命题D.化简条件5.下列关于反证法说法正确的是（）A.无需假设直接推理B.假设可以随意设定C.推出矛盾即可证明原命题成立D.属于直接证明法三、解答题（共50分）1.基础反设训练（每题6分，共24分）：写出下列命题的反设。（1）三角形中最多有一个钝角（2）两条直线只有一个交点（3）直角三角形只有一个直角（4）同一平面内垂直于同一直线的两直线平行2.简单证明训练（12分）：用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。3.能力提升证明（14分）：用反证法证明：同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。四、参考答案与解析填空题答案：1.间接2.反设、归谬3.结论不成立4.定义5.一个三角形中有两个或三个直角6.假设选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C解答题解析：1.（1）反设：三角形中有两个或三个钝角；（2）反设：两条直线有两个或两个以上交点；（3）反设：直角三角形中有两个或三个直角；（4）反设：同一平面内垂直于同一直线的两直线不平行。2.证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°。则∠A+∠B=180°，三角形内角和为180°，则∠C=0°，不符合三角形定义，矛盾。故假设不成立，原命题成立。3.证明：假设同一平面内，两条直线a、b都垂直于直线c，且a、b不平行，则a、b相交。设交点为P，那么过点P有两条直线垂直于同一直线c，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾。故假设不成立，原命题成立。核心考点总结：反证法三步口诀：否定结论、推出矛盾、肯定原命题；高频考点：“至多、至少、唯一、存在”类命题优先用反证法；易错点：反设书写不完整、遗漏多种情况、强行造矛盾；矛盾来源：已知条件、定义、基本事实、定理，是间接几何证明的核心方法。学习目标
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想
2.理解并体会反证法的思想内涵. (难点)
3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.
情境导入
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，
BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
探究： (1) 假设它是直角三角形；
(2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；
(3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形.
c
a
b
A
C
B
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
知识要点
例1 写出下列各结论的反面：
(1) a∥b；
(2) a≥0；
(3) b 是正数；
(4) a⊥b.
a＜0
b 是 0 或负数
a 不垂直于 b
a 不平行于 b
典例精析
例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
B
C
证明：假设　　　　　，
则　　　　　(　　　　　 ).
这与　　　　　　　　　矛盾．
假设不成立．
∴　　　　　　　　．
∠B＝∠C
AB＝AC
等角对等边
已知 AB≠AC
∠B≠∠C
小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢
即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗
想一想
1. 反设：
证明：
3. 得出结论：
2. 推出矛盾：
假设在△ABC 中，∠C≠90° 时，
a2 + b2 = c2 成立.
根据勾股定理的逆定理，当 a + b = c 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾.
所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a + b ≠c ”是真命题.
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线 a，b.
求证：a 与 b 只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
a
b
A
●
典例精析
证明：假设 a 与 b 不止一个交点，
不妨假设有两个交点 A 和 A'，
因为两点确定一条直线，即经过
点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立.
所以两条直线相交只有一个交点.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
a
b
A
●
A'
●
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　 　　　　　　　　　　　，
于是　 　　　　　　　　　　　　　　，
这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
三角形的内角和为180°
△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°
点拨：至少的反面是没有！
∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180°
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有 n 个
小于 至多有 n 个
对所有 x成立 对任何 x 不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n - 1)个
至少有（n + 1)个
存在某个 x 不成立
存在某个 x 成立
不等于
某个
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1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设(　　)
A．没有一个角是钝角或直角
B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角
D．没有一个角是钝角
A
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2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设(　　)
A．AB≠AC
B．PB＝PC
C．∠APB＝∠APC
D．∠PBC≠∠PCB
B
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3．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与(　　)矛盾．
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D．垂直的定义
B
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4．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补．
【解】已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：假设∠1＋∠2≠180°.
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3.
∵∠1＋∠2≠180°，
∴∠3＋∠2≠180°，这和平角为180°矛盾，
∴假设∠1＋∠2≠180°不成立，即∠1＋∠2＝180°.
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5．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立．∴∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(　　)
A．④③①② B．③④②①
C．①②③④ D．③④①②
D
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6．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设______________________．
a，b都不能被5整除
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7. 阅读下列内容，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明过程有没有错误？若没有错误，指出证明的方法；若有错误，请改正．
【解】有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.
又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°，
这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC.
8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法证明点M与点D不重合．
【证明】假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连结BN.
∵AM是BC边上的中线，
∴CM＝BM.又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN，
∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC.
∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC，
∴∠MNB＝∠BAM，∴BN＝AB，∴AC＝AB，这与AB＞AC相矛盾．
∴点M与点D重合是错误的．∴点M与点D不重合．
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反证法
概念
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论.
证明步骤

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