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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2勾股定理的应用第13章勾股定理13.2勾股定理的应用同步练习题（含解析）本节习题适配华东师大版八年级上册13.2知识点，核心训练勾股定理在实际生活、几何图形中的应用。重点掌握将实际问题转化为直角三角形模型的方法，熟练解决路程、高度、折叠、最短路径、距离测算等经典题型。规避“不会构造直角三角形、斜边直角边混淆、单位遗漏、折叠边长转化错误”等高频易错点，题型由浅入深，贴合考试常考题型，强化数形结合解题思维。一、填空题（每空2分，共20分）1.运用勾股定理解实际问题的核心是把实际问题转化为________三角形问题。2.测量竖直高度、水平距离、坡面长度时，________为斜边。3.一架梯子斜靠在墙上，梯子长度对应直角三角形的________。4.长方形对角线长10，长为8，则长方形的宽为________。5.池塘两端测距问题，通常构造________三角形利用勾股定理求解。6.直角三角形两直角边为9、12，则斜边上的长度为________。二、选择题（每题3分，共30分）1.梯子靠墙问题中，梯子下滑时不变的量是（）A.墙高B.梯子底端距离C.梯子长度D.地面宽度2.长方形长12、宽5，其对角线长度为（）A. 13 B. 14 C. 15 D. 163.下列实际问题不能用勾股定理求解的是（）A.梯子靠墙高度B.两点直线距离C.任意三角形面积D.坡面斜长4.一棵树折断后，树顶落地距树根6m，折断部分长10m，则树折断处高度为（）A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m5.解决立体图形最短路径的核心是（）A.直接测量B.展开为平面，构造直角三角形C.估算长度D.平移线段三、解答题（共50分）1.基础应用题（每题6分，共24分）（1）已知梯子长13m，底端距墙5m，求梯子顶端离地高度。（2）长方形门框高2.4m，宽1.8m，求门框对角线长度。（3）池塘边两点A、B，取点C使∠C=90°，AC=8m，BC=6m，求AB距离。（4）一棵树高16m，折断后树顶落地点距离树根8m，求折断部分长度。2.经典模型题（12分）：一架长25m的梯子斜靠在墙上，底端离墙7m，若梯子顶端下滑4m，求梯子底端水平滑动的距离。3.能力提升题（14分）：长方体盒子长12cm、宽5cm、高6cm，求底面一角到顶面对角的最短爬行路径长度。四、参考答案与解析填空题答案：1.直角2.坡面长度（斜边长）3.斜边4. 6 5.直角6. 15选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.B 5.B解答题解析：1.（1）解：$$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12(\text{m})$$，顶端离地12m；（2）$$\sqrt{2.4^2+1.8^2}=3(\text{m})$$，对角线长3m；（3）$$\sqrt{8^2+6^2}=10(\text{m})$$，AB长10m；（4）设折断高x m，$$x^2+8^2=(16-x)^2$$，解得x=6，折断部分长10m。2.解：初始墙高$$\sqrt{25^2-7^2}=24(\text{m})$$，下滑后墙高$$24-4=20(\text{m})$$，新底端距离$$\sqrt{25^2-20^2}=15(\text{m})$$，滑动距离$$15-7=8(\text{m})$$。3.解：立体最短路径需展开平面，最优展开组合：长+宽为直角边、高为另一直角边，路径长$$\sqrt{(12+5)^2+6^2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}(\text{cm})$$，为最短爬行距离。核心考点总结：勾股定理应用核心：建模转化，遇斜取斜、遇直取直；必考模型：梯子滑动、树木折断、测距问题、立体最短路径；解题关键：找准不变量、构造标准直角三角形、区分直角边与斜边，是几何联系实际的高频考点。学习目标
1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)
2.经历勾股定理的应用过程
3.熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）
情境导入
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程.
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.
变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm)
A
B
勾股定理的应用
1
A
B
10
10
10
B
C
A
解：最短路程即为长方形的对角线 AB，
答：爬行的最短路程约是 22.36 cm.
例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？
(1)经过前面和上底面；
(2)经过前面和右面；
(3)经过左面和上底面.
典例精析
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
(3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
5.10＞4.47＞4.24
所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm.
A
B
C
D
2米
2.3 米
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由.
典例精析
MN＝
MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米).
答：卡车能通过厂门．
解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°，
由勾股定理，得
A
B
D
C
O
M
┏
N
H
2 米
2.3 米
勾股定理及其逆定理的综合应用
2
例3 如图，在 3×3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1 ，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段；
（2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
A
分析 利用勾股定理找到以格点为端点满足要求的线段.
解 (1)如图，AB、AC、AE、AD 的长度均为 .
(2)如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、
△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形.
A
E
D
C
B
例4 如图，已知 CD＝6 cm，AD＝8 cm， ∠ADC＝90°，BC＝24 cm，AB＝26 cm，求图中着色部分面积.
解：在 Rt△ADC 中，
∵AC2 = AD2 + CD2
= 82 + 62 = 100 (勾股定理)，
∴AC = 10(cm).
∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2，
∴△ACB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.
∴S着色部分 = S△ACB - S△ACD
= 96 (cm2).
练 习
1.为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆.如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m长的钢缆.求钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离.（精确到0.1m）
解：根据勾股定理，得AB= (m).
答：钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9m.
2.轮船A以16kn的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12kn的速度向西北方向航行.求A、B两船离开港口O1.5h后的距离.
解：如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
OA=16×1.5=24(n mile)，
OB=12×1.5=18(n mile).
根据勾股定理，得
AB= =30(n mile).
答：A、B两船离开港口O1.5h后的距离为30n mile.
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1．如图，一个三棱柱盒子底面的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，盒子的高为9 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的侧面爬行一周到盒顶的点B处，蚂蚁要爬行的最短路程是________cm.
15
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2. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米．
9
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3．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船的速度是______海里/时．
40
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4. 如图，在笔直的铁路上有两点A，B，相距20 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝14 km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE＝________km.
13.3
5. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料加工机器零件．如图，△ABC是一块直角三角形钢板边角料，∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米．
(1)求该钢板的面积为多少平方分米．
(2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD.
①请用尺规作图法确定点D的位置(不写作法，不用证明，保留作图痕迹)；
【解】①如图，点D即为所求．
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(2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD.
②求出AD的长．
【解】如图，由作图可知DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB.
在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD2＋BC2＝BD2，∴(8－AD)2＋62＝AD2，解得AD＝6.25分米．
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6. 我国古代有这样一道数学题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意：如图，把枯木看作一个圆柱，圆柱的高为20尺(一丈是十尺)，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
25
【点拨】如图，将圆柱的侧面展开，则AF＝3尺，DF＝20÷5＝4(尺)，
∴AD2＝AF2＋DF2＝32＋42＝52，
∴AD＝5尺，∴葛藤的最短长度是5×5＝25(尺)．
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7. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm.在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为________cm.
100
8. 跷跷板是一种常见的儿童玩具．跷跷板一端着地时如图①，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于点C，AC＝40 cm，OM＝70 cm.跷跷板可以绕点O转动，如图②是跷跷板水平时，即EF∥MN，此时点A，C，D，B的对应点分别为点E，G，H，F，恰有AE＝AG，则跷跷板AB的长为________cm.
265
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勾股定理的应用
最短路程问题
勾股定理与其逆定理的应用

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