资源简介

(共60张PPT)
华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第12章全等三角形第12章全等三角形全章复习（知识点+综合测试卷）本章为八年级上册几何核心重点，主要包含命题与证明、全等三角形判定、等腰三角形性质与判定、线段垂直平分线与角平分线四大模块，是几何逻辑推理、规范证明书写的基础，也是期中、期末必考重难点。以下汇总全章必背知识点、高频易错点、配套综合测试卷及完整解析。一、12.1命题、定理与证明1.命题判断一件事情的语句叫做命题。命题分为真命题和假命题。疑问句、命令句、作图语句都不是命题。命题结构：由题设（条件）和结论组成，可统一改写为“如果……那么……”形式。假命题只需举出一个反例即可推翻。2.定理与基本事实基本事实（公理）：长期实践总结，无需证明，直接作为推理依据。定理：经过严格推理证明得到的真命题，可作为后续推理依据。证明：根据已知、定义、基本事实、定理，逐步推理判断命题真假的过程，每一步必须有依据。3.互逆命题与互逆定理将一个命题的题设和结论互换，得到它的逆命题，所有命题都有逆命题。若一个定理的逆命题为真命题，则它也是定理，二者为互逆定理；定理不一定有逆定理。核心规律：原命题为真，逆命题不一定为真。二、12.2全等三角形的判定1.全等三角形基础能够完全重合的两个三角形全等，性质：对应边相等、对应角相等。1个条件、2个条件均无法判定三角形全等，判定至少需要三组对应条件。2.五大判定定理（必考）SSS（边边边）：三边对应相等→全等，无需角度条件，对应三角形稳定性。SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等→全等。易错：SSA不能判定全等。ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等→全等，边必须在两角中间。AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等→全等。HL（斜边直角边）：仅直角三角形可用，斜边+一条直角边对应相等→全等。三、12.3等腰三角形1.等腰三角形性质等边对等角：等腰三角形两底角相等。三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（仅针对底边和顶角）。等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴。2.等腰三角形判定等角对等边：三角形中两个角相等，则对应对边相等，三角形为等腰三角形。推论：含60°的等腰三角形为等边三角形。四、12.4线段垂直平分线与角平分线1.线段垂直平分线（互逆定理）性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等。判定：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。2.角平分线（互逆定理）性质：角平分线上的点，到角两边的垂直距离相等。判定：到角两边垂直距离相等的点，在角的平分线上。核心易错：使用定理必须具备垂直条件，无垂直不可用！三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等。五、全章高频易错点汇总1.混淆ASA与AAS，错把对边当夹边；2.误用SSA判定普通三角形全等，误用HL判定非直角三角形；3.等腰三角形角度计算忘记分类讨论（顶角、底角）；4.三线合一乱用在腰上，仅适用于底边；5.角平分线、垂直平分线定理使用缺少垂直条件，推理依据缺失；6.混淆性质与判定：性质是“已知图形得边角关系”，判定是“已知边角关系得图形”。六、第12章综合测试卷（满分100分）一、填空题（每空2分，共20分）1.命题“对顶角相等”的题设是________，结论是________。2.全等三角形判定中，专属直角三角形的方法是________。3.等腰三角形顶角为70°，底角为________°。4.线段垂直平分线上的点到线段________距离相等。5.角平分线定理使用的前提是存在________条件。6. “等边对等角”的逆命题是________。7.三角形内心是三条________的交点。二、选择题（每题3分，共30分）1.下列属于命题的是（）A.延长线段AB B.两直线平行，同位角相等C.是吗？D.画图2.不能判定三角形全等的是（）A. SSS B. SSA C. ASA D. HL3.等腰三角形一内角为90°，则该三角形是（）A.锐角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.点P在∠AOB平分线上，PA⊥OA，PA=4，则PB=（）A. 2 B. 4 C. 8 D.不确定5.下列说法正确的是（）A.所有定理都有逆定理B.全等三角形对应边相等C.两角相等三角形一定全等D.三线合一适用于任意三角形三、解答题（共50分）1.（12分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题，并判断真假。2.（12分）已知：AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABD≌△ACE。3.（12分）已知：直线l垂直平分AB，点P在l上，求证：PA=PB。4.（14分）已知：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，求证：PD=PE。七、参考答案与解析填空题答案1.两个角是对顶角、这两个角相等；2. HL；3. 55；4.两端点；5.垂直；6.等角对等边；7.角平分线选择题答案1.B 2.B 3.B 4.B 5.B解答题解析1.逆命题：内错角相等，两直线平行。真命题，是平行线判定定理。2.证明：在△ABD和△ACE中，∠A=∠A（公共角），AB=AC，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACE（ASA）。3.证明：∵直线l垂直平分AB，∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°。又PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。4.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。全章总结：本章核心是全等判定+几何推理，所有证明需做到：条件对应、定理准确、依据完整、步骤规范，熟练区分性质与判定，规避几何高频易错点，是后续几何学习的核心基础。学习目标
1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理
证明意识和能力．
1．命题
表示判断的语句叫做　 　.
注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结 A、B 两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题．
命题
2．命题的组成
许多命题都是由　 　和　 　两部分组成的．
条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，用
“如果”开始的部分是条件，“那么”开始的部分是结论．
条件
结论
3．命题的真假
命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　；错误的命题叫做　 　.
事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明．
真命题
假命题
4．基本事实与定理
经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做　 　.
从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做　 　.
基本事实
定理
5．判定三角形全等
(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形全等；(2)三边对应相等的两个三角形　 　(简记为：SSS)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为：ASA)；
(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：AAS)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：SAS)．若是直角三角形，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：HL)．
6．证全等三角形的思路
SSS
SAS
HL
AAS
SAS
ASA
AAS
ASA
AAS
7．全等三角形的性质
(1) 全等三角形的对应边相等，对应角相等；
(2) 全等三角形的面积相等，周长相等；
(3) 全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等．
8．等腰三角形的性质和判定
(1) 性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”．
(2) 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合. (简称“三线合一”)
(3) 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”．
9．等边三角形
(1) 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形．
10．尺规作图
把只能使用　 　这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
11．常见的基本作图
(1) 作　 　等于已知线段；(2)作一个角等于　 　角；(3) 作已知角的平分线；
(4) 过一已知点作已知直线的　 　；
(5) 作已知线段的垂直　 　线．
没有刻度的直尺和圆规
一条线段
已知
垂线
平分
11．互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　 ，那么这两个命题叫做互逆命题．
12．逆命题
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成　 　 ，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题．
结论
条件
结论
条件
[注意] 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．
13．逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
逆
14．垂直平分线
线段垂直平分线上的点到　 　 .
它的逆定理是：
到线段两端点的距离相等的点在这条线段的　 .
[注意] 前面是线段垂直平分线的性质，后面是线段垂直平分线的判定．
垂直平分线上
线段两端点的距离相等　
15．角的平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
它的逆定理是：
到角的两边距离相等的点在　 　.
[注意] 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定．
角的平分线上
复习题
A组
1. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例说明：
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
（3）相等的角是内错角；
（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形；
（5）若a、b、c都是有理数，且a>b，则ac>bc.
真命题
真命题
假命题，反例：对顶角相等.
假命题，反例：60°、80°、40°的三角形.
假命题，反例：a=2，b=1，c=0，此时ac=bc.
2．判断题（对的在括号内填“√”，错的在括号内填“×”）
（1）每个命题都有逆命题. （ ）
（2）每个定理都有逆定理. （ ）
（3）真命题的逆命题都是真命题. （ ）
（4）假命题的逆命题都是假命题. （ ）
√
×
×
×
3.如图，AB=DE，AC∥DF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF.
A
B
D
E
F
C
证明：∵AC// DF，BC // EF，
∴∠A=∠EDF，∠ABC=∠E(两直线平行，同位角相等).
又∵AB=DE，
∴△ABC≌DEF(ASA).
4.如图，AE=DB，BC=EF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵BC// EF，
∴∠ABC=∠DEF
(两直线平行，内错角相等).
∵AE=DB，
∴AE+BE=DB+BE(等式的性质)，即AB=DE.
又∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
5.如图，AC=BD，BC=AD. 求证：△ABC≌△BAD.
证明：在△ABC和△BAD中，
∵AC=BD，BC=AD，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SSS).
6.如图，∠1=∠2，∠B=∠D. 求证：△ABC≌△ADC.
证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD(等角的补角相等).
又∵∠B=∠D，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS).
7.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E. 求证：∠BAE=∠CAE，BE=CE.
证明：在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，DB=DC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAE=∠CAE.
又∵AB=AC，∴BE=CE.
8.如图，在△ABC中，∠BDA=∠CEA，AE=AD.
求证：AB=AC.
证明：在△ABD和△ACE中，
∵∠A=∠A，AD=AE，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴AB=AC.
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB.
求证：∠ECD =∠EDC.
A
B
C
D
E
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ECD=∠ACB ∠ACD
=90° ∠ACD.
∵DE⊥AB，
∴∠EDC=∠EDA ∠ADC=90° ∠ADC.
∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC.
∴∠ECD=∠EDC.
10. 如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测得的DE的长就是AB的长，为什么？
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°(垂直的定义)．
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD(对顶角相等)，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED.
即测得的DE的长就是AB的长.
返回
1．下列句子中，是定义的是(　　)
A．在正数前面加上符号“－”的数是负数
B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角
D．过一点画已知直线的垂线
A
返回
2．下列语句中属于定理的是(　　)
A．在直线AB上任取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C．对顶角相等
D．直线AB和CD垂直吗
C
返回
3．对于命题“若a2>b2，则a>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是(　　)
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝0 D．a＝－1，b＝－2
C
返回
4．如图，点A，D分别在线段CE，BF上，连结AB，CD，EF.现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成________个真命题．
3
返回
5. 如图，AC与BD交于点O，在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，请添加一个条件：____________________，使得△AOB≌△COD.
OA＝OC(答案不唯一)
返回
6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠AOB＝135°；②BA＝BF；③△AOG≌△FOD；④BD＋AG＝AB.其中正确的结论有_______________．(填序号)
①②③④
7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF.
(1)当α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明；
7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF.
(2)如图②，当90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF.
返回
返回
8. 如图所示，点C在线段AB上，△DAC和△EBC均是等边三角形．AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN.有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM＝CN，③AC＝DN，④MN∥AB，其中，正确的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．4
A
返回
9. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M、点N为射线OA、射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝________．
80°
10. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是线段BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，∠ADF＝60°.求证：AD＝DF.
【证明】如图，过点D作DG∥AC交AB于点G.
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°.
∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠BAC＝60°，
∠BDG＝∠ACB＝60°.∴∠B＝∠BGD＝∠BDG＝60°.
∴△BGD为等边三角形，∴BG＝BD，
∴AB－BG＝BC－BD，即AG＝CD，
返回
11. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图①，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；
【解】△DEF为等腰直角三角形．理由：
连结AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC.
∴∠B＝∠DAF＝∠BAD，∠ADB＝90°.∴BD＝AD.
又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF.
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．
(2)如图②，若E，F分别为AB的延长线、CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状，并说明理由．
【解】△DEF仍是等腰直角三角形．理由：连结AD.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠EAF＝90°，∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，AD⊥BC.
∴∠DBE＝135°，∠DAF＝∠BAD＋∠EAF＝135°，∠BAD＝∠ABC，∠ADB＝90°.∴∠DBE＝∠DAF，BD＝AD.
又∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形．
返回
返回
12．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．CD平分∠ACB
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．AB垂直平分CD
D
返回
13．如图，在△ABC中，∠A＝100°，点D是BC上的一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝____________．
100°
14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD.
(1)求证：∠CAD＝∠ACD；
【证明】∵l是AB的垂直平分线，点D在l上，
∴DA＝DB.又∵DB＝DC，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠ACD.
返回
14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD.
(2)连结BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC.
【证明】∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＋∠BAD＋∠ABD＝90°.∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠ACD，
∴∠CAD＋∠BAD＝45°，即∠EAB＝45°.
∵l是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.
D
返回
返回
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F.下列结论中一定正确的是(　　)
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC?S△AEG＝AC?AG；
③∠ADF＝∠FDB；④CE＝DF.
A．①②③④ 　B．①② C．①②③ D．①②④
D
17. 如图，小颖同学想画∠AOB的平分线，可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是她做了如下操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝2 cm，分别过点C，D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．请判断小颖的做法是否可行，并说明理由．
返回
返回
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AE＝AD，则∠EDC的度数是(　　)
A．7.5° B．10° C．12.5° D．15°
D
【点拨】设∠EDC＝x.因为AB＝AC，所以可设∠B＝∠C＝y，则∠AED＝∠EDC＋∠C＝x＋y.又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x＋y，所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝2x＋y.又因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，所以2x＋y＝y＋30°，解得x＝15°，所以∠EDC的度数是15°.
返回
19. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD＝AO，连结DO，若BD＝BC，∠ABC＝54°，则∠BCA的度数为________．
42°
【点拨】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ABO＝∠CBO，∠BAO＝∠CAO，∠BCO＝∠ACO.∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，∴∠BAO＝2∠D.设∠D＝α，则∠BAO＝2α，∠BAC＝4α.易得△DBO≌△CBO，∴∠BCO＝∠D＝α，∴∠BCA＝2α，∴54°＋4α＋2α＝180°，∴α＝21°，∴∠BCA＝42°.
20. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝____________．
70°或20°
返回

展开更多......

收起↑