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第2讲 常用逻辑用语·分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C A B D B
6 7 8 9 10
C C A A C
11 12 13 14 15
A B A B B
16 17 18 19 20
B A A D A
21 22 23 24 25
A A C （答案不唯一，满足 即可）
26 27 28 29 30
（1） （2） B B B C
31 32 33 34 35
D D ， D B
36 37
C D
1.（2026·安徽江淮十校·4月模拟） 是 的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， 成立，当 时， 不一定成立，故 是 的必要不充分条件，选 C.
【点拨】判断充分必要条件，可从条件推结论，再从结论推条件.注意对数函数的定义域.
2.（2026·山东滨州·二模）已知实数 ，则“ 且 ”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知实数 ，则“ 且 ”是“”的充分不必要条件.
【点拨】利用不等式的同向可加性可判断充分性，利用举反例的方法可判断必要性.
3.（2026·皖江名校·5月模拟）“函数 在区间 上单调递增”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 在区间 上单调递增 且 ，解得 .所以 是 的必要不充分条件.
【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，同时必须保证内层函数在给定区间上恒大于零.
4.（2026·山东菏泽·一模）已知 ，，则 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取 ，，则 ，但 ，，此时 ，，，所以 不是 的充分条件，取 ，，则 ，，故 ，但 ，所以 不是 的必要条件，所以 是 的既不充分也不必要条件.
【点拨】对于含有对数式的不等式条件判断，通过选取特殊值举反例是快速排除充分性或必要性的有效手段.
5.（2026·山东枣庄·一模）已知集合 ，，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】集合 表示所有偶数构成的集合，集合 表示所有 的倍数构成的集合.因为 ，且 时 ，所以集合 中的元素一定是偶数，即 ，且 （例如 但 ）.因此，“”推不出“”，而“”能推出“”.故“”是“”的必要不充分条件.
【点拨】判断元素属于集合的充分必要条件，实质上是判断两个集合的包含关系.小集合是大集合的充分条件.
6.（2025·山东青岛·一模）设 为全集，， 是集合，则“存在集合 使得 ，”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 ，得 ，而 ，则 ，故“存在集合 使得 ，”是“”的充分条件；由 ，存在一个集合 ，使得 ，，所以“存在集合 使得 ，”是“”的必要条件.故选：C.
【点拨】借助Venn图可以直观地分析集合之间的包含与相交关系，从而准确判断命题的充分性与必要性.
7.（2024·华师附中·三模）已知 ，则“”是“角 为第一或第四象限角”的（ 　　）
A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件
【答案】C
【解析】若 ，则角 为第一或第四象限角或 轴正半轴上的角，充分性不成立；若角 为第一或第四象限角，则 ，必要性成立.故“”是“角 为第一或第四象限角”的必要不充分条件.
【点拨】判断三角函数值符号与角所在象限的关系时，切勿遗漏终边落在坐标轴上的特殊情况.
8.（2026·河北石家庄·一模）已知 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，，则 ，，此时 ，即 成立，充分性成立.
若 ，则 ，即 ，.
由此可得 或 ，.
解得 或 ，.
因为 ，所以必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
【点拨】处理三角方程时，常利用辅助角公式将同角正余弦的线性组合化为单一三角函数，从而求出角的完整集合.
9.（2024·名校教研·5月押题）已知 ，则 成立的充分不必要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，， 且 ， 或 或 ．A 正确．
【点拨】将二倍角化为单角，通过因式分解解三角不等式，求出等价条件后，再寻找其真子集即为充分不必要条件.
10.（2026·湖南长郡中学·月考）在锐角 中，“”是“”的（ 　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题可知 ，所以 ，又 在区间 上单调递减，，故“”是“”的充要条件.
【点拨】在三角形中比较角的大小，常转化为比较其三角函数值的大小，注意结合角的取值范围和三角函数的单调性.
11.（2026·山东东营·二模）“，使得 ”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，使得 ，则向量 与 共线，即 ，充分性成立.若 ，当 且 时，不存在实数 使得 ，必要性不成立.因此，“，使得 ”是“”的充分不必要条件.
【点拨】向量共线定理中， 的前提是 .若不限制非零向量，需考虑零向量的特殊情况.
12.（2025·赣州十八县·期中）已知 ，，则“向量 共线”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】B
【解析】向量 共线，则 或 ，因此，“向量 共线”不是“”的充分条件， 能推出向量 同向，故“向量 共线”是“”的必要条件，故选 B.
【点拨】向量共线包含同向和反向两种情况，模长之和等于和的模长仅在两向量同向或至少有一个为零向量时成立.
13.（2026·河北百师联盟·一模）设 ， 是虚数单位，则“复数 为纯虚数”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】因为 ，若复数 为纯虚数，则 ，，所以 ；即“复数 为纯虚数”是“”的充分条件；若 ，则 ，但复数 不是纯虚数；即“复数 为纯虚数”不是“”的必要条件；综上，“复数 为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：A.
【点拨】复数 () 为纯虚数的充要条件是实部为零且虚部不为零.
14.（2026·天壹名校·5月模拟）对于平面向量 ，设甲：，乙：，则（ 　　）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】对于充分性，当 时甲成立，而乙不一定成立，矛盾，对于必要性， 时 ，成立，故选B．
【点拨】向量数量积的等式变形可以揭示向量间的垂直关系.甲条件可化为 ，即 与 垂直或其中至少有一个为零向量.
15.（2026·江苏镇江·零模）已知直线 与平面 . 命题 ： 在平面 外，命题 ：，则 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线 在平面 外，意味着直线 与平面 相交或平行，即 或 .因此，由 推不出 ，充分性不成立.若命题 成立，即直线 ，则直线 与平面 没有公共点，必然有直线 在平面 外，即命题 成立，必要性成立.故 是 的必要不充分条件.
【点拨】直线在平面外包含直线与平面平行和直线与平面相交两种位置关系.
16.（2026·南京栖霞·一模）“”是“直线 ： 与圆 ： 相切”的（ 　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由直线 l：3x＋ay＋a＋3＝0 与圆 C： 相切，得 ，解得 a＝0 或 a＝－4，则“a＝－4”是“直线 l：3x＋ay＋a＋3＝0 与圆 C： 相切”的充分不必要条件．故选：B.
【点拨】直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，由此列方程求解参数，再判断集合的包含关系.
17.（2025·江西上进·4月联考）“椭圆 ： 的焦点在 轴”的一个充分不必要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若椭圆 ： 的焦点在 轴，则 ，解得 . 故选 A.
【点拨】椭圆焦点在 轴上的充要条件是 项的分母大于 项的分母且均为正数.求出充要条件后，寻找其真子集即为充分不必要条件.
18.（2026·金丽衢·二模）已知 为空间中的四个不重合的点，则“点 不共面”是“直线 和 不相交”的（ 　　）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
【答案】A
【解析】若点 不共面，则直线 和 既不平行也不相交，即直线 和 异面，所以直线 和 不相交，充分性成立.若直线 和 不相交，则直线 和 可能平行，此时点 共面，所以推不出点 不共面，必要性不成立.因此，“点 不共面”是“直线 和 不相交”的充分非必要条件.
【点拨】空间中两条直线不相交包含平行和异面两种情况，平行时四点共面，异面时四点不共面.
19.（2026·山东名校·5月评估）已知数列 的前 项和为 ，则“”是“ 为等差数列”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 ，则 ，即 .这说明从第二项开始，数列相邻两项的差为常数 ，但无法确定 是否等于 ，所以 不一定是等差数列，充分性不成立.若 为等差数列，设公差为 ，则 ，即 ，从而 ，这与 矛盾，必要性不成立.因此，“”是“ 为等差数列”的既不充分也不必要条件.
【点拨】利用 转化递推关系时，必须注意 的限制，首项需单独验证.
20.（2026·宜春十校·二模）已知符号函数 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 同号，所以 或 ，即 或 ，即 ，所以“”是“”的充要条件. 故选：A
【点拨】分段函数的求值与不等式结合，需根据函数值反推自变量的符号，注意分类讨论.
21.（2026·南京六合·一模）已知数列 的前 项和为 ，则对 ，“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 得：，，，……，，不等式左右两边分别相加，得 ，消去两边相同的项得，，所以 ；取数列 满足，，，且对 ，且 有 .满足 ，，但 .不满足 .即“”推不出“”.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
【点拨】利用累加法可由递推不等式推导前 项和的不等式，判断必要性时寻找反例是常用策略.
22.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 的定义域为 ，设甲：，乙： 是偶函数，则甲是乙的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对任意 ，若 ，则 ，所以 是偶函数，即甲能推出乙. 反之，若 是偶函数，则 ，当 时，，有 ，当 时，，有 ，综上，对任意 恒成立，故乙能推出甲. 则甲是乙的充要条件. 故选：A.
【点拨】绝对值函数的性质与偶函数的定义密切相关，分段讨论去绝对值是证明充要性的关键.
23.已知集合 ，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意集合 ，，若 ，则 ，此时 ，因为“”是“”的必要不充分条件，故 ，故 ，；若 ，则 ，此时 ，因为“”是“”的必要不充分条件，故 ，故 ，；若 ，则 ，此时 ，满足 ，综合以上可得 .故选：C
【点拨】解含参一元二次不等式需对两根大小进行分类讨论，必要不充分条件对应集合的真子集关系.
24.若“”是“”的充分条件，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】“”是“”的充分条件，，，即实数 的取值范围为 .
【点拨】充分条件意味着前件成立必然导致后件成立，直接代入验证即可求出参数范围.
25.若“”是“”的必要不充分条件，则 的值可以是＿＿＿＿＿＿.(写出满足条件 的一个值即可)
【答案】（答案不唯一，满足 即可）
【解析】由于“”是“”的必要不充分条件，所以 ，所以 的值只需小于 即可.
【点拨】必要不充分条件对应集合的真包含关系，即小范围推出大范围.
26.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数 的定义域为 ，关于 的不等式 的解集为 .
（1）若 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由 且 ，所以集合 ，由 ；当 时，不等式为：，即集合 ，又 ，所以 ；
（2）因为 是 的充分条件，所以 是 的子集，又 ，当 时，，满足题意，当 时，，所以 ，得 ，当 时，，所以 ，得 .综上，实数 的取值范围为 .
【点拨】求解集合运算问题需先明确各集合的元素范围，充分条件问题转化为集合的子集关系，注意对参数进行分类讨论.
27.（2025·江西三新·3月联考）已知命题 ，命题 ，则（ 　　）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】当 时， 显然不成立，所以 是假命题， 是真命题.当 时， 显然成立，所以 是真命题， 是假命题.
【点拨】判断全称命题为假只需举出一个反例，判断存在命题为真只需找出一个特例.注意基本不等式成立的前提条件.
28.（2025·河北唐山·一模）已知命题 ；命题 . 则（ 　　）
A. 和 都是真命题 B. 是假命题， 是真命题 C. 是真命题， 是假命题 D. 和 都是假命题
【答案】B
【解析】对于命题 ，当 时，，不满足 ，故命题 为假命题.对于命题 ，取 ，则 ，故命题 为真命题.因此， 是假命题， 是真命题.
【点拨】全称命题的证伪只需举出一个反例，存在命题的证实只需找出一个特例.
29.设非空集合 ， 满足 ，则下列选项正确的是（ 　　）
A. ，有 B. ，有 C. ，使得 D. ，使得
【答案】B
【解析】，，当 时，，使得 ，故 A 错误；，，必有 ，即 ，必有 ，故 B 正确；由 B 正确，得 ，必有 ，，使得 错误，即 C 错误；当 时，不存在 ，使得 ，故 D 错误，综上只有 B 是正确的.故选：B.
【点拨】集合的交集等于自身，意味着该集合是另一个集合的子集.利用逆否命题的等价性可快速判断.
30.已知 ，下列四个命题：① ，，② ，，③ ，，④ ，. 其中是真命题的有（ 　　）
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
【答案】C
【解析】对于①，由 得：，，，则 ，①正确；对于②，，，即 ，则 ，②正确；对于③，函数 在 上为减函数，而 ，则 ，即 ，，③错误；对于④，当 时，，，即 ，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②.故选：C
【点拨】判断涉及指数和对数的不等式命题，常利用函数的单调性或作差法，注意底数和指数的取值范围对单调性的影响.
31.（2026·山东德州·一模）命题“”的否定为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知命题“”的否定为 .
【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，只需更改量词并否定结论，条件范围保持不变.
32.（2026·湖北黄冈·一模）已知命题 ，则（ 　　）
A. 是假命题， B. 是假命题，
C. 是真命题， D. 是真命题，
【答案】D
【解析】设 ，则 .由 ；由 .所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 的最小值为 .所以 对 恒成立.所以 成立，即命题 为真命题.因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以 .故选：D
【点拨】判断含参不等式恒成立问题，常构造函数利用导数求最值；全称命题的否定需变更为存在命题.
33.（2025·河北石家庄·三模）若命题 ：，，则命题 的否定为＿＿＿＿＿＿．
【答案】，
【解析】命题 ：， 的否定为：，，
【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，注意量词的转换和结论的否定.
34.已知命题 ：，，若 为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为命题 ：，，所以 ：，，又因为 为假命题，所以 为真命题，即 ， 恒成立，所以 ，即 ，解得 ，故选：D.
【点拨】存在量词命题为假，等价于其否命题（全称量词命题）为真.转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解.
35.若命题 ：“，”是假命题，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若 ，即 或 ，当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；当 时，不等式为 ，不恒成立，不满足题意；当 时，则需要满足 ，即 ，解得 ，综上所述， 的范围是 ，
【点拨】处理二次项系数含参的不等式恒成立问题，必须优先讨论二次项系数是否为零.
36.若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】命题“，”为假命题，其否定为真命题，即“，”为真命题.令 ，则 ，即 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .故选：C
【点拨】遇到含参不等式恒成立问题，若关于参数是一次函数，可利用一次函数的单调性，转化为端点值大于等于零求解.
37.已知命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以 ，.易知函数 在 上单调递增，所以当 时， 取最小值，所以 .所以实数 的取值范围为 .故选：D．
【点拨】全称命题为假，其否定为真，转化为存在性问题.分离参数后，利用函数的单调性求最值.
第 2 页，共 17 页第2讲 常用逻辑用语·分类练习
考点一：充分条件与必要条件的判断
考法1：结合不等式性质判断充要条件
1.（2026·安徽江淮十校·4月模拟） 是 的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.（2026·山东滨州·二模）已知实数 ，则“ 且 ”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（2026·皖江名校·5月模拟）“函数 在区间 上单调递增”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（2026·山东菏泽·一模）已知 ，，则 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考法2：结合集合关系判断充要条件
5.（2026·山东枣庄·一模）已知集合 ，，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.（2025·山东青岛·一模）设 为全集，， 是集合，则“存在集合 使得 ，”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考法3：结合三角函数与方程判断充要条件
7.（2024·华师附中·三模）已知 ，则“”是“角 为第一或第四象限角”的（ 　　）
A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
8.（2026·河北石家庄·一模）已知 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.（2024·名校教研·5月押题）已知 ，则 成立的充分不必要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2026·湖南长郡中学·月考）在锐角 中，“”是“”的（ 　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考法4：结合向量与复数判断充要条件
11.（2026·山东东营·二模）“，使得 ”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12.（2025·赣州十八县·期中）已知 ，，则“向量 共线”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
13.（2026·河北百师联盟·一模）设 ， 是虚数单位，则“复数 为纯虚数”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
14.（2026·天壹名校·5月模拟）对于平面向量 ，设甲：，乙：，则（ 　　）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
考法5：结合几何图形判断充要条件
15.（2026·江苏镇江·零模）已知直线 与平面 . 命题 ： 在平面 外，命题 ：，则 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16.（2026·南京栖霞·一模）“”是“直线 ： 与圆 ： 相切”的（ 　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
17.（2025·江西上进·4月联考）“椭圆 ： 的焦点在 轴”的一个充分不必要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
18.（2026·金丽衢·二模）已知 为空间中的四个不重合的点，则“点 不共面”是“直线 和 不相交”的（ 　　）
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既非充分也非必要
考法6：结合数列及其他函数概念判断充要条件
19.（2026·山东名校·5月评估）已知数列 的前 项和为 ，则“”是“ 为等差数列”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
20.（2026·宜春十校·二模）已知符号函数 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
21.（2026·南京六合·一模）已知数列 的前 项和为 ，则对 ，“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 的定义域为 ，设甲：，乙： 是偶函数，则甲是乙的（ 　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
考点二：根据充分必要条件求参数
考法7：根据充分必要条件求参数的取值范围
23.已知集合 ，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
24.若“”是“”的充分条件，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
25.若“”是“”的必要不充分条件，则 的值可以是＿＿＿＿＿＿.(写出满足条件 的一个值即可)
26.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数 的定义域为 ，关于 的不等式 的解集为 .
（1）若 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
考点三：全称量词与存在量词命题的真假判断
考法8：判断含参或具体量词命题的真假
27.（2025·江西三新·3月联考）已知命题 ，命题 ，则（ 　　）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
28.（2025·河北唐山·一模）已知命题 ；命题 . 则（ 　　）
A. 和 都是真命题 B. 是假命题， 是真命题
C. 是真命题， 是假命题 D. 和 都是假命题
29.设非空集合 ， 满足 ，则下列选项正确的是（ 　　）
A. ，有 B. ，有
C. ，使得 D. ，使得
30.已知 ，下列四个命题：① ，，② ，，③ ，，④ ，. 其中是真命题的有（ 　　）
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
考点四：全称量词与存在量词命题的否定
考法9：写出全称或存在命题的否定
31.（2026·山东德州·一模）命题“”的否定为（ 　　）
A. B.
C. D.
32.（2026·湖北黄冈·一模）已知命题 ，则（ 　　）
A. 是假命题，
B. 是假命题，
C. 是真命题，
D. 是真命题，
33.（2025·河北石家庄·三模）若命题 ：，，则命题 的否定为＿＿＿＿＿＿．
考点五：根据命题真假求参数
考法10：根据量词命题的真假转化求参数
34.已知命题 ：，，若 为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
35.若命题 ：“，”是假命题，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
36.若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
37.已知命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第2讲 常用逻辑用语·配套讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
一、充分条件、必要条件、充要条件 1
二、全称量词与存在量词 2
三、含有一个量词的命题的否定 2
三、方法总结 3
考点1：充分条件与必要条件 3
考点2：全称量词与存在量词命题 3
考点3：根据命题真假求参数范围 4
四、典题精讲 4
考点1：充分条件与必要条件 4
考点2：全称量词与存在量词命题 6
考点3：根据命题真假求参数范围 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2026 - 0分 全国一卷中未直接考查
2025 - 0分 全国一卷中未直接考查
2024 - 0分 全国一卷中未直接考查
2023 第7题（单选） 5分 充分条件与必要条件（与集合交汇）
从近年全国一卷（新高考Ⅰ卷）的情况来看，常用逻辑用语的考查频次呈现出一定的波动性.2023年在单选题中进行了直接考查，但近三年（2024-2026）的试卷中未出现直接针对该考点的独立试题.
2. 命题角度与特色
核心考点：充分条件与必要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假判断与否定.
命题趋势：常用逻辑用语作为独立考点进行直接命题的频率有所降低.它更多地作为数学的基础语言，自然融入到函数、导数、不等式等模块中，例如在表述恒成立与存在性问题时使用“对任意”“存在”等量词（如2026年全国一卷第19题题干中自然出现的“对任意 ”“存在”等表述）.
试题特点：当直接考查时，通常与集合、不等式、数列等知识点交汇，以单选题形式出现，难度中等偏易，侧重考查概念的理解与等价转化.
3. 备考策略
· 夯实基础概念：准确掌握充分条件、必要条件的定义，熟练运用集合的包含关系（小集合是大集合的充分条件）进行判断.
· 注重语言转化：重点理解“对任意（）”和“存在（）”的数学含义，熟练掌握含量词命题的否定规则，并能将其灵活应用于函数恒成立与存在性问题的求解中.
· 关注知识交汇：在复习其他模块（如向量、三角、解析几何）时，注意梳理相关定理和公式的成立条件，培养严谨的逻辑推理习惯，以基础题和概念题为主，不必在偏难怪的纯逻辑题上耗费过多精力.
二、知识清单
一、充分条件、必要条件、充要条件
1. 定义
如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件.
2. 从逻辑推理关系上看
· 若 且 ，则 是 的充分不必要条件.
· 若 且 ，则 是 的必要不充分条件.
· 若 且 ，则 是 的充要条件（也说 和 等价）.
· 若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则 是 的充分条件，同时 是 的必要条件.所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成立（即如果 不成立，则 肯定不成立）.
3. 从集合与集合之间的关系上看
设 ，.
· 若 ，则 是 的充分条件（）， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件.
· 若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件.
· 若 ，则 与 互为充要条件.
【易错提醒】 在利用集合关系判断充分必要条件时，切记“小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件”.
二、全称量词与存在量词
1. 全称量词与全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为“”，读作“对任意 属于 ，有 成立”.
2. 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为“”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三、含有一个量词的命题的否定
1. 命题的否定形式
· 全称量词命题 的否定 为 .
· 存在量词命题 的否定 为 .
【易错提醒】 全称量词命题与存在量词命题的否定，必须将条件中的全称量词和存在量词互换，且只对结论进行否定，不能改变条件范围.
2. 常见的一些词语和它的否定词
原词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至少有两个
否定词语 不等于（） 小于等于（） 大于等于（） 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有
三、方法总结
考点1：充分条件与必要条件
考法1：定义法与集合法判断充要关系
· 利用定义判断：明确推出的含义，是 成立 一定成立才能叫推出，而不是有可能成立.举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.
· 利用集合关系判断：充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.借助Venn图是极为有效的直观工具.证明必要性时，构造一个满足条件的特殊集合是常见的解题技巧.
考法2：结合函数与方程判断充要关系
· 将条件等价转化为函数或方程的性质（如复合函数单调性的“同增异减”、三角方程解集等），再比较参数取值集合的包含关系.
考法3：结合向量与几何判断充要关系
· 处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是揭示向量垂直或共线关系的核心手段.
考法4：根据充要关系求参数范围
· 标准流程：解不等式化为集合 确定集合间的包含关系 转化为端点值的不等式组.
· 若不等式两根大小不确定，务必对参数进行分类讨论.
· 在求解参数取值范围时，要特别注意端点值是否能取到，避免漏解或多解.
考点2：全称量词与存在量词命题
考法1：含量词命题的否定与真假判断
· 真假判断：要判定一个全称量词命题是真命题，必须严格证明；要判断为假命题，只要举出一个反例.要判断一个存在量词命题为真命题，只要找到一个特例使之成立即可；否则为假命题.
· 判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝.既要通过汉字意思理解，又要通过严格的数学推导得出结论.
考点3：根据命题真假求参数范围
考法1：二次型恒成立与存在性问题
· 解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即必须优先讨论二次项系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.
考法2：主元法解决恒成立问题
· 当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题.
考法3：分离参数法解决恒成立问题
· 分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是： 恒成立 ； 有解 .
· 正难则反：在解决求参数的取值范围问题上，若直接求解存在命题较难，可以先利用其否定（全称命题）为真求出参数范围，再取补集.
四、典题精讲
考点1：充分条件与必要条件
考法1：定义法与集合法判断充要关系
例1.（2025·青岛·一模）设 为全集，， 是集合，则“存在集合 使得 ，”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【思路】判断充要条件，可以从条件推结论，再从结论推条件.本题涉及集合的包含与补集关系，借助Venn图直观分析，或者利用集合的运算性质进行推导.
【解析】由 ，得 ，而 ，则 ，故“存在集合 使得 ，”是“”的充分条件；由 ，存在一个集合 ，使得 ，，∴“存在集合 使得 ，”是“”的必要条件.故选：C.
【规律】判断集合关系的充要条件时，Venn图是极为有效的直观工具.同时，证明必要性时，构造一个满足条件的特殊集合（如令 ）是常见的解题技巧.
考法2：结合函数与方程判断充要关系
例2.（2026·皖江名校·5月模拟） “函数 在区间 上单调递增”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路】处理复合函数的单调性问题，需遵循“同增异减”原则，并特别注意对数函数真数大于零的隐含条件.求出使函数单调递增的参数范围后，再与已知条件进行包含关系的对比.
【解析】 在区间 上单调递增 且 ，解得 .∴ 是 的必要不充分条件.
【规律】判断含参命题的充要条件，本质上是比较参数取值集合的包含关系.小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件.
考法3：结合向量与几何判断充要关系
例3.（2026·天壹名校·5月模拟） 对于平面向量 ，设甲：，乙：，则（ 　　）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路】探究向量等式与向量为零之间的逻辑关系.对于甲条件，可通过移项提取公因式，将其转化为向量数量积为零的形式，进而揭示向量间的垂直或零向量关系，再与乙条件进行双向推导.
【解析】对于充分性，当 时甲成立，而乙不一定成立，矛盾；对于必要性， 时 ，成立，故选B.
【规律】处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是核心手段.同时，举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.
考法4：根据充要关系求参数范围
例4. 已知集合 ，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】必要不充分条件对应着集合的真子集关系.解题时需先解出两个一元二次不等式对应的集合，特别注意集合B中两根大小的比较，这需要对参数进行分类讨论，最后根据子集关系列出不等式组求解.
【解析】由题意集合 ，，若 ，则 ，此时 ，∵“”是“”的必要不充分条件，∴，∴，∴；若 ，则 ，此时 ，∵“”是“”的必要不充分条件，∴，∴，∴；若 ，则 ，此时 ，满足 ，综合以上可得 .故选：C.
【规律】处理含参不等式的充要条件问题，标准流程为：解不等式化为集合 确定集合间的包含关系 转化为端点值的不等式组.若不等式两根大小不确定，务必分类讨论.
考点2：全称量词与存在量词命题
考法1：含量词命题的否定与真假判断
例5.（2026·黄冈·一模） 已知命题 ，则（ 　　）
A. 是假命题，
B. 是假命题，
C. 是真命题，
D. 是真命题，
【答案】D
【思路】面对含参或复杂超越函数的恒成立命题，直接判断真假较为困难.可以构造新函数，利用导数工具研究函数的单调性与最值，从而严谨地证实或证伪全称命题.同时需牢记量词命题否定的规则.
【解析】设 ，则 .由 ；由 .∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.∴ 的最小值为 .∴ 对 恒成立.∴ 成立，即命题 为真命题.∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.故选：D.
【规律】全称命题的否定需变更为存在命题，且只否定结论，不改变条件范围.判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝.
考点3：根据命题真假求参数范围
考法1：二次型恒成立与存在性问题
例6. 若命题 ：“，”是假命题，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】存在量词命题为假，等价于其否命题（全称量词命题）为真.转化后得到一个二次项系数含参的不等式恒成立问题.处理此类问题，必须像条件反射一样，优先单独讨论二次项系数等于零的情况，再利用判别式处理系数不为零的情况.
【解析】∵命题“，”是假命题，∴命题“，”是真命题.若 ，即 或 .当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；当 时，不等式为 ，不恒成立，不满足题意.当 时，则需要满足 ，即 ，解得 .综上所述， 的范围是 .
【规律】解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即先讨论二次项系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.
考法2：主元法解决恒成立问题
例7. 若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】面对含有两个变量的不等式，常规思维是把 当作自变量.但观察发现，不等式中参数 的最高次数仅为一次.此时应转换视角，将 视为主元，构造关于 的一次函数，利用一次函数在闭区间上恒成立的充要条件（端点值同号）来破解难题.
【解析】命题“，”为假命题，其否定为真命题，即“，”为真命题.令 ，则 ，即 ，解得 ，∴实数 的取值范围为 .故选：C.
【规律】当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题.
考法3：分离参数法解决恒成立问题
例8. 已知命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】全称命题为假，说明其否定（存在命题）为真.转化后得到存在性成立的不等式.观察不等式结构，参数 容易被孤立出来.通过分离参数，将问题转化为求已知函数的最值，思路清晰且计算简便.
【解析】∵命题“，”为假命题，∴命题的否定“，”为真命题，∴，.易知函数 在 上单调递增，∴当 时， 取最小值，∴.∴实数 的取值范围为 .故选：D.
【规律】分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是： 恒成立 ； 有解 .
第 2 页，共 17 页第2讲 常用逻辑用语·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D C B B B
6 7 8 9 10
C C C ABD BC
11 12 13 14 15
AB ， （1） （2）
16 17 18 19
1.（2026·山东德州·4月二模）已知为正实数，则“”的充要条件可以是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，若，则推不出，故A错误.
对于B，若，则推不出，故B错误.
对于C，，取，满足，但成立；取，不满足，但也成立，故C错误.
对于D，构造函数，其在上单调递增.∵，即，∴.反之，若，则，即成立.故D正确.
【点拨】本题考查充要条件的判断，通过构造函数并利用其单调性来判断不等式的等价关系是解决此类问题的有效方法.
2.（2026·广东茂名·一模）“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由可得.
由可得.
∵与等价，∴“”是“”的充分必要条件.
【点拨】本题考查充分必要条件的判断，解题的核心在于将两个条件分别等价转化为最简形式，再比较其范围大小.
3.（2026·宁波十校·3月联考）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”.已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，∴，故“”是“”的必要条件.
当，假设时，，此时，则，故“”是“”的不充分条件.
综上：“”是“”的必要不充分条件.
【点拨】本题考查新定义函数与充分必要条件的判断，理解狄利克雷函数的取值规则并善于通过举反例来否定充分性是关键.
4.（2024·天津一中·阶段练习）“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵，∴，所以“”是“”的必要不充分条件.
【点拨】本题考查充分必要条件的判断，需熟练掌握二倍角余弦公式进行等价转化.
5.（2024·上饶六校·5月模拟）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，则，所以是递增数列；
反之，当时，，数列单调递增，因此当数列是递增数列时，可以大于，所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件.
【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合数列的单调性，通过举反例说明必要性不成立是解题的突破口.
6.（2026·江西南昌·3月测试）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】点在圆外，等价于.
直线与圆有两个公共点，等价于圆心到直线的距离.
∵，∴，即.
∴与等价，即是的充分必要条件.
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系及充要条件的判断，将几何关系转化为代数不等式是解题的关键.
7.（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
① ，使得； ② ，使得；
③ ，与都相交； ④ ，使得原点到的距离为.
其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】C
【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，重合，③错；
对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对.
【点拨】本题考查直线的位置关系及点到直线的距离公式，需分类讨论直线斜率存在与否的情况.
8.（2025·萍乡实验·3月一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】命题“，使”是假命题，等价于其否定“，”是真命题.
当时，不等式化为，不恒成立.
当时，要使恒成立，需满足.
由，即，解得或.
结合，可得.
【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断，将其转化为全称量词命题恒成立问题，并结合二次函数的图象特征求解是关键.
9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有
A. B. C. D. 且
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，A是；
对于B，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，B是；
对于C，当时，成立，而不等式不成立，因此不是的充分条件，C不是；
对于D，由且，得且，则，而也能使成立，因此且是成立的充分不必要条件，D是.
【点拨】本题考查充分不必要条件的判断，通过举反例或利用不等式的性质进行逻辑推理是解题的关键.
10.（2026·山东泰安·5月三模）下列选项正确的是
A. 已知是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 事件与相互独立的充要条件是
D. 已知等比数列的公比为，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】对于A，若，则与的夹角为钝角或平角（夹角为时，）.所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件，故A错误.
对于B，若，则，此时成立.若，则，此时，不一定有.∴“”是“”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，事件与相互独立的充要条件是，这是相互独立的定义，故C正确.
对于D，若等比数列的公比为，当且时，数列单调递减；当且时，数列单调递减.若是单调递增数列，则或，此时推不出.∴“”既不是充分条件也不是必要条件，故D错误.
【点拨】本题考查命题的真假判断与充要条件，涉及向量夹角、三角函数方程、独立事件及等比数列的单调性，需全面掌握相关基础知识.
11.已知，下列命题中是真命题的有
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】AB
【解析】对于A，由得：，，，则，A正确；
对于B，，.∵，∴，∴.∵，，∴，即，B正确；
对于C，函数在上为减函数，而，则，即，，C错误；
对于D，当时，，，即，D错误.
【点拨】本题考查指数函数与对数函数的单调性，灵活运用换底公式及作差比较法是判断命题真假的关键.
12.（2025·沧衡八县·3月一模）将分别标有数字的个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】甲摸出一球，乙摸出一球.数字分别为，且.
甲说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”
如果甲摸到的是5，甲一定知道自己的大；如果甲摸到的是1，甲一定知道自己的小.
所以甲摸到的不是1和5，甲的数字.
乙听到甲的话，知道了.
乙说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”
如果乙摸到的是5，乙知道自己的比甲（2,3,4）大，乙就能确定；
如果乙摸到的是1，乙知道自己的比甲（2,3,4）小，乙也能确定；
如果乙摸到的是4，乙知道甲是2或3（因为甲不可能是4，），那么乙一定比甲大，乙就能确定；
如果乙摸到的是2，乙知道甲是3或4，那么乙一定比甲小，乙就能确定.
因此，乙摸到的只能是3.因为如果乙摸到3，甲可能是2或4，乙无法确定谁大谁小.
所以乙摸球上的数字为3.
【点拨】本题考查逻辑推理能力，通过逐步排除确定性情况，缩小可能取值的范围是解决此类推理题的常用策略.
13.（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由可得，则，所以，解得，因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.
【点拨】本题考查三角不等式的解法及充分条件的含义，利用辅助角公式化简三角函数是解题的基础.
14.（2025·石家庄·5月三模）若命题：，，则命题的否定为＿＿＿＿＿＿.
【答案】，
【解析】命题：，的否定为：，.
【点拨】本题考查全称量词命题的否定，需注意改变量词并否定结论，但不能改变条件域.
15.（13分）（2026·合肥一六八·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1） 若时，求；
（2） 若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 由且，所以集合且， 2 分
由；
当时，不等式为，即集合， 4 分
又或， 5 分
所以或或； 7 分
（2） 因为是的充分条件，所以是的子集，又且， 8 分
当时，，满足题意， 9 分
当时，，所以或，得， 11 分
当时，，所以，得. 13 分
综上，实数的取值范围为.
【点拨】本题考查集合的运算及充分条件的判定，解题的关键是正确求出集合A和B，并结合数轴分类讨论参数的取值范围.
16.（15分）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】命题“，”为假命题，其否定为真命题，
即“，”为真命题. 3 分
令， 6 分
则， 9 分
即， 12 分
解得，所以实数的取值范围为. 15 分
【点拨】本题考查存在量词命题的真假判断及主元法的应用，将关于的不等式转化为关于的一次函数恒成立问题是解题的突破口.
17.（15分）已知命题：，，若为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】∵命题：，，
∴：，， 4 分
又∵为假命题，∴为真命题， 7 分
即，恒成立，
∴，即， 11 分
解得. 15 分
【点拨】本题考查命题真假的等价转化，利用二次函数恒成立与判别式的关系是求解参数范围的常规方法.
18.（17分）若命题：“，”是假命题，求的取值范围.
【答案】
【解析】∵命题“，”是假命题，
∴命题“，”是真命题， 3 分
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意； 6 分
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 8 分
当时，则需要满足， 12 分
即，解得， 15 分
综上所述，的范围是. 17 分
【点拨】本题考查含参不等式恒成立问题，对于二次项系数含参的不等式，必须优先讨论二次项系数为零的情况，以防漏解.
19.（17分）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】∵命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题， 4 分
∴，. 8 分
易知函数在上单调递增， 12 分
∴当时，取最小值， 15 分
∴.
∴实数的取值范围为. 17 分
【点拨】本题考查全称量词命题为假时的参数求解，通过分离参数并转化为求函数最值问题，可使解题过程更加简明.
第 2 页，共 17 页第2讲 常用逻辑用语·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·山东德州·4月二模）已知为正实数，则“”的充要条件可以是（ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（2026·宁波十校·3月联考）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”.已知，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（2024·天津一中·阶段练习）“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（2024·上饶六校·5月模拟）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ 　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.（2026·江西南昌·3月测试）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ 　　）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
7.（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
① ，使得； ② ，使得；
③ ，与都相交； ④ ，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ 　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
8.（2025·萍乡实验·3月一模）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（ 　　）
A. B. C. D. 且
10.（2026·山东泰安·5月三模）下列选项正确的是（ 　　）
A. 已知是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 事件与相互独立的充要条件是
D. 已知等比数列的公比为，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件
11.已知，下列命题中是真命题的有（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2025·沧衡八县·3月一模）将分别标有数字的个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为＿＿＿＿＿＿.
13.（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是＿＿＿＿＿＿.
14.（2025·石家庄·5月三模）若命题：，，则命题的否定为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·合肥一六八·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1） 若时，求；
（2） 若是的充分条件，求实数的取值范围.
16.（15分）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围.
17.（15分）已知命题：，，若为假命题，求实数的取值范围.
18.（17分）若命题：“，”是假命题，求的取值范围.
19.（17分）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围.
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