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第3讲 等式与不等式的性质·分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B BC ACD AC ABD
6 7 8 9 10
D A D ②⑥ （1）证明见解析 （2）当时相等，当时大于
11 12 13 14 15
（1） （2）证明见解析 D A D
16 17 18 19 20
ABD ABD 、
21 22 23 24 25
BCD BC CD ABD
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
1.（2026·长郡中学·二模）已知 ，且 ，则下列不等式不一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，得 .
对于A，因为 ，所以 ，A正确；
对于B，取 ，则 ，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，（因为 ，故不等式无法取等），D正确.
【点拨】判断不等式是否恒成立，可结合不等式性质进行代数推导，对于不成立的选项直接举出反例更为高效.
2.（2026·山东淄博·一模）（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】对于A，若 ，此时 ，满足 ，但 ，故A错误；
对于B，因为 ，即 ，所以 ，即 恒成立，故B正确；
对于C，因为 且 ，不等式两边同除以 ，得 ，即 ，故C正确；
对于D，因为 ，由于 ，所以 ，故 ，即 ，故D错误.
【点拨】处理多项选择题中的不等式真假判断时，可通过特值法迅速排除错误选项，再运用作差法与基本不等式严谨证明正确选项.
3.（2026·山东济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则隐含 ，不等式两边同除以 得 ，故A正确；
对于B，若 ，满足 且 ，但 ，此时 ，故B错误；
对于C，因为 ，由 可知 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故D正确.
【点拨】在利用不等式性质进行变形时，必须时刻关注乘除变量的符号（特别是能否为负或为零）；分式的比较优先考虑作差通分法.
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
4.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若 ，则 D.
【答案】AC
【解析】对于A，因为函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，故A正确；
对于B，函数 在 上不具备单调性（例如取 ，则 ），故B错误；
对于C，因为 ，且 ，由不等式的同向同正可乘性可知 ，故C正确；
对于D，因为指数函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，故D错误.
【点拨】比较两个代数式的大小时，若能将其抽象为同一函数的不同函数值，利用该函数在对应区间上的单调性直接判定是最佳策略.
5.（2025·山东名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故A对；
因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，故B对；
若 ，满足 ，显然 不成立，故C错；
当 ，则 ，必有 ，
当 ，则 ，故 ，必有 ，故D对.
【点拨】利用绝对值的性质和函数的单调性是解决这类问题的一般方法.需要注意的是，若按原卷题干条件 无法推出 ，题干应为 才严谨，在保留原题解析的同时，解题时应留意此细节.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
6.（2025·河南TOP名校·5月联考）设甲：；乙：，则甲是乙的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 可得 ，由 可得 ，所以由 推不出 ，即充分性不成立；由 也推不出 ，即必要性不成立.所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选D.
【点拨】判断充分必要条件时，需将命题分别等价转化为最简的参数范围，再考察两者之间的包含关系.
7.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 得 ，所以充分.取 ，则 ，但 ，所以不必要.
【点拨】利用指数函数和幂函数的单调性将不等式条件转化为底数或指数的大小关系，是处理此类逻辑推断题的核心.
8.（2025·福建福九联盟·5月联考）若 ，则 的一个充要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】（方法一）依题意，，故 .则 ，即 .
（方法二） 或 或 或 ，
又 ，
故 的一个充要条件是 .
【点拨】对于多项乘积大于零的不等式，既可以通过同除以恒正的平方项进行等价变形，也可以直接利用分类讨论解出 的关系.
考点二：比较数(式)的大小与证明
考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
9.如果 ，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿.
【答案】②⑥
【解析】令 ，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.
当 时，排除④.
由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.
由于 ，故 .故⑥正确.
所以一定成立的是②⑥.
【点拨】在条件仅为 时，切忌主观臆断变量的正负性.遇到不确定的不等式，寻找跨越零点的反例最能切中要害.
10.（1） 已知 ，求证：；
（2） 设 ，比较 与 的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）当时相等，当时大于
【解析】（1） 由 ，，得 ，，从而得 .
又 ，所以 .
（2） 因为
，
当且仅当 时等号成立，
所以当 时，；
当 时，.
【点拨】第一问利用不等式的同向同正可乘性进行证明；第二问作差后必须通过彻底的因式分解与配方，将差值化为非负形式，并注意讨论等号成立的条件.
11.（1） 试比较 与 的大小；
（2） 已知 ，，求证：.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） 由题意，，
所以 .
（2） 证明：因为 ，所以 ，即 ，
而 ，所以 ，则 .得证.
【点拨】多项式的比较大小首选作差法；分式不等式的证明则通过移项通分，将减法转化为乘除法的符号判定.
考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
12.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知不等式 可化为 .
构造函数 ，因为 是增函数， 也是增函数，所以 在 上单调递增.
由 可得 ，即 ，
所以 ，则 .对应选项D.
【点拨】将不等式两端整理为结构一致的同类形式，进而构造函数利用单调性脱去函数符号，是处理超越不等式的通法.
13.若 ，则将 从小到大排列为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，不妨令 ，
则有 ，
所以有 ，
即 .
【点拨】对于满足特定代数和关系的变量，利用特值法进行代入验算，能迅速排定多项式的大小顺序.
考点三：求目标式的取值范围
考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围
14.已知 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 .
故选：A.
【点拨】利用不等式的性质求范围时，应先利用数乘性质求出 的范围，再利用同向可加性与 的范围相加.
15.已知 ，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，
所以 ，
则 ，又 ，，
所以 ，，
由不等式的性质得：，
则 的取值范围为 .故选：D.
【点拨】在已知整体范围求目标代数式范围时，切忌直接拆分求出单一变量后再叠加，必须使用待定系数法将目标式凑成已知整体的线性组合.
16.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，故A正确；
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，故C错误；
因为 ，所以 ，则 ，故D正确.
【点拨】已知两变量构成的代数式范围，求另一组合式范围时，需用已知代数式的系数表示待求式的系数，严防范围的盲目扩大.
考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围
17.已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当 时满足： 且 ，
，即 ，
进而 ，解得 .
所以 或 ，
，
令 ，
，
由于 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
当 时，，当 时，，
所以 .故答案为：.
【点拨】处理多元变量的范围最值问题，可结合齐次结构将多变量问题化归为单变量问题，再利用二次函数的单调区间求得最值.
考点四：糖水不等式
考法8：糖水不等式的应用与拓展
18.（多选）已知 糖水中含有 糖 ()，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，正确；
对于C， 即 ，错误；
对于D，，正确.
【点拨】糖水不等式本质是分子分母同加一个正数后分式值变大（前提为真分数）.在解题时需敏锐识别结构特征并灵活嵌套应用.
19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：，其中 ，且 .据此可以判断两个分数的大小关系，比如 ＿＿＿＿＿＿ (填“>”或“<”).
【答案】
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，，
根据题设知：.
【点拨】当遇到极其庞大的数据且差异固定时，直接对应糖水不等式的结构模型能起到“秒杀”的效果.
20.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿.
【答案】、
【解析】空1：因为 ，所以可得：；
空2：由空1可得：，即 .
【点拨】将对数通过换底公式转化为同底分数形式，再嵌套糖水不等式，是解决复杂对数大小比较的一条捷径.
考点五：不等式的综合应用
考法9：综合应用不等式求范围或判断真假
21.（2026·湖南永州·一模）（多选）若实数 满足 ，则下列选项一定正确的有（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A：当 时，满足 ，但 ，则 不成立，故A错误；
对B：因为 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C：设 ，其中 ，则 ，故C正确；
对D：因为 ，
因为 ，所以 ，所以 成立，故D正确.
故选：BCD.
【点拨】处理多项式的综合最值与不等式证明，可以引入基本不等式、绝对值三角不等式，甚至赋予其解析几何意义（如点到直线的距离公式）进行降维打击.
22.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】由 可知 ，由不等式的性质可知 ，则 .
选项A：因为对数函数 为减函数，，所以 ，故A错误；
选项B：由函数 的单调性可知 ，故B正确；
选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
选项D：，当且仅当 ，即 时取得等号，显然等号不成立，故D错误.
【点拨】根据起始条件提炼出 的明确大小与正负关系是第一步.应用基本不等式求最值时，切莫忽视“一正二定三相等”的等号成立条件检查.
23.（多选）已知 ，且满足 .则 的取值可以为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】因为 ，
所以 ，
故 ，
当 且 ，而 时 ，即等号不能同时成立，
所以 ，故AB错误，CD正确.
【点拨】将分式不等式化为同构的整式不等式并相加，再使用基本不等式求出取值下界，是突破此类双重条件不等式的有效手段.
24.（多选）已知 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】由 得 ，由于 ，所以 ，
所以 ，因此 且 ，故A正确，
，当 时，，由于 ，当且仅当 时，等号成立，故 ，当 时，，所以 ，故B正确，
，当且仅当 时取等号，故 ，所以C错误，
，当且仅当 取等号，又 ，所以 或者 等号成立，故选：ABD.
【点拨】该题对代数式的换元、拼凑能力要求极高，善于利用常数代换（例如把 替换为题设式）能大大化简最值求解过程.
考法10：结合方程有解性求最值
25.已知实数 满足 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴
∴ 是方程： 的两个实数根，
∴
∴ 即
∴
即 的最大值为 .
【点拨】利用韦达定理构造关于其中一个参数的一元二次方程，再借助判别式 求出另一参数的最值，是一类极具代表性的代数变形技巧.
第 2 页，共 17 页第3讲 等式与不等式的性质·分类练习
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
1.（2026·湖南长郡中学·二模）已知 ，且 ，则下列不等式不一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·山东淄博·一模）（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3.（2026·山东济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
4.（2026·山东东营·二模）（多选）已知 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若 ，则 D.
5.（2025·山东名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
6.（2025·河南TOP名校·5月联考）设甲：；乙：，则甲是乙的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知 ，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.（2025·福建福九联盟·5月联考）若 ，则 的一个充要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
考点二：比较数(式)的大小与证明
考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
9.如果 ，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿.
10.（1） 已知 ，求证：；
（2） 设 ，比较 与 的大小.
11.（1） 试比较 与 的大小；
（2） 已知 ，，求证：.
考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
12.（2026·山东九五协作体·一模）若 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
13.若 ，则将 从小到大排列为＿＿＿＿＿＿.
考点三：求目标式的取值范围
考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围
14.已知 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
15.已知 ，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
16.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围
17.已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点四：糖水不等式
考法8：糖水不等式的应用与拓展
18.（多选）已知 糖水中含有 糖 ()，若再添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了 (即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ 　　）
A. B.
C. D.
19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：，其中 ，且 .据此可以判断两个分数的大小关系，比如 ＿＿＿＿＿＿ (填“>”或“<”).
20.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿.
考点五：不等式的综合应用
考法9：综合应用不等式求范围或判断真假
21.（2026·湖南永州·一模）（多选）若实数 满足 ，则下列选项一定正确的有（ 　　）
A. B.
C. D.
22.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　）
A. B.
C. D. 的最小值为
23.（多选）已知 ，且满足 .则 的取值可以为（ 　　）
A. B. C. D.
24.（多选）已知 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法10：结合方程有解性求最值
25.已知实数 满足 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
第 2 页，共 17 页第3讲 等式与不等式的性质·配套讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 比较大小基本方法 2
2. 不等式的性质 2
三、方法总结 3
考点一：不等式性质的应用 3
考点二：比较数(式)的大小与证明 3
考点三：求目标式的取值范围 3
考点四：糖水不等式 4
考点五：不等式的综合应用 4
四、典题精讲 4
考点一：不等式性质的应用 4
考点二：比较数(式)的大小与证明 6
考点三：求目标式的取值范围 7
考点四：糖水不等式 8
考点五：不等式的综合应用 9
五、高考真题 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2025年 第8题·单选题 5分 结合对数与指数运算比较数的大小
2024年 第8题·单选题 5分 不等式同向可加性与传递性在抽象函数递推中的应用
近三年全国一卷（新高考Ⅰ卷）中，不等式与不等式的性质在2024年和2025年均有直接考查，且均出现在单选题的压轴位置（第8题），具有一定的综合性与难度.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：不等式的基本性质（如可加性、传递性）、代数式的大小比较.
· 命题趋势：一般不单独命制纯粹的不等式性质题，而是常融合集合运算、函数的奇偶性与单调性、抽象函数递推等模块综合出题，多以选择题形式呈现.
· 试题特点：侧重灵活变形与综合应用.在客观题中重点考查不等式的核心性质，常在乘除负数变号等易错点上设置陷阱；在解答题（如导数、数列大题）中，不等式性质常作为基础的放缩与推导工具被间接使用.
3. 备考策略
· 立足课本熟记不等式的基本性质，严格区分易错变形条件，规避乘除负数未变号、开方失误等陷阱.
· 熟练掌握比较数（式）大小的常用方法（如作差法、作商法、构造函数法、中间量过渡法），常态化进行变式刷题以巩固代数变形能力.
· 强化不等式与其他模块的融合训练，特别是在函数综合题中提炼不等关系，提升数学建模与综合运用能力.
二、知识清单
1. 比较大小基本方法
关系 作差法 与 比较 作商法 与 比较
() 或 ()
()
() 或 ()
【防坑警示】 使用作商法比较大小时，必须确保参与比较的两个数（式）同号.若同为负数，作商后与 比较的结论与正数情况恰好相反.
2. 不等式的性质
性质 性质内容
对称性 ；
传递性 ；
可加性
可乘性 ；
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
【易错提醒】 在使用“可乘性”和“同向同正可乘性”时，必须严格确认乘数或被乘式的正负号，若符号不确定则需要分类讨论，切忌盲目相乘导致不等号方向错误.
三、方法总结
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
· 应用不等式基本性质时，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据.
· 解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题效率.
· 在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式，时刻关注变量的符号.
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
· 遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.
· 结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
· 处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项是构造分式的巧妙技巧.
· 若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分.
考点二：比较数(式)的大小与证明
考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
· 作差法比较大小的步骤为：作差、变形、判断差式与 的大小、下结论.变形是关键，主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底.
· 作商法一般用来比较两个正数的大小，特别是当两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式时.步骤为：作商、变形、判断商式与 的大小、下结论.
· 在证明不等式时，务必在结论中明确等号成立的条件.
考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
· “同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 的形式后，借助导数或基本初等函数的性质判定单调性，即可实现降维求解.
· 在处理多个代数式的大小比较问题时，若已知变量的取值范围及等量关系，采用特殊值代入法可迅速明晰各式的相对大小.
考点三：求目标式的取值范围
考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围
· 在求解线性规划或多元变量的范围问题时，待定系数法是标准且严谨的防错手段.
· 通过构造恒等式匹配系数，能有效避免因变量间的相互制约而产生的范围扩大问题，严禁直接相减.
考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围
· 处理多元变量的范围最值问题，若代数式具备齐次结构，将其化归为关于比值的单变量函数是核心突破口.
· 换元后务必先求出新变量的取值范围，再结合二次函数的图像进行分析.
考点四：糖水不等式
考法8：糖水不等式的应用与拓展
· 糖水不等式 () 是处理真分数大小比较的捷径.
· 在对数比较大小的问题中，结合换底公式将其转化为分式，再巧妙构造同加常数的结构，能极大简化运算.
考点五：不等式的综合应用
考法9：综合应用不等式求范围或判断真假
· 处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将双变量问题转化为单变量的分段函数最值探究.
· 借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类压轴题的有效手段.
考法10：结合方程有解性求最值
· 面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程.
· 借助判别式 是实现消元并求出参数范围的巧妙策略.
四、典题精讲
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
例1.（2026·济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ACD
【思路】本题考查不等式的基本性质.判断不等式真假时，对于含有乘除运算的选项，需重点关注变量的符号及是否为零；对于分式大小比较，作差通分是通法；对于条件最值问题，可联想基本不等式或代数变形进行验证.
【解析】对于A，若 ，则隐含 ，不等式两边同除以 得 ，故A正确.
对于B，若 ，满足 且 ，但 ，此时 ，故B错误.
对于C，∵ ，由 可知 ，∴ ，即 ，故C正确.
对于D，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，故D正确.
【规律】处理不等式真假判断题时，举反例是排除错误选项的高效手段.在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式.
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
例2.（2025·名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【思路】本题条件中含有绝对值，需先利用绝对值的非负性进行放缩或平方处理.将不等式两端转化为同底数指数幂或二次结构后，借助指数函数、幂函数的单调性以及作差法进行逐一判定.
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故A对.
∵ ，∴ ，
由 ，∴ ，故B对.
若 ，满足 ，显然 不成立，故C错.
当 ，则 ，必有 .
当 ，则 ，故 ，必有 ，故D对.
【规律】遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
例3.（2025·福九联盟·5月联考） 若 ，则 的一个充要条件是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】探求充要条件，本质上是寻找与题干不等式解集完全一致的等价命题.可以通过对原不等式进行恒等变形，或者利用分类讨论解出 的符号与大小关系，再与选项进行比对.
【解析】（方法一）依题意，，故 .则 ，即 .
（方法二） 或 或 或 .
又 .
故 的一个充要条件是 .
【规律】处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项（如 ）是构造分式的巧妙技巧.若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分.
考点二：比较数(式)的大小与证明
考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
例4. （1） 已知 ，求证：；
（2） 设 ，比较 与 的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）当 时相等，当 时大于
【思路】第一问涉及多个不等式的组合，可利用不等式的同向同正可乘性及可加性进行推导；第二问是典型的代数式大小比较，作差法是首选，作差后需通过提取公因式、配方等手段将其化为完全平方式与非负项的和，从而判定符号.
【解析】（1） 证明：由 ，，得 ，
∴ ，
从而得 .
又 ，∴ .
（2） 解：∵
，
当且仅当 时等号成立.
∴ 当 时，；
当 时，.
【规律】作差法比较大小的核心在于“变形”，即通过因式分解、配方等代数恒等变形，将差式转化为几个非负数之和或积的形式.同时，务必在结论中明确等号成立的条件.
考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
例5.（2026·九五协作体·一模） 若 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】观察已知不等式的结构，两边分别含有 和 的同类项.通过移项将同变量聚集在同侧，进而构造出统一的函数模型，利用该函数的单调性脱去函数符号，即可得到 的大小关系.
【解析】已知不等式 可化为 .
构造函数 ，∵ 是增函数， 也是增函数，∴ 在 上单调递增.
由 可得 ，即 .
∴ ，则 .对应选项D.
【规律】“同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 的形式后，借助导数或基本初等函数的性质判定 的单调性，即可实现降维求解.
考点三：求目标式的取值范围
考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围
例6.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ABD
【思路】已知两个整体代数式的范围，求其他线性组合的范围时，切忌直接解出单一变量的范围再代入，这会导致范围扩大.正确的做法是利用待定系数法，将待求式表示为已知式的线性组合，再利用不等式的同向可加性求解.
【解析】∵ ，∴ .∵ ，∴ ，则 ，故A正确.
∵ ，∴ .∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故B正确.
∵ ，∴ ，则 ，故C错误.
∵ ，∴ ，则 ，故D正确.
【规律】在求解线性规划或多元变量的范围问题时，待定系数法是标准且严谨的防错手段.通过构造恒等式匹配系数，能有效避免因变量间的相互制约而产生的范围扩大问题.
考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围
例7. 已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】目标式是一个分式，且已知条件中各项的次数呈现齐次特征.可考虑通过代入消元法消去 ，将条件转化为关于 的齐次不等式，进而同除以 （或 ）构造关于 的单变量函数，利用二次函数的性质求得最值.
【解析】当 时满足： 且 ，
∴ ，即 ，
进而 ，解得 .
∴ 或 .
，
令 ，
∴ .
由于 ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减.
当 时，，当 时，.
∴ .故答案为：.
【规律】处理多元变量的范围最值问题，若代数式具备齐次结构，将其化归为关于比值的单变量函数是核心突破口.换元后务必先求出新变量的取值范围，再结合二次函数的图像进行分析.
考点四：糖水不等式
考法8：糖水不等式的应用与拓展
例8. 若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿.
【答案】、
【思路】题目给出了糖水不等式的模型，要求比较两个对数的大小.显然需要利用换底公式将对数转化为分数形式，观察分子分母的差值关系，凑出糖水不等式的结构进行比较.
【解析】空1：∵ ，∴ 可得：.
空2：由空1可得：，即 .
【规律】糖水不等式 () 是处理真分数大小比较的捷径.在对数比较大小的问题中，结合换底公式将其转化为分式，再巧妙构造同加常数的结构，能极大简化运算.
考点五：不等式的综合应用
考法9：综合应用不等式求范围或判断真假
例9.（2024·衡水中学·练习） 已知 ，且满足 .
（1） 证明：；
（2） 求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【思路】第一问已知条件为两个分式不等式，可考虑将其化为整式形式并相加，利用基本不等式放缩求得下界；第二问在第一问的基础上，由于等号无法同时成立，需引入比值参数 实现降元，将问题转化为关于 的分段函数最值问题，借助导数探究单调性.
【解析】（1） 证明：∵ ，且 ，
∴ ，
两式相加得 .
又∵ ，
∴ .
（2） 解：设 ，则 ，代入已知条件得 ，即 .
∴ .
当 ，即 时，.
设 ，其导数 在 上恒成立，故 在 单调递增，最小值为 .
当 ，即 时，.
设 ，其导数 在 上恒成立，故 在 单调递减，∴ .
综上所述， 的最小值为 .
【规律】处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将双变量问题转化为单变量的分段函数最值探究，再借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类压轴题的有效手段.
考法10：结合方程有解性求最值
例10. 已知实数 满足 ，求 的最大值.
【答案】
【思路】已知条件是关于三个变量的对称方程组，要求其中一个变量的最值.可以利用方程思想，将 的和与积用 表示出来，进而构造以 为根的一元二次方程，利用判别式大于等于零求得 的范围.
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是关于 的方程 的两个实数根.
∴ ，即 ，
即 ，解得 .
即 的最大值为 .
【规律】面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程，借助判别式 是实现消元并求出参数范围的巧妙策略.
五、高考真题
1.（2024·全国Ⅰ卷·高考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵当时，∴.
又∵，
则，
，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选B.
2.（2025·全国Ⅰ卷·高考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设，
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选B.
法二：设，∴.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，.
故选B.
第 2 页，共 17 页第3讲 等式与不等式的性质·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D A C C A
6 7 8 9 10
D A D AC ABD
11 12 13 14 15
BCD ②⑥ > （1）证明见解析 （2）见解析
16 17 18 19
（1）见解析 （2）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （3） （1）证明见解析 （2）
1.（2026·山东枣庄·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】A.若，则不一定成立，如；
B.若，则不一定成立，如；
C.若，则不一定成立，如；
D.若，则，所以成立.故选D.
【点拨】判断不等式命题的真假时，对于错误选项，通过构造特殊值举反例是最高效的排除策略；对于正确选项，需严格依据不等式的基本性质进行推导.
2.若，，则将从小到大排列为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，不妨令，，
则有，，
∴有，
即.
【点拨】在处理多个代数式的大小比较问题时，若已知变量的取值范围及等量关系，采用特殊值代入法可迅速明晰各式的相对大小，避免繁琐的代数变形.
3.（2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，即，故A错误；
对于B，当时，，，此时，故B错误；
对于C，，因为，所以，，，所以，即，故C正确；
对于D，函数在上单调递减，所以，又因为函数为偶函数，所以，故D错误.
【点拨】综合运用作差法、特殊值法以及基本初等函数的单调性与奇偶性，是解决此类不等式综合判断题的关键路径.
4.（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵单调递增，∴，
∵单调递增，∴，
∴，即“”是“”的充要条件.
【点拨】判断充分必要条件时，借助指数函数和幂函数的单调性将不等式进行等价转化，能使逻辑关系更加直观.
5.（2026·苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得，，，所以充分.
取，，，则，但，所以不必要.
【点拨】处理涉及底数和指数均含参的不等式时，需灵活切换指数函数与幂函数的单调性视角，必要性不成立时构造反例最为直接.
6.（2026·山东九五·一模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
设，则在上单调递增，
所以，即，
所以，故D正确.
【点拨】遇到结构对称的不等式，优先考虑移项并构造同构函数，利用导数或基本初等函数的性质判断其单调性，进而脱去函数符号得出变量间的关系.
7.已知，，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，得.故选：A.
【点拨】利用同向不等式的可加性求范围时，必须先求出各独立部分的范围再进行相加，严禁直接相减以免范围扩大.
8.（2024·广东·期末）已知，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
所以，
则，
又，，
所以，，
由不等式的性质得：，
则的取值范围为.故选：D.
【点拨】当目标式与已知不等式的变量存在线性关系时，采用待定系数法将目标式表示为已知式的线性组合，是防止取值范围扩大的标准解法.
9.（2026·山东东营·二模）已知，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】AC
【解析】A选项，在上单调递增，因为，所以，A正确；
B选项，在上不单调，所以与大小不确定，B错误；
C选项，因为，，所以，C正确；
D选项，在上单调递减，因为，所以，D错误.
【点拨】利用函数单调性比较大小时，必须确保自变量处于该函数的单调区间内，尤其注意三角函数在整个正半轴上并不具备单调性.
10.已知实数满足，，则（ 　　）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，，所以，，则，故C错误；
因为，，所以，，则，故D正确.
对于B，因为，，所以，所以，故B正确.故选：ABD.
【点拨】处理多个变量的线性规划范围问题时，务必使用待定系数法，将待求表达式转化为已知不等式表达式的线性组合，再利用同向不等式相加的性质求解.
11.（2026·湖南永州·一模）若实数满足，则下列选项一定正确的有（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A：当，时，满足，但，则不成立，故A错误；
对B：因为，所以，所以，故B正确；
对C：设，其中，，则，故C正确；
对D：因为，因为，，所以，所以成立，故D正确.故选：BCD.
【点拨】综合判断不等式命题时，灵活穿插使用特殊值法排除错误选项，并结合基本不等式、绝对值三角不等式及几何意义（如点到直线的距离）进行严密推导.
12.如果，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿.
【答案】②⑥
【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.
当时，排除④.
由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.
由于，故.故⑥正确.
所以一定成立的是②⑥.
【点拨】对于含有多个不等式的判断题，优先考虑特殊值法快速排除，再针对剩余选项利用函数单调性或作差配方法进行严格证明.
13.已知三个实数，当时，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时满足：且，
，即，进而，解得.
所以或，
，
令，
，
由于，所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以.故答案为：.
【点拨】面对多元代数式的范围问题，通过消元并作齐次化处理，将其转化为关于单一比值变量的函数，结合二次函数的图像与性质求最值.
14.（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜. 这句话用数学符号可表示为：，其中，且. 据此可以判断两个分数的大小关系，比如＿＿＿＿＿＿(填“>”“<”).
【答案】>
【解析】令，则，
令，则，
所以，，
根据题设知：.
故答案为：>.
【点拨】糖水不等式是比较真分数大小的有力工具，识别出复杂分数之间的差值关系，将其抽象为代数模型即可秒杀.
15.（13分）（2024·检测）（1） 已知，，求证：；
（2） 设，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析 （2）见解析
【解析】（1） 证明：由，，得， 2 分
所以， 4 分
从而得.
又，所以. 6 分
（2） 解：因为 9 分
11 分
， 12 分
当且仅当时等号成立，
所以当时，；
当时，. 13 分
【点拨】第一问利用不等式的基本性质进行同向不等式相加及同正不等式相乘；第二问采用作差法，通过因式分解与配方将其转化为非负式的乘积，注意对等号成立条件的讨论.
16.（15分）（1） 试比较与的大小；
（2） 已知，，求证：.
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】（1） 解：由题意， 3 分
， 6 分
所以. 7 分
（2） 证明：因为，所以， 11 分
即， 13 分
而，所以，
则.得证. 15 分
【点拨】作差法是比较代数式大小及证明不等式的首选方法，作差后通过展开化简或通分变形，准确判断差值的符号即可得出结论.
17.（15分）已知实数满足，，求的最大值.
【答案】
【解析】解：，，
，， 3 分
， 7 分
是关于的方程的两个实数根， 10 分
，即， 12 分
即，解得，
即的最大值为. 15 分
【点拨】面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程，借助判别式大于等于零是实现消元并求出范围的巧妙策略.
18.（17分）已知.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值；
（3） 求的最大值.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1） 证明：由得， 2 分
则.由于，所以， 4 分
所以，因此且，故成立. 5 分
（2） 解：. 7 分
当时，，
由于，当且仅当时等号成立，故. 9 分
当时，，所以，即的最小值为. 11 分
（3） 解：， 14 分
因为，所以当时，取得最大值. 16 分
此时结合可解得或.故的最大值为. 17 分
【点拨】在处理条件极值问题时，通过已知等式进行整体代换或降次，将双变量问题转化为单变量或关于某个整体（如）的二次函数，再结合基本不等式或配方法求解.
19.（17分）（2024·衡水中学·阶段练习）已知，且满足，.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1） 证明：因为，，且，
所以，， 3 分
两式相加得. 5 分
又因为，
所以. 7 分
（2） 解：设，则，代入已知条件得，，即. 9 分
所以. 11 分
当，即时，.
设，其导数在上恒成立，故在单调递增，最小值为. 14 分
当，即时，.
设，其导数在上恒成立，故在单调递减，所以. 16 分
综上所述，的最小值为. 17 分
【点拨】处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将原问题转化为分段函数的最值探究，再借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类难题的有效手段.
第 2 页，共 17 页第3讲 等式与不等式的性质·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·山东枣庄·一模）已知，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.若，，则将从小到大排列为（ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·福建莆田·二模）已知，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（2026·苏锡常镇·二模）已知，则“”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.（2026·山东九五·一模）若，则（ 　　）
A. B.
C. D.
7.已知，，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
8.（2024·广东·期末）已知，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·山东东营·二模）已知，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D.
10.已知实数满足，，则（ 　　）
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11.（2026·湖南永州·一模）若实数满足，则下列选项一定正确的有（ 　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如果，给出下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中一定成立的不等式的序号是＿＿＿＿＿＿.
13.已知三个实数，当时，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
14.（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜. 这句话用数学符号可表示为：，其中，且. 据此可以判断两个分数的大小关系，比如＿＿＿＿＿＿(填“>”“<”).
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（1） 已知，，求证：；
（2） 设，比较与的大小.
16.（15分）（1） 试比较与的大小；
（2） 已知，，求证：.
17.（15分）已知实数满足，，求的最大值.
18.（17分）已知.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值；
（3） 求的最大值.
19.（17分）（2024·衡水中学·阶段练习）已知，且满足，.
（1） 证明：；
（2） 求的最小值.
第 2 页，共 17 页

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