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第19课时　抛体运动
[学习目标]　1．掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2．学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。3．会处理平抛运动中的临界、极值问题。
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在__作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的___曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：__直线运动。
②竖直方向：____运动。
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0____或斜向下方抛出，物体只在__作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是___。
(3)基本规律
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝_______，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝__________，y＝v0t sin θ－gt2。
以斜上抛运动为例，如图所示。
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (　　)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。
(　　)
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 (　　)
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 (　　)
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (　　)
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (　　)
(7)初速度无论是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (　　)
2．(人教版必修第二册P19T4改编)如图所示，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
3．人教版必修第二册P17插图：
如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
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平抛运动的规律及应用
1．平抛运动的时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小为Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
　单体平抛运动
[典例1]　(多选)投壶是我国古代的一种民间游戏。据《礼记·投壶》记载，以壶口作标的在一定的水平距离投箭矢，以投入多少决胜负。现将某同学进行投壶的游戏简化为抛体运动，将箭矢视为质点，不计壶的高度，并且不计空气阻力。箭矢从距壶口P点竖直高度为h＝1.25 m的O点以初速度v0水平抛出，恰好落在壶口P点，O、P两点之间的水平距离为x＝2.5 m，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．箭矢抛出的初速度v0＝5 m/s
B．箭矢从O运动到壶口P的时间为0.5 s
C．箭矢落入壶口P的速度大小为5 m/s
D．以抛射点O为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则该箭矢运动的轨迹方程为y＝
　多体平抛运动
[典例2]　(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．b和c的运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b的加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
　类平抛运动
[典例3]　(多选)如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为g sin θ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
归纳提升：类平抛运动的处理方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
与斜面和曲面相关的平抛运动
1．常见相关类型
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
2．解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
　斜面约束的平抛运动
[典例4]　(一题多变)(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，重力加速度为g，则(　　)
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
思路点拨：解此题要把握以下关键信息：
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球的两分速度大小相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，则飞行时间相等。
(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
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拓展延伸1　在[典例4]中，若落在PO斜面上的小球沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则小球在空中飞行时间变为原来的多少倍？
__________________________________________________________________________________________________________________________________________拓展延伸2　在[拓展延伸1]中，初速度改变后，落在斜面上的速度方向与斜面夹角变化吗？
__________________________________________________________________________________________________________________________________________　曲面约束的平抛运动
[典例5]　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
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平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出与临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例6]　2025年6月15日晚，2025世界沙滩排球职业巡回赛(中国青岛站)在石老人海水浴场圆满落下帷幕，中国队组合问鼎冠军。如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球(　　)
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网而不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
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斜抛运动
1．斜抛运动的射高和射程
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
2．解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[典例7]　(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
　
A　 　 　B　　 　　C　 　　　D
[典例8]　如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从A点垂直于缓冲坡以速度大小v0为20 m/s起跳，最后落在缓冲坡上的B点，轨迹上的C点(图中未画出)与A点等高，已知缓冲坡倾角θ＝37°，不计空气阻力。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)运动员从A点到C点过程中速度变化量的大小；
(2)缓冲坡上A、B两点间的距离；
(3)运动员落在B点的速度方向与斜面夹角的正切值。
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第19课时　抛体运动
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)重力　(2)匀变速　(3)匀速　自由落体
(4)gt　
2．(1)斜向上方　重力　(2)抛物线
(3)v0cos θ　v0sin θ－gt
技能激活·易错攻坚
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√
2．B　[水平方向：dv0t，竖直方向：hgt2，代入数据得：h5 m，B正确。]
3．提示：初速度可以分解为v0xv0cos θ，v0yv0sin θ。在水平方向，物体的位移为xv0xt(v0cos θ)t　①，在竖直方向，物体的位移为yv0yt－gt2(v0sin θ)t－gt2　②，物体落回与抛出点同一高度时，有y0，由②式得总时间t总，由①式得物体的射程x总，当θ45°时，sin 2θ最大，射程最大。所以对于给定大小的初速度v0，沿θ45°方向斜向上抛出时，射程最大。
考点深研·题型突破
考点1
典例1　ABD　[箭矢做平抛运动，竖直方向有hgt2，解得箭矢从O运动到壶口P的时间为t s0.5 s，水平方向有xv0t，解得箭矢抛出的初速度v0 m/s5 m/s，故A、B正确；箭矢落入壶口P的竖直分速度大小为vygt5 m/s，则箭矢落入壶口P的速度大小为v m/s5 m/s，故C错误；以抛射点O为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则有xv0t，ygt2，可得y，故D正确。]
典例2　ACD　[b、c抛出时的高度相同，且小于a抛出时的高度，根据hgt2得t，可知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，A正确，B错误；由于a和b都做平抛运动，只受竖直方向的重力作用，故a和b的加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的两倍，D正确。]
典例3　ABC　[小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度agsin θ，故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为at2，解得t，故C正确，小球在沿初速度方向的位移xv0t，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移y，则小球在水平方向的总位移s，故D错误。]
考点2
典例4　ACD　[落于C点的小球速度方向垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1gt，得出水平位移xv1tgt2，C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面上，故两小球飞行时间都为t，由图可得tan 45°，所以v2，A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x2h＋v2t，可得hgt2，故A点距水平面MN的高度Hh＋gt2，D正确。
]
拓展延伸1　提示：由[典例4]可得t，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的。
拓展延伸2　提示：落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
典例5　A　[小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan θ，由tan θ，可得竖直方向的位移yR，而2gy，tan 30°，联立解得v0，选项A正确，B、C、D错误。]
考点3
典例6　C　[根据平抛运动的两个分运动规律xv0t，ygt2，联立可得yx2，刚能过网的条件为x，y1.5h－h0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0min，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax，故B错误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x，y1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax，故D错误。]
考点4
典例7　BC　[由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有xvxt，C正确；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有yvy0t－gt2，vyvy0－gt，且vy最终减为0，B正确，故选BC。]
典例8　解析：(1)运动员竖直分速度大小vyv0cos 37°16 m/s
从A点到C点过程中速度变化量大小为Δv2vy32 m/s。
(2)方法一　设沿缓冲坡方向为x轴正方向，起跳方向为y轴正方向。y轴正方向加速度大小为aygcos 37°8 m/s2
运动员从A到B所用时间为
t2×5 s
x轴正方向加速度大小为
axgsin 37°6 m/s2
A、B两点间的距离为
Laxt275 m。
方法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
由图可知cos 37°
解得t5 s
A、B两点间的距离为合位移
Lv0ttan 37°75 m。
(3)设运动员落在B点时速度与斜面夹角为β，沿斜面方向的速度
v∥axt30 m/s
则tan β。
答案：(1)32 m/s　(2)75 m　(3)
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第19课时　抛体运动
[学习目标]　1．掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2．学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。3．会处理平抛运动中的临界、极值问题。
回归教材 · 双基过关
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是抛物线。
重力
匀变速
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：____直线运动。
②竖直方向：________运动。
匀速
自由落体
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是______。
斜向上方
重力
抛物线
(3)基本规律
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝_____________，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝______ ___________，y＝v0t sin θ－gt2。
以斜上抛运动为例，如图所示。
v0cos θ
v0sin θ－gt
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (　　)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 (　　)
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 (　　)
×
×
√
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 (　　)
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (　　)
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (　　)
(7)初速度无论是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (　　)
√
×
×
√
2．(人教版必修第二册P19T4改编)如图所示，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
√
B　[水平方向：d＝v0t，竖直方向：h＝gt2，代入数据得：h＝5 m，B正确。]
3．人教版必修第二册P17插图：
如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
[提示]　初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物体的位移为x＝v0xt＝(v0cos θ)t　①，在竖直方向，物体的位移为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2　②，物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由②式得总时间t总＝，由①式得物体的射程x总＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
考点深研 · 题型突破
考点1　平抛运动的规律及应用
1．平抛运动的时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小为Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
角度1　单体平抛运动
[典例1]　(多选)投壶是我国古代的一种民间游戏。据《礼记·投壶》记载，以壶口作标的在一定的水平距离投箭矢，以投入多少决胜负。现将某同学进行投壶的游戏简化为抛体运动，将箭矢视为质点，不计壶的高度，并且不计空气阻力。箭矢从距壶口P点竖直高度为h＝
1.25 m的O点以初速度v0水平抛出，恰好落在壶口P点，O、P两点之间的水平距离为x＝2.5 m，重力加速度g取10 m/s2，
则下列说法正确的是(　　)
A．箭矢抛出的初速度v0＝5 m/s
B．箭矢从O运动到壶口P的时间为0.5 s
C．箭矢落入壶口P的速度大小为5 m/s
D．以抛射点O为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则该箭矢运动的轨迹方程为y＝
√
√
√
ABD　[箭矢做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得箭矢从O运动到壶口P的时间为t＝＝ s＝0.5 s，水平方向有x＝v0t，解得箭矢抛出的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s，故A、B正确；箭矢落入壶口P的竖直分速度大小为vy＝gt＝5 m/s，则箭矢落入壶口P的速度大小为v＝＝ m/s＝5 m/s，故C错误；以抛射
点O为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则有x＝v0t，y＝gt2，可得y＝x2＝x2＝，故D正确。]
角度2　多体平抛运动
[典例2]　(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．b和c的运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b的加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
√
√
√
ACD　[b、c抛出时的高度相同，且小于a抛出时的高度，根据h＝gt2得t＝，可知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，A正确，B错误；由于a和b都做平抛运动，只受竖直方向的重力作用，故a和b的加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的两倍，D正确。]
角度3　类平抛运动
[典例3]　(多选)如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为g sin θ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
√
√
√
ABC　[小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a＝＝g sin θ，故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为，根据＝at2，解得t＝，故C正确，小球在沿初速度方向的位移x＝v0t＝，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移y＝，则小球在水平方向的总位移s＝>>v0，故D错误。]
归纳提升：类平抛运动的处理方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
考点2　与斜面和曲面相关的平抛运动
1．常见相关类型
运动情境 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ
tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ
运动情境 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
2．解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
角度1　斜面约束的平抛运动
[典例4]　(一题多变)(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，
重力加速度为g，则(　　)
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
√
√
√
思路点拨：解此题要把握以下关键信息：
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球的两分速度大小相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，则飞行时间相等。
(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
ACD　[落于C点的小球速度方向垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面上，故两小球飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系
知x＝2h＋v2t，可得h＝gt2，故A点距水平
面MN的高度H＝h＋gt2＝gt2，D正确。]
拓展延伸1　在[典例4]中，若落在PO斜面上的小球沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则小球在空中飞行时间变为原来的多少倍？
[提示]　由[典例4]可得t＝，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的。
拓展延伸2　在[拓展延伸1]中，初速度改变后，落在斜面上的速度方向与斜面夹角变化吗？
[提示]　落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。
角度2　曲面约束的平抛运动
[典例5]　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确，B、C、D错误。]
[教师备选资源]
(2025·黑龙江绥化一模)某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸。圆心为O、半径为R的圆弧槽BCD上开有小孔，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，已知∠DOP＝53°，sin 53°＝0.8，
cos 53°＝0.6，重力加速度为g，若游戏正好过关，则弹射器在轨道上的位置M(M点图中未画出)离B点的距离为(　　)
A．R B．R
C．R D．R
√
C　[设MB＝y，把P点的速度分解可得tan 53°＝＝，把弹丸的平抛运动分解得R＋R cos 53°＝v0t，y＋R sin 53°＝gt2，解得y＝R，故选C。]
考点3　平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出与临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例6]　2025年6月15日晚，2025世界沙滩排球职业巡回赛(中国青岛站)在石老人海水浴场圆满落下帷幕，中国队组合问鼎冠军。如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻
力)，重力加速度为g，则排球(　　)
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网而不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
√
C　[根据平抛运动的两个分运动规律x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0min＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝，故B
错误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝＝，故D错误。]
考点4 斜抛运动
1．斜抛运动的射高和射程
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
2．解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[典例7]　(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向
分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，
下列图像可能正确的是(　　)
√
√
BC　[由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt，C正确；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B正确，故选BC。]
[典例8]　如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从A点垂直于缓冲坡以速度大小v0为20 m/s起跳，最后落在缓冲坡上的B点，轨迹上的C点(图中未画出)与A点等高，已知缓冲坡倾角θ＝37°，不计空气阻力。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)运动员从A点到C点过程中速度变化量的大小；
(2)缓冲坡上A、B两点间的距离；
(3)运动员落在B点的速度方向与斜面夹角的正切值。
[解析]　(1)运动员竖直分速度大小vy＝v0cos 37°＝16 m/s
从A点到C点过程中速度变化量大小为Δv＝2vy＝32 m/s。
(2)方法一　设沿缓冲坡方向为x轴正方向，起跳方向为y轴正方向。y轴正方向加速度大小为ay＝g cos 37°＝8 m/s2
运动员从A到B所用时间为t＝2×＝5 s
x轴正方向加速度大小为ax＝g sin 37°＝6 m/s2
A、B两点间的距离为L＝axt2＝75 m。
方法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
由图可知cos 37°＝
解得t＝5 s
A、B两点间的距离为合位移
L＝v0t tan 37°＝75 m。
(3)设运动员落在B点时速度与斜面夹角为β，沿斜面方向的速度
v∥＝axt＝30 m/s
则tan β＝＝。
[答案]　(1)32 m/s　(2)75 m　(3)
课时数智作业(十九)　抛体运动
题号
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说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
1．(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b(　　)
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
√
11
A　[不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知ta题号
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2．(2025·广东深圳一模)如图所示，在某军事演习区正上方距离地面4 000 m高空悬停着上万只无人机，形成无人机群(可视为质点)，每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度v0＝10 m/s抛出炸弹，在距离地面2 000 m处设置面积为3 000 m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取g＝
10 m/s2，π≈3，则拦截炸弹比约为(　　)
A．0.5 B．0.25
C．0.05 D．0.025
√
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D　[平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知h＝gt2＝2 000 m，x＝v0t＝200 m，以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为＝＝0.025，故选D。]
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3．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
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D　[
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]
4．(2025·河南郑州一模)小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H＝2.25 m，已知墙壁的厚度d＝0.35 m。小明在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围约为(　　)
A．v>2 m/s B．v>2.5 m/s
C．2 m/s√
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D　[小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt1，h＝，代入解得vmax＝7 m/s，t1＝0.2 s，恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝，解得vmin＝2.5 m/s，t2＝0.7 s，故v的取值范围是2.5 m/s题号
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5．据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为(　　)
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A． B．
C． D．
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D　[战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝＝，D正确。]
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6．(2025·辽宁大连一模)如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为α，在O点击中网球，球以v0＝20 m/s的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin α＝0.6，下列说法正确的是(　　)
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A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12 m/s
B．网球由O点运动到P点的时间为1.4 s
C．O、P两点间的水平距离为16.6 m
D．O、P两点间的高度差为11.8 m
√
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A　[网球的逆向运动(由P点到O点)为平抛运动，对O点速度进行分解可得vP＝v0sin α＝12 m/s，故A正确；在竖直方向上有gt＝v0cos α，解得t＝1.6 s，故B错误；O、P两点间的水平距离x＝vP t＝19.2 m，故C错误；O、P两点间的高度差h＝gt2＝12.8 m，故D错误。]
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7．如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。下列关于两小球的说法正确的是(　　)
A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B．落在b点的小球在飞行过程中速度变化快
C．落在a点的小球飞行过程中速度变化量大
D．小球落在a点和b点时的速度方向不同
√
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A　[设斜面倾角为θ，则tan θ＝＝＝，可得t＝，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确；两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误；根据题意知，两小球下落的竖直高度ha题号
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8．(2025·广东汕头一模)凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，多粒种子同时以相同速率v0向不同方向弹射，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力。下列说法正确的是(　　)
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11
A．沿v1方向弹出的种子，经过最高点P时速度为零
B．若沿v1方向弹出的种子与沿v2方向水平弹出的种子运动轨迹相交于Q点，则两颗种子在Q点相撞
C．同一高度沿不同方向弹出的种子到达地面时的速度大小相等
D．位置越高的果实，弹射出的种子落地点离凤仙花越远
√
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C　[斜上抛运动在最高点速度方向水平，为初速度在水平方向的分量，不是零，故A错误；同时沿v1方向弹出的种子与沿v2方向水平弹出的种子运动轨迹相交于Q点，沿v1方向弹出的种子用时长，二者不能相撞，故B错误；无论初速度v0方向如何，由动能定理，有mgh ＝，落地速度均为v ＝，故C正确；位置越高的果实，弹射出的种子落地时间越长，但初速度方向未知，所以落地点离凤仙花的距离不一定越远，故D错误。]
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9．(多选)(2025·黑龙江哈六中一模)如图所示，在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点(图中未画出)，初速度分别为vA和vB，并且vA＞vB，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则(　　)
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A．两个小球的运动时间一定不同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同
√
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√
AD　[根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，竖直方向的分速度为vy＝，又vy＝gt，则t＝，由于vA＞vB，则tA＞tB，故A正确；根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，落到斜面上的速度vt＝，由于vA＞vB，则vtA＞vtB，动能Ek＝mv2，则两个小球落到斜面上时的动能不同，故B错误；根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，设抛出点与落到斜面上的点的连线与水平方向的
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11
夹角为α，则tan α＝＝②，联立①②得tan α＝，可知AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同，AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角不同，故C错误，D正确。]
题号
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10．(2025·辽宁本溪一模)如图所示，一球门高1.8 m，宽3 m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0 m处的O点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点P。足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的，平行CD的速度分量不变，落在Q点。已知BO垂直AB，球的质量为0.4 kg，重力加
速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确
的是(　　)
题号
1
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A．球在O点的初速度大小为 m/s
B．在Q点落地时的速度大小为2.5 m/s
C．落地点Q与门线AB的距离为1.5 m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
√
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C　[从O到P点，根据平抛运动的逆向思维有＝2gh，h＝gt2，x＝ m＝vxt，联立解得vx＝ m/s，vy＝6 m/s，则足球在O点的初速度大小为v0＝＝ m/s，故A错误；足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的倍，平行CD的速度分量不变，设碰时速度与CD夹角为θ，根据几何关系tan θ＝
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＝，则有v⊥＝vx sin θ＝ m/s，v∥＝vx cos θ＝ m/s，v′x＝＝ m/s，落地竖直方向有h＝gt2，vy＝gt，则足球在Q点落地时的速度大小为v′＝＝ m/s，故B错误；反弹后速度垂直CD的分速度大小为2.5 m/s，下落时间为0.6 s，则落地点Q与门线AB的距离为x⊥＝v⊥t＝2.5×0.6 m＝1.5 m，故C正确；竖直方向根据对称性可知，足球由O运动到P点的时间等于由P运动到Q点的时间，故D错误。]
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11．(12分)如图甲所示，竖直墙面悬挂一个直径d＝0.4 m的飞镖盘(厚度不计)，盘的下边缘离地h＝0.8 m，小明同学在距离墙面L＝
2 m的水平地面上方H＝1.6 m处将飞镖水平抛出，不计空气阻力，g＝10 m/s2。
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(1)若要飞镖射中飞镖盘，投掷的最小速度大小；
(2)若某次飞镖入靶(或入墙)时情况如图乙所示，求飞镖抛出时的初速度大小。
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[解析]　(1)若要飞镖射中飞镖盘，当飞镖射中飞镖盘的下端时，投掷的速度最小，根据平抛运动规律，竖直方向有H－h＝gt2
解得t＝ s＝0.4 s
水平方向有L＝vmint
解得投掷的最小速度大小为vmin＝ m/s＝5 m/s。
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(2)若某次飞镖入靶(或入墙)时情况如题图乙所示，设飞镖抛出时的初速度大小为v0，则有L＝v0t′
又tan θ＝＝
联立解得v0＝ m/s。
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[答案]　(1)5 m/s　(2) m/s
谢 谢 ！课时数智作业(十九)　抛体运动
说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
1．(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b(　　)
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
2．(2025·广东深圳一模)如图所示，在某军事演习区正上方距离地面4 000 m高空悬停着上万只无人机，形成无人机群(可视为质点)，每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度v0＝10 m/s抛出炸弹，在距离地面2 000 m处设置面积为3 000 m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取g＝10 m/s2，π≈3，则拦截炸弹比约为(　　)
A．0.5 B．0.25
C．0.05 D．0.025
3．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
4．(2025·河南郑州一模)小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H＝2.25 m，已知墙壁的厚度d＝0.35 m。小明在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围约为(　　)
A．v>2 m/s B．v>2.5 m/s
C．2 m/s5．据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·辽宁大连一模)如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为α，在O点击中网球，球以v0＝20 m/s的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin α＝0.6，下列说法正确的是(　　)
A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12 m/s
B．网球由O点运动到P点的时间为1.4 s
C．O、P两点间的水平距离为16.6 m
D．O、P两点间的高度差为11.8 m
7．如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。下列关于两小球的说法正确的是(　　)
A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比
B．落在b点的小球在飞行过程中速度变化快
C．落在a点的小球飞行过程中速度变化量大
D．小球落在a点和b点时的速度方向不同
8．(2025·广东汕头一模)凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，多粒种子同时以相同速率v0向不同方向弹射，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．沿v1方向弹出的种子，经过最高点P时速度为零
B．若沿v1方向弹出的种子与沿v2方向水平弹出的种子运动轨迹相交于Q点，则两颗种子在Q点相撞
C．同一高度沿不同方向弹出的种子到达地面时的速度大小相等
D．位置越高的果实，弹射出的种子落地点离凤仙花越远
9．(多选)(2025·黑龙江哈六中一模)如图所示，在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点(图中未画出)，初速度分别为vA和vB，并且vA＞vB，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则(　　)
A．两个小球的运动时间一定不同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同
10．(2025·辽宁本溪一模)如图所示，一球门高1.8 m，宽3 m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0 m处的O点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点P。足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的，平行CD的速度分量不变，落在Q点。已知BO垂直AB，球的质量为0.4 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．球在O点的初速度大小为 m/s
B．在Q点落地时的速度大小为2.5 m/s
C．落地点Q与门线AB的距离为1.5 m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
11．(12分)如图甲所示，竖直墙面悬挂一个直径d＝0.4 m的飞镖盘(厚度不计)，盘的下边缘离地h＝0.8 m，小明同学在距离墙面L＝2 m的水平地面上方H＝1.6 m处将飞镖水平抛出，不计空气阻力，g＝10 m/s2。
(1)若要飞镖射中飞镖盘，投掷的最小速度大小；
(2)若某次飞镖入靶(或入墙)时情况如图乙所示，求飞镖抛出时的初速度大小。
课时数智作业(十九)
1．A　[不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t2，可知ta＜tb，D错误；最高点的速度等于水平方向的速度vx，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。]
2．D　[平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知hgt22 000 m，xv0t200 m，以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为0.025，故选D。]
3．D　[ ]
4．D　[小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有Lvmaxt1，h，代入解得vmax7 m/s，t10.2 s，恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，则有L＋dvmint2，H＋h，解得vmin2.5 m/s，t20.7 s，故v的取值范围是2.5 m/s＜v＜7 m/s，故选D。]
5．D　[战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx，竖直分速度大小vy，合速度大小为v，D正确。]
6．A　[网球的逆向运动(由P点到O点)为平抛运动，对O点速度进行分解可得vPv0sin α12 m/s，故A正确；在竖直方向上有gtv0cos α，解得t1.6 s，故B错误；O、P两点间的水平距离xvPt19.2 m，故C错误；O、P两点间的高度差hgt212.8 m，故D错误。]
7．A　[设斜面倾角为θ，则tan θ，可得t，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确；两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误；根据题意知，两小球下落的竖直高度ha＜hb，根据hgt2可知ta＜tb，根据Δvgt可知落在a点小球的速度变化量小于落在b点的小球的速度变化量，故C错误；设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α2tan θ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。]
8．C　[斜上抛运动在最高点速度方向水平，为初速度在水平方向的分量，不是零，故A错误；同时沿v1方向弹出的种子与沿v2方向水平弹出的种子运动轨迹相交于Q点，沿v1方向弹出的种子用时长，二者不能相撞，故B错误；无论初速度v0方向如何，由动能定理，有mgh ，落地速度均为v ，故C正确；位置越高的果实，弹射出的种子落地时间越长，但初速度方向未知，所以落地点离凤仙花的距离不一定越远，故D错误。]
9．AD　[根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，竖直方向的分速度为vy，又vygt，则t，由于vA＞vB，则tA＞tB，故A正确；根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，落到斜面上的速度vt，由于vA＞vB，则vtA＞vtB，动能Ekmv2，则两个小球落到斜面上时的动能不同，故B错误；根据平行四边形定则和几何关系，以速度v0平抛垂直落到斜面上，设抛出点与落到斜面上的点的连线与水平方向的夹角为α，则tan α②，联立①②得tan α，可知AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同，AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角不同，故C错误，D正确。]
10．C　[从O到P点，根据平抛运动的逆向思维有2gh，hgt2，x mvxt，联立解得vx m/s，vy6 m/s，则足球在O点的初速度大小为v0 m/s，故A错误；足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的倍，平行CD的速度分量不变，设碰时速度与CD夹角为θ，根据几何关系tan θ，则有v⊥vxsin θ m/s，v∥vxcos θ m/s，v'x m/s，落地竖直方向有hgt2，vygt，则足球在Q点落地时的速度大小为v' m/s，故B错误；反弹后速度垂直CD的分速度大小为2.5 m/s，下落时间为0.6 s，则落地点Q与门线AB的距离为x⊥v⊥t2.5×0.6 m1.5 m，故C正确；竖直方向根据对称性可知，足球由O运动到P点的时间等于由P运动到Q点的时间，故D错误。]
11．解析：(1)若要飞镖射中飞镖盘，当飞镖射中飞镖盘的下端时，投掷的速度最小，根据平抛运动规律，竖直方向有H－hgt2
解得t s0.4 s
水平方向有Lvmint
解得投掷的最小速度大小为vmin m/s5 m/s。
(2)若某次飞镖入靶(或入墙)时情况如题图乙所示，设飞镖抛出时的初速度大小为v0，则有Lv0t'
又tan θ
联立解得v0 m/s。
答案：(1)5 m/s　(2) m/s
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