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第22课时　圆周运动的临界问题(进阶课)
[学习目标]　1．会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。2．掌握分析判断临界问题的方法。
水平面内圆周运动的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力提供向心力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界状态和一个恰不向外滑动的临界状态，则临界条件分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
[典例1]　(多选)(2025·四川成都高三诊断)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
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[典例2]　(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
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竖直平面内圆周运动的临界问题
1．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力示意图
过最高点的临界条件 由mg＝得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0
讨论 分析 (1)过最高点时，v，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
[典例3]　如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。小球A、B的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
[典例4]　(多选)(2025·山东临沂月考)如图甲、乙所示，分别用长度均为1 m的轻质细绳和轻质细杆的一端连接质量均为1 kg的小球A、B，另一端分别固定在O、O′点，现让A、B两小球分别绕O、O′点在竖直平面内做圆周运动，小球均可视为质点，不计空气阻力和与转轴的摩擦阻力，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．A球做圆周运动在最高点的最小速度为 m/s
B．B球做圆周运动在最高点的最小速度为 m/s
C．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶5
D．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶
[典例5]　(2025·河南开封市高三联考)如图甲所示，一质量m＝4 kg的小球(可视为质点)以v0＝4 m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径的倒数的关系图像如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．a＝2.5
B．b＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.8 m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64 cm
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斜面上圆周运动的临界问题
1．在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
2．在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。
[典例6]　如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切阻力，则(　　)
A．在轻杆转过180°的过程中，角速度逐渐减小
B．只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动
C．轻杆受到转轴的力的大小始终为2mg sin θ
D．轻杆受到转轴的力的方向始终在变化
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[典例7]　如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角θ＝30°，重力加速度大小为g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B．圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C．物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D．物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和转盘圆心的连线
第22课时　圆周运动的临界问题(进阶课)
进阶1
典例1　AC　[小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ffmω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffaml，当Ffakmg时，kmgml，ωa，则ω是a开始滑动的临界角速度；对木块b有Ffbm·2l，当Ffbkmg时，kmgm·2l，ωb，则ω是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffamω2l，Ffbmω2·2l，Ffa＜Ffb，选项B错误；ω，a没有滑动，则Ffa'mω2lkmg，选项D错误。]
典例2　AC　[小球在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上所受的合力为零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a绳对小球的拉力在竖直方向上的分力与小球的重力平衡，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上小球受力平衡得，Fasin θmg，解得Fa，可知a绳的张力与角速度ω无关，故B错误；当b绳弹力恰好为零时，有l，解得ω0，可知当角速度ω＞时，b绳将出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。]
进阶2
典例3　B　[对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAgmA，代入数据解得FA28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下，为28 N，设B球对管的力为FB'，由管的受力平衡可得FB'＋28 N＋m管g0，解得FB'－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球，由牛顿第二定律有FB＋mBgmB，解得vB4 m/s，故选B。]
典例4　ACD　[A球与细绳相连，则恰好能到最高点时有mgm，解得A球做圆周运动到最高点的最小速度为v1 m/s，故A正确；B球与杆相连，做圆周运动到最高点的最小速度为v20，故B错误；某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为FA2 N、FB5 N，根据牛顿第二定律，A球在最高点时有FA＋mgm，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v32 m/s；对B球有两种情况，当杆对B球的作用力为支持力时，有mg－FBm，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v4 m/s；当杆对B球的作用力为拉力时，有mg＋FBm，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v5 m/s，则小球A、B在最高点的速度大小之比为v3∶v42∶5或v3∶v52∶，故C、D正确。]
典例5　C　[从A到B，根据动能定理可得－mgR，在B点，根据牛顿第二定律得F，联立解得F－80(N)，结合题图乙可知b80 N，a m－1 m－1，故A、B错误；小球恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得mgm，从最低点到最高点，根据动能定理可得－mg·2R，联立解得R0.32 m，故D错误；离开最高点后做平抛运动，则有2Rgt2，x'vC't，从A到C由动能定理得－mg·2R，且R＜0.32 m，联立解得x'，当1.6－4R4R时，x'取最大值，解得R0.2 m，可得最大水平距离xmax'0.8 m，故C正确。]
进阶3
典例6　C　[小球a、b质量均为m，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当系统有初始角速度时，在转动过程中，系统的重力势能不变，那么系统的动能也不变，因此系统始终匀速转动，故A、B错误；选两球及杆作为系统，根据牛顿第二定律，则有F－2mgsin θman＋m(－an)，解得F2mgsin θ，轻杆受到转轴的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误。]
典例7　C　[物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°ml，解得ω15 rad/s，故B错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有 mgsin 30° ml，解得ω210 rad/s＞5 rad/s，可知若物块与圆盘不发生相对滑动，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，故A错误，C正确；由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力平行盘面向下的分力与摩擦力的合力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和转盘圆心的连线，故D错误。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第22课时　圆周运动的临界问题(进阶课)
[学习目标]　1．会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。2．掌握分析判断临界问题的方法。
进阶1 水平面内圆周运动的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力提供向心力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界状态和一个恰不向外滑动的临界状态，则临界条件分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
[典例1]　(多选)(2025·四川成都高三诊断)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
√
√
AC　[小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffa＝l，当Ffa＝kmg时，kmg＝l，ωa＝，则ω＝是a开始滑动的临界角速度；对木块b有Ffb＝·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝·2l，ωb＝，则
ω＝是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa[典例2]　(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
√
√
AC　[小球在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上所受的合力为零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a绳对小球的拉力在竖直方向上的分力与小球的重力平衡，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上小球受力平衡得，Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的张力与角速度ω无关，故B错误；当b绳弹力恰好为零时，有＝l，解得ω0＝，可知当角速度ω>时，b绳将出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。]
[教师备选资源]
如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝
2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆
周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能
是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．2 rad/s B．2.5 rad/s
C．3.5 rad/s D．4 rad/s
√
B　[当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mg tan 30°＝r，又有r＝L sin 30°，解得ω1＝ rad/s≈2.4 rad/s；当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示，由牛顿第二定律得mg tan 45°＝r，解得ω2＝ rad/s≈3.2 rad/s，故当2.4 rad/s＜ω
＜3.2 rad/s时，两绳始终有张力，故B正
确，A、C、D错误。]
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
进阶2 竖直平面内圆周运动的临界问题
1．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力示意图
绳模型 杆模型
过最高点的临界条件 由mg＝ 得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0
绳模型 杆模型
讨论 分析 (1)过最高点时，v，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；
(2)当0(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
[典例3]　如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。小球A、B的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，
则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
√
B　[对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下，为28 N，设B球对管的力为FB′，由管的受力平衡可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球，由牛顿第二定律有FB＋mBg＝，解得vB＝4 m/s，故选B。]
[典例4]　(多选)(2025·山东临沂月考)如图甲、乙所示，分别用长度均为1 m的轻质细绳和轻质细杆的一端连接质量均为1 kg的小球A、B，另一端分别固定在O、O′点，现让A、B两小球分别绕O、O′点在竖直平面内做圆周运动，小球均可视为质点，不计空气阻力和与转轴的摩擦阻力，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．A球做圆周运动在最高点的最小速度为 m/s
B．B球做圆周运动在最高点的最小速度为 m/s
C．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶5
D．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶
√
√
√
ACD　[A球与细绳相连，则恰好能到最高点时有mg＝，解得A球做圆周运动到最高点的最小速度为v1＝＝ m/s，故A正确；B球与杆相连，做圆周运动到最高点的最小速度为v2＝0，故B错误；某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为FA＝2 N、FB＝5 N，根据牛顿第二定律，A球在最高点时有FA＋mg＝，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v3＝2 m/s；对B球有两
种情况，当杆对B球的作用力为支持力时，有mg－FB＝，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v4＝ m/s；当杆对B球的作用力为拉力时，有mg＋FB＝，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v5＝ m/s，则小球A、B在最高点的速度大小之比为v3∶v4＝2∶5或v3∶v5＝2∶，故C、D正确。]
[典例5]　(2025·河南开封市高三联考)如图甲所示，一质量m＝4 kg的小球(可视为质点)以v0＝4 m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径的倒数的关系图像如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．a＝2.5
B．b＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.8 m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64 cm
√
C　[从A到B，根据动能定理可得－mgR＝，在B点，根据牛顿第二定律得F＝，联立解得F＝－80(N)，结合题图乙可知b＝80 N，a＝ m-1＝ m-1，故A、B错误；小球恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得mg＝，从最低点到最高点，根据动能定理可得－mg·2R＝，联立解得R
＝0.32 m，故D错误；离开最高点后做平抛运动，则有2R＝gt2，x′＝vC′t，从A到C由动能定理得－mg·2R＝，且R<0.32 m，联立解得x′＝，当1.6－4R＝4R时，x′取最大值，解得R＝0.2 m，可得最大水平距离xmax′＝0.8 m，故C正确。]
1．在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。
进阶3 斜面上圆周运动的临界问题
2．在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。
[典例6]　如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切阻力，则(　　)
A．在轻杆转过180°的过程中，角速
度逐渐减小
B．只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动
C．轻杆受到转轴的力的大小始终为2mg sin θ
D．轻杆受到转轴的力的方向始终在变化
√
C　[小球a、b质量均为m，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当系统有初始角速度时，在转动过程中，系统的重力势能不变，那么系统的动能也不变，因此系统始终匀速转动，故A、B错误；选两球及杆作为系统，根据牛顿第二定律，则有F－2mg sin θ＝man＋m(－an)，解得F＝2mg sin θ，轻杆受到转轴的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误。]
[典例7]　如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角θ＝30°，重力加速度大小为g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B．圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C．物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D．物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和转盘圆心的连线
√
C　[物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmg cos 30°－mg sin 30°＝l，解得ω1＝5 rad/s，故B错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有 mg sin 30° ＝l，解得ω2＝10 rad/s>5 rad/s，可知若物块与圆盘不发生相对滑动，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，故A错误，C正确；由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力平行盘面向下的分力与摩擦力的合力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和转盘圆心的连线，故D错误。]
[教师备选资源]
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面且过圆盘圆心的固定转轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　　)
A． rad/s B． rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
√
C　[当物体随圆盘转到最低点恰好要滑动时，圆盘的角速度最大，其受力如图所示(其中O为转轴位置)，由沿盘面的合力提供向心力有μmg cos 30°－mg sin 30°＝ ， 得ωmax＝＝1.0 rad/s，故选C。]
课时数智作业(二十二)　圆周运动的临界问题(进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共52分。
1．(2025·辽宁抚顺一模)如图所示，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为M＝0.2 kg的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根0.1 m长的轻质细线与质量为m＝0.1 kg的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，g取10 m/s2。要保证M、m与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为(　　)
A．2 rad/s B．2 rad/s
C．2 rad/s D．2 rad/s
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[当物块将要滑动时，对m有T＋μmg＝mrω2，对M有T＝μMg，解得ω＝2 rad/s，故选A。]
2．(2025·福建三明市模拟)如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的，如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，恰好不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，不受摩擦力作用，即汽车只受重力作用，则有mg＝m，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的，即支持力为mg，则有mg－mg＝m，联立解得v′＝20 m/s，故B正确，A、C、D错误。]
题号
1
3
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9
3．(多选)(2025·广东深圳一模)一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图2所示，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．细线的长度为1 m
B．细线的长度为0.5 m
C．小球的质量为2 kg
D．小球的质量为3 kg
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
BC　[设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为θ，当ω＝0时，绳子的张力T＝mg cos θ，当圆锥对小球的支持力为0时，由题图2可知，角速度ω′2＝25(rad/s)2，T′＝25 N此时T′cos θ＝mg，T′sin θ＝mL sin θ·
ω′2，代入数据解得m＝2 kg，L＝0.5 m，故选BC。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·江西宜春期中)有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为2l和l的细绳，细绳另一端分别系有质量均为m的小球A和B，与A球相连的绳子系得更高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
A．B球比A球先离开桌面
B．两球同时离开桌面
C．将与A球连接的绳子更换为3l长，绳子在转轴上高度不变，则A球将后离开桌面
D．将与A球连接的绳子更换为3l长，绳子在转轴上高度不变，A球两次离开桌面时的转速相同
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[小球离开桌面时，设绳子与竖直方向夹角为θ，则mg tan θ＝mω2R，又tan θ＝，联立可得ω2＝，A球绳子悬点更高，故A球先离开桌面，离开桌面时的角速度与绳长无关，则离开桌面时的转速与绳长无关，故A、B、C错误，D正确。]
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
5．(2025·湖南长沙一模)如图所示，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
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2
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8
7
9
A．小球在B点受到的合力大小为2mg
B．小球在C点受到的合力大小为2mg
C．从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mg
D．从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg
√
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
C　[对小球从A到B根据动能定理有mgR＝，小球运动到水平位置B时，竖直方向有Fy＝mg，水平方向有Fx＝，所以小球在B点受到的合力大小为F合＝＝mg，故A错误；对小球从A到C根据动能定理有mg×2R＝，根据牛顿第二定律有F＝，解得F＝4mg，此时杆的弹力最大，则有F弹－mg＝，解
题号
1
3
5
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9
得F弹＝5mg，故B错误，C正确；小球从A运动到C的过程中，在A点杆对小球的力沿杆向外，B点杆对小球的力沿杆向内，A、B之间某处，杆对小球的弹力最小为零，故D错误。]
题号
1
3
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2
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6
8
7
9
6．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．ωmax＝ rad/s
B．ωmax＝ rad/s
C．无人机运动到B点时，在A点
释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点
释放的物品尚未落地
√
题号
1
3
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2
4
6
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9
√
BC　[物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰不落在目标区域外时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xm＝＝4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xm＝vmt，竖直方向上有H＝gt2，联立解得物品的最大初速度(无人机的最大线速度)为vm＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝＝ rad/s，A错误，B正确；由A、B项分析可知，物品释放后在空中运动的时
题号
1
3
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2
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6
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7
9
间为t＝2 s，该过程无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝ rad< rad，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。
题号
1
3
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2
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6
8
7
9
]
7．(多选)(2025·内蒙古通辽一模)如图所示，质量为m、可视为质点的小球在两根等长轻绳的作用下，恰能在竖直面内的轨道1上做半径为r的圆周运动，当小球运动到最低点时剪断右侧轻绳，随后小球恰能在水平面内的轨道2上做半径为R的圆周运动。不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
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6
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7
9
A．小球在轨道1上做圆周运动的最大速度为
B．小球在轨道2上做圆周运动的角速度为2
C．小球在轨道2上运动时，轻绳中的张力大小为mg
D．轻绳断裂前瞬间绳中张力大小为2mg
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
AC　[设小球在最高点时的速度大小为v1，在最低点时的速度大小为v2，则有mg＝，又2mgr＝，解得v2＝，故A正确；小球在水平面内做圆周运动时，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有mg tan θ＝，又tan θ＝，解得ω2＝，故B错误；设小球在轨道2上运动时，轻绳中的张力大小为T1，则有v2＝Rω2，cos θ＝，解得T1＝mg，故C正确；设轻绳断裂前绳中的张力大小为T2，则有2T2cos θ－mg＝，解得T2＝3mg，故D错误。]
题号
1
3
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8
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9
8．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝
4 kg，mB＝1 kg，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1 m，rB＝0.2 m，中间用水平细线相连，A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，重力加速度g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　)
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
A．A先达到最大静摩擦力
B．当ω1＝2 rad/s，细线开始出现张力
C．当ω1＝ rad/s，A、B两物体出现相对圆盘滑动
D．当ω1＝5 rad/s，A、B两物体出现相对圆盘滑动
√
题号
1
3
5
2
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9
D　[A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg＝rA，解得ω0A＝2 rad/s，同理可得，B达到最大静摩擦力时的临界角速度为ω0B＝ rad/s，则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到最大静摩擦力，选项A错误；当B的摩擦力达到最大，转速再增加时，细线出现张力，即当ω1＝ rad/s时，细线开始出现张力，选项B错误；当A、B两物体出现相对圆盘滑动时，B受到的摩擦力方向背离圆心，A受到的摩擦力方向指向圆心，则对A有FT＋μmAg＝rA，对B有FT－μmBg＝ rB ，解得ω2＝5 rad/s，选项C错误，D正确。]
题号
1
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9
9．(12分)如图所示，一段水平的公路由两直道AB、CD以及圆弧弯道BC组成。一辆汽车在AB段上以v0＝72 km/h的速率匀速行驶，接近弯道时以大小为a1＝4 m/s2的加速度匀减速刹车，然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入CD后以a2＝2 m/s2的加速度加速到原速率v0继续行驶。已知弯道的半径R＝24 m。弯道圆弧长度s＝60 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的0.6倍，重力加速度g取10 m/s2，求：
题号
1
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(1)汽车开始刹车时距B的距离；
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用的时间。
题号
1
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[解析]　(1)汽车以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道，则此时最大静摩擦力提供向心力，已知弯道的半径R＝24 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的0.6倍，则在BC段根据牛顿第二定律有0.6mg＝m
解得汽车通过圆弧弯道的速率为v＝12 m/s
对AB段刹车过程，根据速度—位移公式有
＝－2a1x
解得开始刹车时汽车距B的距离为x＝32 m。
题号
1
3
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2
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(2)在AB段，汽车从刹车开始做匀减速直线运动，根据速度—时间公式有v＝v0－a1t1
解得汽车从刹车开始至B所用时间t1＝2 s
在BC段，汽车做匀速圆周运动，已知圆弧弯道长度s＝60 m
根据圆周运动线速度的定义式可知v＝
解得汽车通过圆弧弯道的时间t2＝5 s
在CD段，汽车做匀加速直线运动加速到原速率，根据速度—时间公
题号
1
3
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7
9
式可知v0＝v＋a2t3
解得汽车从C点至恢复到原速率的时间t3＝4 s
故汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间为t＝t1＋t2＋t3＝11 s。
题号
1
3
5
2
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[答案]　(1)32 m　(2)11 s
谢 谢 ！课时数智作业(二十二)　圆周运动的临界问题(进阶课)
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共52分。
1．(2025·辽宁抚顺一模)如图所示，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为M＝0.2 kg的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根0.1 m长的轻质细线与质量为m＝0.1 kg的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，g取10 m/s2。要保证M、m与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为(　　)
A．2 rad/s B．2 rad/s
C．2 rad/s D．2 rad/s
2．(2025·福建三明市模拟)如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的，如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，恰好不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
3．(多选)(2025·广东深圳一模)一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图2所示，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．细线的长度为1 m B．细线的长度为0.5 m
C．小球的质量为2 kg D．小球的质量为3 kg
4．(2025·江西宜春期中)有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为2l和l的细绳，细绳另一端分别系有质量均为m的小球A和B，与A球相连的绳子系得更高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是(　　)
A．B球比A球先离开桌面
B．两球同时离开桌面
C．将与A球连接的绳子更换为3l长，绳子在转轴上高度不变，则A球将后离开桌面
D．将与A球连接的绳子更换为3l长，绳子在转轴上高度不变，A球两次离开桌面时的转速相同
5．(2025·湖南长沙一模)如图所示，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球在B点受到的合力大小为2mg
B．小球在C点受到的合力大小为2mg
C．从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mg
D．从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg
6．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝。下列说法正确的是(　　)
A．ωmax＝ rad/s
B．ωmax＝ rad/s
C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
7．(多选)(2025·内蒙古通辽一模)如图所示，质量为m、可视为质点的小球在两根等长轻绳的作用下，恰能在竖直面内的轨道1上做半径为r的圆周运动，当小球运动到最低点时剪断右侧轻绳，随后小球恰能在水平面内的轨道2上做半径为R的圆周运动。不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球在轨道1上做圆周运动的最大速度为
B．小球在轨道2上做圆周运动的角速度为2
C．小球在轨道2上运动时，轻绳中的张力大小为mg
D．轻绳断裂前瞬间绳中张力大小为2mg
8．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝4 kg，mB＝1 kg，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1 m，rB＝0.2 m，中间用水平细线相连，A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，重力加速度g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　)
A．A先达到最大静摩擦力
B．当ω1＝2 rad/s，细线开始出现张力
C．当ω1＝ rad/s，A、B两物体出现相对圆盘滑动
D．当ω1＝5 rad/s，A、B两物体出现相对圆盘滑动
9．(12分)如图所示，一段水平的公路由两直道AB、CD以及圆弧弯道BC组成。一辆汽车在AB段上以v0＝72 km/h的速率匀速行驶，接近弯道时以大小为a1＝4 m/s2的加速度匀减速刹车，然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入CD后以a2＝2 m/s2的加速度加速到原速率v0继续行驶。已知弯道的半径R＝24 m。弯道圆弧长度s＝60 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的0.6倍，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)汽车开始刹车时距B的距离；
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用的时间。
课时数智作业(二十二)
1．A　[当物块将要滑动时，对m有T＋μmgmrω2，对M有TμMg，解得ω2 rad/s，故选A。]
2．B　[如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，不受摩擦力作用，即汽车只受重力作用，则有mgm，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的mg，则有mg－，联立解得v'20 m/s，故B正确，A、C、D错误。]
3．BC　[设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为θ，当ω0时，绳子的张力Tmgcos θ，当圆锥对小球的支持力为0时，由题图2可知，角速度ω'225(rad/s)2，T'25 N此时T'cos θmg，T'sin θmLsin θ·ω'2，代入数据解得m2 kg，L0.5 m，故选BC。]
4．D　[小球离开桌面时，设绳子与竖直方向夹角为θ，则mgtan θmω2R，又tan θ，联立可得ω2，A球绳子悬点更高，故A球先离开桌面，离开桌面时的角速度与绳长无关，则离开桌面时的转速与绳长无关，故A、B、C错误，D正确。]
5．C　[对小球从A到B根据动能定理有mgR，小球运动到水平位置B时，竖直方向有Fymg，水平方向有Fxm，所以小球在B点受到的合力大小为F合mg，故A错误；对小球从A到C根据动能定理有mg×2R，根据牛顿第二定律有Fm，解得F4mg，此时杆的弹力最大，则有F弹－mgm，解得F弹5mg，故B错误，C正确；小球从A运动到C的过程中，在A点杆对小球的力沿杆向外，B点杆对小球的力沿杆向内，A、B之间某处，杆对小球的弹力最小为零，故D错误。]
6．BC　[物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰不落在目标区域外时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xm4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xmvmt，竖直方向上有Hgt2，联立解得物品的最大初速度(无人机的最大线速度)为vm2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax rad/s，A错误，B正确；由A、B项分析可知，物品释放后在空中运动的时间为t2 s，该过程无人机转过的角度θωmaxt rad rad，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。
]
7．AC　[设小球在最高点时的速度大小为v1，在最低点时的速度大小为v2，则有mg，又2mgr，解得v2，故A正确；小球在水平面内做圆周运动时，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有mgtan θmR，又tan θ，解得ω2，故B错误；设小球在轨道2上运动时，轻绳中的张力大小为T1，则有v2Rω2，cos θ，解得T1mg，故C正确；设轻绳断裂前绳中的张力大小为T2，则有2T2cos θ－mg，解得T23mg，故D错误。]
8．D　[A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAgmArA，解得ω0A2 rad/s，同理可得，B达到最大静摩擦力时的临界角速度为ω0B rad/s，则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到最大静摩擦力，选项A错误；当B的摩擦力达到最大，转速再增加时，细线出现张力，即当ω1 rad/s时，细线开始出现张力，选项B错误；当A、B两物体出现相对圆盘滑动时，B受到的摩擦力方向背离圆心，A受到的摩擦力方向指向圆心，则对A有FT＋μmAgmArA，对B有FT－μmBgmBrB，解得ω25 rad/s，选项C错误，D正确。]
9．解析：(1)汽车以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道，则此时最大静摩擦力提供向心力，已知弯道的半径R24 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的0.6倍，则在BC段根据牛顿第二定律有0.6mgm
解得汽车通过圆弧弯道的速率为v12 m/s
对AB段刹车过程，根据速度—位移公式有
v2－－2a1x
解得开始刹车时汽车距B的距离为x32 m。
(2)在AB段，汽车从刹车开始做匀减速直线运动，根据速度—时间公式有vv0－a1t1
解得汽车从刹车开始至B所用时间t12 s
在BC段，汽车做匀速圆周运动，已知圆弧弯道长度s60 m
根据圆周运动线速度的定义式可知v
解得汽车通过圆弧弯道的时间t25 s
在CD段，汽车做匀加速直线运动加速到原速率，根据速度—时间公式可知v0v＋a2t3
解得汽车从C点至恢复到原速率的时间t34 s
故汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间为
tt1＋t2＋t311 s。
答案：(1)32 m　(2)11 s
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