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第23课时　万有引力与宇宙航行
[学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2．掌握计算天体质量和密度的方法。3．掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。4．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
1．开普勒三定律
(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是__，太阳处在椭圆的一个__上。
(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的__相等。
(3)周期定律：所有行星轨道的___的三次方与它的____的二次方的比值都相等。
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成__，与它们之间距离r的二次方成__。
(2)表达式：F＝______，G是比例系数，叫作引力常量，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件：①公式适用于__间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是___间的距离。
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝___ km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的__环绕速度，也是人造地球卫星的__发射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱__引力束缚的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱__引力束缚的最小发射速度。
1．易错易混辨析
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　)
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。 (　　)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　)
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 (　　)
(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　)
2．(粤教版必修第二册习题改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
3．(人教版必修第二册习题改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则这颗行星的第一宇宙速度约为(　　)
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
4．(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A．r＝ B．r＝＋R
C．M＝ D．M＝
开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[典例1]　有关开普勒三大定律，结合地球和火星的轨道示意图，下列说法正确的是(　　)
A．地球在靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变
B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
[典例2]　(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。
3．万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。
　万有引力与重力的关系
[典例3]　(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　)
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
　星体表面上的重力加速度
[典例4]　若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　　)
A．g1＝g
B．g2＝g
C．g1＝g2
D．g1＝g2
　天体质量和密度的估算
[典例5]　(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A． B．
C． D．
归纳总结：通过卫星绕天体运行的周期T和半径r估算天体质量和密度的方法
(1)由G＝mr，得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
[典例6]　航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________归纳总结：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求天体的质量和密度的方法
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
宇宙速度及天体(包括卫星)运行参数的分析与计算
1．第一宇宙速度的理解
(1)推导
方法一：由G＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
(2)理解：第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。
2．物理量随轨道半径变化的规律
[典例7]　(2025·浙江1月选考)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星(　　)
A．在近日点的速度小于地球的速度
B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
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教考衔接·人教版必修第二册P58“练习与应用”T4
地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆(如图)。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。
(1)请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
(2)若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。
[衔接分析]　上述高考真题与教材练习题在情景上高度相似，都考查了开普勒定律、万有引力定律，考查角度相近，与教材不同的是高考考查角度更全面，更侧重地球与彗星相比较，教材练习题更侧重考查对两个规律的理解和直接应用，此高考题可以看作是教材习题的迁移延伸。
[典例8]　长征五号运载火箭搭载通信技术试验卫星二十三号发射成功。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星的加速度大于地球表面的重力加速度
B．同步卫星的运行速度小于7.9 km/s
C．所有同步卫星都必须在赤道平面内运行
D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变
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归纳提升：地球静止卫星的6个“一定”
轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面
周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h
角速度一定 与地球自转的角速度相同
高度一定 卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量)
速率一定 运行速率v＝
绕行方向一定 与地球自转的方向一致
[典例9]　(多选)2025年10月3日，我国天问一号环绕器成功观测到星际天体阿特拉斯(3I/ATLAS)并拍照。天问一号环绕器距离目标天体约3 000万公里，是目前观测该天体距离最近的探测器之一。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r′为太阳与阿特拉斯的距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C．阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D．阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
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规律方法：天体(包括卫星)运行参数分析问题的解题技巧
(1)天体(包括卫星)的运动可简化为质点的运动模型。
(2)灵活运用天体(包括卫星)运动的动力学方程的不同表述形式，G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。
第23课时　万有引力与宇宙航行
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)椭圆　焦点　(2)面积　(3)半长轴　公转周期
2．(1)正比　反比　(2)G　(3)质点　两球心
3．(1)7.9　最大　最小　(2)地球　(3)太阳
技能激活·易错攻坚
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．D　[由MπR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M'8M，又r'2r，由万有引力定律F，F'，可得F'16F，选项D正确。]
3．C　[设地球质量为M，则该行星质量为6M，地球半径为R，则该行星半径为1.5R，由万有引力提供向心力得 G，解得v，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球，v行星2v地球16 km/s，故C正确。]
4．BC　[根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆形轨道上运行的半径，则有2ra＋b＋2R，解得r，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有Gr，解得M，C正确，D错误。]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　B　[根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小将增大，故A错误；开普勒第二定律仅对同一行星适用，故C错误；根据开普勒第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，地球也不例外，故B正确；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星轨道的半长轴比地球的大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D错误。]
典例2　D　[由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知，其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星T地≈14.7年，A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引可知从远日点到近日点，该小行星所受太阳引力的大小逐渐增大，B错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可知当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有引力定律F引和牛顿第二定律F引ma可得a，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。]
考点2
典例3　AC　[在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，F3＜G，故D错误。]
典例4　C　[对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得mg1，解得g1mg，因此g1g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即m1g，又因为m地ρV，代入得g，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2g，B错误；由以上各式联立可得，C正确，D错误。]
典例5　D　[万有引力提供向心力：(R＋h)，密度公式：ρ，球体体积公式：VπR3，已知条件：h∶Rk，联立解得ρ，D正确。]
典例6　解析：(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有hg月t2
解得g月。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有Gmg月
解得M。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积VπR3
根据密度公式可知ρ
解得ρ。
答案：(1)
考点3
典例7　C　[地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有G，哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，所以哈雷彗星的速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据S1＞S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；根据牛顿第二定律有Gma，解得a，则哈雷彗星在近日点的加速度a1与地球的加速度a2比值为，D错误。]
典例8　B　[根据Gmg，解得g，同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故A错误；地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据G，解得v，同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的运行速度小于7.9 km/s，故B正确；周期、角速度与地球自转周期、角速度相等的卫星叫同步卫星，可知，同步卫星的轨道不一定在赤道平面，在赤道平面的同步卫星叫静止卫星，故C错误；卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力大小不变，方向改变，即卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力发生变化，故D错误。]
典例9　BCD　[由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有Gma，可得aG，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有，可得vb，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v1可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第23课时　万有引力与宇宙航行
[学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2．掌握计算天体质量和密度的方法。3．掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。4．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
回归教材 · 双基过关
1．开普勒三定律
(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在椭圆的一个____上。
(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等。
(3)周期定律：所有行星轨道的______的三次方与它的_________的二次方的比值都相等。
椭圆
焦点
面积
半长轴
公转周期
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成____，与它们之间距离r的二次方成____。
(2)表达式：F＝，G是比例系数，叫作引力常量，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
正比
反比
(3)适用条件：①公式适用于____间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是______间的距离。
质点
两球心
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝______ km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的____环绕速度，也是人造地球卫星的____发射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。
7.9
最大
最小
地球
太阳
1．易错易混辨析
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　)
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。 (　　)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　)
√
×
×
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 (　　)
(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　)
√
√
2．(粤教版必修第二册习题改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
√
D　[由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。]
3．(人教版必修第二册习题改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则这颗行星的第一宇宙速度约为(　　)
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
√
C　[设地球质量为M，则该行星质量为6M，地球半径为R，则该行星半径为1.5R，由万有引力提供向心力得G＝，解得v＝，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s, 故C正确。]
4．(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A．r＝ B．r＝＋R
C．M＝ D．M＝
√
√
BC　[根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆形轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。]
考点深研 · 题型突破
考点1　开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位
置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近
日点的速度最大，远日点的速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[典例1]　有关开普勒三大定律，结合地球和火星的轨道示意图，下列说法正确的是(　　)
A．地球在靠近太阳的过程中，运行速度
的大小不变
B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
√
B　[根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小将增大，故A错误；开普勒第二定律仅对同一行星适用，故C错误；根据开普勒第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，地球也不例外，故B正确；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星轨道的半长轴比地球的大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D错误。]
[典例2]　(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
√
D　[由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知＝，其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星＝T地≈14.7年，A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引＝可知从
远日点到近日点，该小行星所受太阳引力的大小逐渐增大，B错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可知当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有引力定律F引＝和牛顿第二定律F引＝ma可得a＝，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。]
考点2　万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。
3．万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G 。
角度1　万有引力与重力的关系
[典例3]　(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　　)
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
√
√
AC　[在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1角度2　星体表面上的重力加速度
[典例4]　若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　　)
A．g1＝ g B．g2＝ g
C．g1＝ g2 D．g1＝g2
√
C　[对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面有＝mg，因此g1＝g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m地＝ρV＝，代入得g＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝＝g，B错误；由以上各式联立可得＝，C正确，D错误。]
[教师备选资源]
2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来航天员在月球(视为质量分布均匀的球体)表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体(视为质点)，已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[设月球表面的重力加速度为g0，则有G＝mg0，解得g0＝＝πR3ρ＝，根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间t＝＝2v0×＝，C正确。]
角度3　天体质量和密度的估算
[典例5]　(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为
(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[万有引力提供向心力：＝m(R＋h)，密度公式：ρ＝，球体体积公式：V＝πR3，已知条件：h∶R＝k，联立解得ρ＝，D正确。]
归纳总结：通过卫星绕天体运行的周期T和半径r估算天体质量和密度的方法
(1)由G＝mr，得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
[典例6]　航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
[解析]　(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝g月t2
解得g月＝。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有G＝mg月
解得M＝。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝πR3
根据密度公式可知ρ＝
解得ρ＝。
[答案]　(1)　(2)　(3)
归纳总结：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求天体的质量和密度的方法
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
考点3　宇宙速度及天体(包括卫星)运行参数的分析与计算
1．第一宇宙速度的理解
(1)推导
方法一：由G＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
(2)理解：第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。
2．物理量随轨道半径变化的规律
[典例7]　(2025·浙江1月选考)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星(　　)
A．在近日点的速度小于地球的速度
B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
√
C　[地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有G＝m→v＝，哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，所以哈雷彗星的速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，
根据S1>S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝，则哈雷彗星在近日点的加速度a1与地球的加速度a2比值为＝＝，D错误。]
教考衔接·人教版必修第二册P58“练习与应用”T4
地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆(如图)。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。
(1)请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
(2)若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比。
[衔接分析]　上述高考真题与教材练习题在情景上高度相似，都考查了开普勒定律、万有引力定律，考查角度相近，与教材不同的是高考考查角度更全面，更侧重地球与彗星相比较，教材练习题更侧重考查对两个规律的理解和直接应用，此高考题可以看作是教材习题的迁移延伸。
[典例8]　长征五号运载火箭搭载通信技术试验卫星二十三号发射成功。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星的加速度大于地球表面的重力加速度
B．同步卫星的运行速度小于7.9 km/s
C．所有同步卫星都必须在赤道平面内运行
D．卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力不变
√
B　[根据G＝mg，解得g＝，同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故A错误；地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据G＝m，解得v＝，同步卫星的轨道半径大于地球半径，则同步卫星的运行速度小于7.9 km/s，故B正确；周期、角速度与地球自转周期、
角速度相等的卫星叫同步卫星，可知，同步卫星的轨道不一定在赤道平面，在赤道平面的同步卫星叫静止卫星，故C错误；卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力大小不变，方向改变，即卫星在同步轨道运行过程中受到的万有引力发生变化，故D错误。]
归纳提升：地球静止卫星的6个“一定”
轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面
周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h
角速度一定 与地球自转的角速度相同
高度一定 卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量)
速率一定 运行速率v＝
绕行方向一定 与地球自转的方向一致
[典例9]　(多选)2025年10月3日，我国天问一号环绕器成功观测到星际天体阿特拉斯(3I/ATLAS)并拍照。天问一号环绕器距离目标天体约3 000万公里，是目前观测该天体距离最近的探测器之一。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r′为太阳与阿特拉斯的距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时
间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C．阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D．阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
√
√
√
BCD　[由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有mv2－G＝－G，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上
的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v1＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。]
规律方法：天体(包括卫星)运行参数分析问题的解题技巧
(1)天体(包括卫星)的运动可简化为质点的运动模型。
(2)灵活运用天体(包括卫星)运动的动力学方程的不同表述形式，G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf )2r。
课时数智作业(二十三)　万有引力与宇宙航行
题号
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说明：第1～6题，每小题4分；第7～11题，每小题5分；本试卷共49分。
1．(2025·广西南宁高三上摸底测试)某飞船绕地球做椭圆运动的轨迹如图所示，AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，E、F两点关于椭圆中心对称。比较飞船沿顺时针分别从C运动到E和从D运动到F的两个过程，以下说法正确的是(　　)
11
A．从D运动到F的过程平均速率小
B．两个过程运动时间相等
C．两个过程飞船与地心连线扫过的面积相等
D．飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力
√
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D　[C、D两点关于长轴AB对称，由飞船做椭圆运动的规律可知飞船在C、D两点的速度大小相等，飞船从C点运动到E点的过程，地球的万有引力做负功，由动能定理可知飞船的动能减小，速度减小，则在CE段的平均速度小于在C点时的速度，同理可知，飞船在DF段的平均速度大于在D点时的速度，由t＝可知飞船在CE段运动的时间长，由开普勒第二定律可知两个过程飞船与地心连线扫过的面积不相等，故A、B、C错误；由于C点到地心的距离比F点到地心的距离远，根据F＝G，飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力，故D正确。]
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2．(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
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行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道 半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
√
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C　[由开普勒第三定律得＝，解得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合题表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。]
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3．(2025·广东江门一模)某人造卫星绕地球运动，地球作用于它的引力随时间的变化如图所示，假设卫星只受地球的引力，下列叙述正确的是(　　)
A．卫星的周期为2t1
B．卫星绕地球运行时机械能不守恒
C．远地点与近地点的加速度之比为1∶2
D．远地点与近地点到地球的距离之比为2∶1
√
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D　[根据题图可知，卫星的周期为t1，故A错误；卫星绕地球运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；根据题图，由牛顿第二定律可得远地点与近地点的加速度之比为a远∶a近＝2F∶8F＝1∶4，故C错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，可得远地点与近地点到地球的距离之比为r远∶r近＝＝2∶1，故D正确。]
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4．(2025·河南郑州模拟)2025年12月20日，我国成功将通信技术试验卫星二十三号送入预定轨道。把地球看作是密度均匀的球体，这颗卫星轨道离地高度与地球半径之比为p。地球赤道和两极重力加速度之比为q，以地球自转周期“天”为单位，这颗卫星的周期是(　　)
A． B．
C． D．
√
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B　[对卫星有G＝mr，在极地有G＝mg，根据题意r＝R＋pR，解得R＝，物体在赤道时有G－m0g0＝R，解得R＝g－g0，解得T＝T0，故选B。]
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5．(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星的半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝h，M＝。下列选项正确的是(　　)
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A．a为T1，b为T0，c为T1
B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1
D．a为T0，b为T1，c为T0
√
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A　[由开普勒第三定律有＝，得R＝h，所以a＝T1，b＝T0，C、D错误；该卫星在该小行星表面附近做匀速圆周运动时，有＝mR，得M＝，故c为T1，A正确，B错误。]
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6．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　)
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A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的线速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是30 h
√
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D　[由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c，b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝man，得an＝，可知b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr可知a的线速度大小小于c，即va＜vc，b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝
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11
m，得v＝，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误；因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得T＝2π，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。]
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7．(2025·安徽黄山市高三质检)据报道，中国新一代载人运载火箭和重型运载火箭正在研制过程中，预计到2030年左右，中国将会具备将航天员送上月球的实力，这些火箭不仅会用于载人登月项目，还将用在火星、木星以及其他小行星的探测任务中。假设中国航天员在月球表面将小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h，已知月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
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11
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球的第一宇宙速度为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
√
题号
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11
D　[设月球的质量为M，月球表面重力加速度为g，对在月球表面做竖直上抛运动的小球有＝2gh，对月球表面的物体有mg＝G，解得g＝，M＝，故A、C错误；月球的密度为ρ＝＝，故D正确；设月球的第一宇宙速度为v1，由万有引力提供向心力有G＝，得v1＝＝v0 ，故B错误。]
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11
8．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
题号
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A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
√
题号
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√
BD　[地球第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知G＝m，结合mg＝G得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有G＝mR，又GM＝gR2，得T＝，可得＝·＝，选项C错误，D正确。]
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9．(2024·黑吉辽卷)如图(a)所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
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A．2n B．
C． D．
√
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C　[在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得＝，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则＝＝，C正确。]
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10．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　　)
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√
A　[根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝G ＝Gx，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝G，其中M为地球的质量。综上所述，当x题号
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11．(多选)某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．图线①反映木星卫星运动的规律
B．地球的质量为
C．木星的密度为
D．木星与地球的密度之比为
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√
√
AC　[对于绕中心天体做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝mr，得＝，可知中心天体的质量越大，图线的斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①反映木星卫星运动的规律，A正确；图线②反映地球卫星运动的规律，故＝，解得地球的质量M地＝，同理可得，木星的质量M木＝，图
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线①中c的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方＝d，木星的密度ρ木＝＝，同理可得，地球的密度ρ地＝，故木星与地球的密度之比＝，C正确，B、D错误。]
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谢 谢 ！课时数智作业(二十三)　万有引力与宇宙航行
说明：第1～6题，每小题4分；第7～11题，每小题5分；本试卷共49分。
1．(2025·广西南宁高三上摸底测试)某飞船绕地球做椭圆运动的轨迹如图所示，AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，E、F两点关于椭圆中心对称。比较飞船沿顺时针分别从C运动到E和从D运动到F的两个过程，以下说法正确的是(　　)
A．从D运动到F的过程平均速率小
B．两个过程运动时间相等
C．两个过程飞船与地心连线扫过的面积相等
D．飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力
2．(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道 半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
3．(2025·广东江门一模)某人造卫星绕地球运动，地球作用于它的引力随时间的变化如图所示，假设卫星只受地球的引力，下列叙述正确的是(　　)
A．卫星的周期为2t1
B．卫星绕地球运行时机械能不守恒
C．远地点与近地点的加速度之比为1∶2
D．远地点与近地点到地球的距离之比为2∶1
4．(2025·河南郑州模拟)2025年12月20日，我国成功将通信技术试验卫星二十三号送入预定轨道。把地球看作是密度均匀的球体，这颗卫星轨道离地高度与地球半径之比为p。地球赤道和两极重力加速度之比为q，以地球自转周期“天”为单位，这颗卫星的周期是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星的半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝h，M＝。下列选项正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1
B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1
D．a为T0，b为T1，c为T0
6．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的线速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是30 h
7．(2025·安徽黄山市高三质检)据报道，中国新一代载人运载火箭和重型运载火箭正在研制过程中，预计到2030年左右，中国将会具备将航天员送上月球的实力，这些火箭不仅会用于载人登月项目，还将用在火星、木星以及其他小行星的探测任务中。假设中国航天员在月球表面将小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h，已知月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球的第一宇宙速度为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
8．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
9．(2024·黑吉辽卷)如图(a)所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A．2n B．
C． D．
10．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　　)
A　　　B　　　 　C　 　　　D
11．(多选)某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是(　　)
A．图线①反映木星卫星运动的规律
B．地球的质量为
C．木星的密度为
D．木星与地球的密度之比为
课时数智作业(二十三)
1．D　[C、D两点关于长轴AB对称，由飞船做椭圆运动的规律可知飞船在C、D两点的速度大小相等，飞船从C点运动到E点的过程，地球的万有引力做负功，由动能定理可知飞船的动能减小，速度减小，则在CE段的平均速度小于在C点时的速度，同理可知，飞船在DF段的平均速度大于在D点时的速度，由t可知飞船在CE段运动的时间长，由开普勒第二定律可知两个过程飞船与地心连线扫过的面积不相等，故A、B、C错误；由于C点到地心的距离比F点到地心的距离远，根据FG，飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力，故D正确。]
2．C　[由开普勒第三定律得，解得R行R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合题表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。]
3．D　[根据题图可知，卫星的周期为t1，故A错误；卫星绕地球运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；根据题图，由牛顿第二定律可得远地点与近地点的加速度之比为a远∶a近2F∶8F1∶4，故C错误；根据牛顿第二定律可得ma，可得远地点与近地点到地球的距离之比为r远∶r近2∶1，故D正确。]
4．B　[对卫星有Gr，在极地有Gmg，根据题意rR＋pR，解得，物体在赤道时有GR，解得Rg－g0，解得TT0，故选B。]
5．A　[由开普勒第三定律有，得Rh，所以aT1，bT0，C、D错误；该卫星在该小行星表面附近做匀速圆周运动时，有R，得M，故c为T1，A正确，B错误。]
6．D　[由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据anω2r，可知a的向心加速度小于c，b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有Gman，得an，可知b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据vωr可知a的线速度大小小于c，即va＜vc，b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G，得v，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误；因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得T2π，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。]
7．D　[设月球的质量为M，月球表面重力加速度为g，对在月球表面做竖直上抛运动的小球有2gh，对月球表面的物体有mgG，解得g，M，故A、C错误；月球的密度为ρ，故D正确；设月球的第一宇宙速度为v1，由万有引力提供向心力有G，得v1v0 ，故B错误。]
8．BD　[地球第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知G，结合mgG得第一宇宙速度v，又g月g地，R月R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有GR，又GMgR2，得T，选项C错误，D正确。]
9．C　[在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2kA，联立解得，在星球表面有Gmg，星球的密度ρ，又VπR3，解得ρ，C正确。]
10．A　[根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以FGx，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力FG，其中M为地球的质量。综上所述，当x＜R时，F与x成正比，当xR后，F与x的平方成反比，所以A正确。]
11．AC　[对于绕中心天体做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有Gr，得，可知中心天体的质量越大，图线的斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①反映木星卫星运动的规律，A正确；图线②反映地球卫星运动的规律，故，解得地球的质量M地，同理可得，木星的质量M木，图线①中c的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方d，木星的密度ρ木，同理可得，地球的密度ρ地，C正确，B、D错误。]
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