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第24课时　卫星的变轨问题　双星或多星模型(进阶课)
[学习目标]　1．会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。2．掌握双星或多星模型的特点，会解决相关问题。
卫星的变轨问题
1．卫星的两类变轨问题
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与向心力的大小关系 Gm
2．变轨过程各物理量比较
速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ， 在B点加速：vⅢ＞vⅡB， 即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
(向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
　卫星变轨问题物理量分析
[典例1]　(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
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　卫星变轨问题中的能量和动量问题
[典例2]　(2025·四川达州一模)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功。不仅体现了中国航天技术的进步，也标志着中国在全球航天领域中竞争力的提升。如图为神舟十九号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为r1，轨道Ⅲ的半径为r3，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，飞船在地球周围的引力势能Ep＝－。
(1)求神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E(不考虑整个过程中质量的变化，不计一切阻力)。
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为s(s r3)，飞船瞬间向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为m0的粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
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双星或多星模型
　双星模型
模型 特点
两星彼此间的万有引力提供向心力，即： ＝r1＝r2 (1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即：T1＝T2，ω1＝ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即：＝
(4)两星的运动周期 T＝2π
(5)两星的总质量 m＝m1＋m2＝
[典例3]　(多选)(2025·四川内江一模)“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。假设在太空中有星球A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，如图所示，两星球的间距为L，公转周期为T1。为探索该双星系统，向星球B发射一颗人造卫星C，C绕B运行的周期为T2，轨道半径为r，忽略C的引力对双星系统的影响，引力常量为G。则以下说法正确的是(　　)
A．星球A、B的质量之和为
B．星球A做圆周运动的半径为
C．星球B做圆周运动的半径为
D．若A也有一颗周期为T2的卫星，则其轨道半径一定大于r
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　多星模型
类型 三星模型 四星模型
结构图
运动情境 质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上 质量相等的三星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动 质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动 质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动
向心力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供
运动量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同
[典例4]　(2025·河南商丘期末)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，质量均为M的P、O、S三颗星位于同一直线上，P、S两颗星围绕中央星O在同一半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则(　　)
A．P星和S星的角速度相同
B．P星和S星的线速度相同
C．P、O、S三颗星所受合外力大小相等
D．P星的周期为
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[典例5]　(2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
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第24课时　卫星的变轨问题　双星或多星模型(进阶课)
进阶1
典例1　A　[根据a可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
典例2　解析：(1)飞船在轨道Ⅰ上，根据牛顿第二定律有G
飞船在轨道Ⅲ上，根据牛顿第二定律有
G
根据能量守恒定律有
解得E。
(2)设飞船加速后沿轨道Ⅲ的线速度为v2，则有v2t－v3ts
时间Δt内对侧向向外喷出的粒子进行分析，根据动量定理有F1ΔtΔmv
其中m0
根据牛顿第三定律，粒子对飞船的作用力F2F1
对飞船进行分析，根据牛顿第二定律有
G
解得v。
答案：(1)
(2)
进阶2
典例3　BD　[根据万有引力提供向心力有，其中r1＋r2L，得两星球质量之和为mm1＋m2，故A错误；C围绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，解得r1，r2L－，故B正确，C错误；若A也有一颗周期为T2的卫星，则，解得r'3，由于r1＜r2，则m1＞m2，可知其轨道半径一定大于r，故D正确。]
典例4　A　[由于P、S位于同一轨道上，P、S的角速度相同，由vωR可知，P、S两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项A正确，B错误；由对称性可知，P、S对O星的万有引力等大反向，O星所受合外力为0，O、P对S星的万有引力的合力F，P星所受合外力与之大小相等，方向相反，而O星所受合外力大小为0，选项C错误；由R，解得T，则D错误。]
典例5　A　[对a由牛顿第二定律有Mω2r，可得ω，因a、b、c角速度相同，可知D错误；如图所示，设a、c间的距离为L，且a、c连线与a、b连线的夹角为α，则对c由牛顿第二定律有mω2Lsin α，又rLcos α，可得cos α，所以xr，由vωr0可知vcva，A正确；根据a0ω2r0可知acab，B错误；c在一个周期内的路程为l2πx2πr，C错误。
]
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第24课时　卫星的变轨问题　双星或多星模型(进阶课)
[学习目标]　1．会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。2．掌握双星或多星模型的特点，会解决相关问题。
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
进阶1 卫星的变轨问题
1．卫星的两类变轨问题
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与向心力的大小关系 Gm
速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，
在B点加速：vⅢ＞vⅡB，
即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
(向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB
aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
2．变轨过程各物理量比较
角度1　卫星变轨问题物理量分析
[典例1]　(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变
轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大
于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
A　[根据a＝可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
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(2025·湖南长沙一模)2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。70后、80后、90后航天员齐聚“天宫”，完成中国航天史上第5次“太空会师”。飞船入轨后先在近地轨道上进行数据确认，后经椭圆转移轨道与在运行轨道上做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，假设除了变轨瞬间，飞船在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是(　　)
A．飞船在近地轨道的A点减速后进入转移轨道
B．飞船在转移轨道上的A点速度大于B点速度
C．飞船在近地轨道时的速度小于在运行轨道时的速度
D．飞船在近地轨道时的周期大于在运行轨道时的周期
√
B　[飞船在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，故A错误；根据开普勒第二定律可知飞船在转移轨道上的A点速度大于B点速度，故B正确；根据＝m＝mr，解得v＝，T＝2π，可知飞船在近地轨道时的速度大于在运行轨道时的速度，飞船在近地轨道时的周期小于在运行轨道时的周期，故C、D错误。]
角度2　卫星变轨问题中的能量和动量问题
[典例2]　(2025·四川达州一模)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功。不仅体现了中国航天技术的进步，也标志着中国在全球航天领域中竞争力的提升。如图为神舟十九号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点
与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为r1，轨道Ⅲ的
半径为r3，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，
飞船在地球周围的引力势能Ep＝－。
(1)求神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E(不考虑整个过程中质量的变化，不计一切阻力)。
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为s(s r3)，飞船瞬间向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为m0的粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
[解析]　(1)飞船在轨道Ⅰ上，根据牛顿第二定律有＝
飞船在轨道Ⅲ上，根据牛顿第二定律有＝
根据能量守恒定律有－＋E＝－
解得E＝。
(2)设飞船加速后沿轨道Ⅲ的线速度为v2，则有v2t－v3t＝s
时间Δt内对侧向向外喷出的粒子进行分析，根据动量定理有F1Δt＝Δmv
其中＝m0
根据牛顿第三定律，粒子对飞船的作用力F2＝F1
对飞船进行分析，根据牛顿第二定律有
＋F2＝
解得v＝。
[答案]　(1)
[教师备选资源]
(2025·山西临汾一模)2025年5月29日发射“天问二号”小行星取样返回探测器，它将对名为“2016HO3”的小行星开展伴飞探测并取样返回地球。“天问二号”发射后接近“2016HO3”小行星时，先完成从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ的变轨，然后进入环小行星圆轨道Ⅲ。如图，轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相切于P点，轨道Ⅰ的长轴为b1，
轨道Ⅱ的长轴为b2；“天问二号”在轨道Ⅲ
上的线速度大小为v、加速度大小为a。则
“天问二号”(　　)
A．在轨道Ⅱ上P点的加速度大于a
B．在轨道Ⅱ上P点的速度小于v
C．在轨道Ⅰ的机械能小于在轨道Ⅱ的机械能
D．在轨道Ⅰ、Ⅱ上的周期之比大于
√
D　[根据＝ma，解得a＝，加速度大小只与距离有关，所以在轨道Ⅱ上P点的加速度等于a，故A错误；从轨道Ⅱ变轨进入环小行星圆轨道Ⅲ需要在P点减速，所以在轨道Ⅱ上P点的速度大于v，故B错误；从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ的变轨要减速，所以在轨道Ⅰ的机械能大于在轨道Ⅱ的机械能，故C错误；根据开普勒第三定律有＝，所以＝>，故D正确。]
模型
两星彼此间的万有引力提供向心力，即：
＝r1
＝r2
进阶2 双星或多星模型
模型1　双星模型
特点
(1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即：T1＝T2，ω1＝ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即：＝
(4)两星的运动周期T＝2π
(5)两星的总质量m＝m1＋m2＝
[典例3]　(多选)(2025·四川内江一模)“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个孤立星球组成的系统。假设在太空中有星球A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，如图所示，两星球的间距为L，公转周期为T1。为探索该双星系统，向星球B发射一颗人造卫星C，C绕B运行的周期为T2，轨道半径为r，忽略C的引力对双星系统的影响，引力常量为G。则以下说法正确的是(　　)
A．星球A、B的质量之和为
B．星球A做圆周运动的半径为
C．星球B做圆周运动的半径为
D．若A也有一颗周期为T2的卫星，则其轨道半径一定大于r
√
√
BD　[根据万有引力提供向心力有＝＝，其中r1＋r2＝L，得两星球质量之和为m＝m1＋m2＝，故A错误；C围绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有＝，解得r1＝，r2＝，故B正确，C错误；若A也有一颗周期为T2的卫星，则＝，解得r′3＝，由于r1m2，可知其轨道半径一定大于r，故D正确。]
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双星系统是两颗恒星在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的天体系统。设双星系统中其中一颗恒星的线速度大小为v，加速度大小为a，周期为T，所受的向心力为F，它们之间的距离为r，不计其他天体的影响，两颗恒星的质量不变。下列各图可能正确的是(　　)
A　　 　　B　　 　 　C　　 　 D
√
B　[根据万有引力提供向心力写出对应函数关系。根据＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可知m1r1＝m2r2，因为r1＋r2＝r，可解得r1＝r，r2＝r，根据＝m1可知v＝，故v与r不是线性关系，A错误；根据＝m1a，解得a＝，故a-r-2图线是过原点的直线，B正确；根据＝m1r1，解得T＝，T与r2不是线性关系，C错误；根据F＝可知F-r2图线为曲线，D错误。]
类型 三星模型 四星模型
结构图
模型2　多星模型
类型 三星模型 四星模型
运动情境 质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上 质量相等的三星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动 质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动 质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动
类型 三星模型 四星模型
向心力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供
运动量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同
[典例4]　(2025·河南商丘期末)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，质量均为M的P、O、S三颗星位于同一直线上，P、S两颗星围绕中央星O在同一半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，
已知引力常量为G，忽略其他星体对它们的引
力作用，则(　　)
A．P星和S星的角速度相同
B．P星和S星的线速度相同
C．P、O、S三颗星所受合外力大小相等
D．P星的周期为
√
A　[由于P、S位于同一轨道上，P、S的角速度相同，由v＝ωR可知，P、S两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项A正确，B错误；由对称性可知，P、S对O星的万有引力等大反向，O星所受合外力为0，O、P对S星的万有引力的合力F＝＝，P星所受合外力与之大小相等，方向相反，而O星所受合外力大小为0，选项C错误；由＝MR，解得T＝·，则D错误。]
[典例5]　(2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
√
A　[对a由牛顿第二定律有＝Mω2r，可得ω＝，因a、b、c角速度相同，可知D错误；如图所示，设a、c间的距离为L，且a、c连线与a、b连线的夹角为α，则对c由牛顿第二定律有＝mω2L sin α，又r＝L cos α，可得cos α＝，所以x＝r，由v＝ωr0可知vc＝va，A正确；根据a0＝ω2r0可知ac＝ab，B错
误；c在一个周期内的路程为l＝2πx＝2πr，C错
误。]
[教师备选资源]
(多选)如图所示为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形的四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
√
√
BD　[四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝mω2·L可知ω＝，故B正确；由G＋G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由
G＋G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，则星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。]
课时数智作业(二十四)　卫星的变轨问题　双星或多星模型
(进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
说明：第1～9题，每小题5分；本试卷共45分。
1．(2025·湖南邵阳一模)开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量k1＝(R为行星轨道半径，T为运行周期)。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中的常量k2＝。已知引力常量为G，则k2的值为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[设中心天体的质量为M，万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得G＝mR，解得＝＝k1，在三星体系中，同理可得＝mL，解得＝＝k2，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．“天问一号”火星探测器从地球上发射到与火星会合的过程中，其运动轨迹可简化为图中虚线所示。“天问一号”飞向火星过程中，认为太阳对“天问一号”的万有引力远大于地球和火星对它的引力。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．“天问一号”在地球上的发射速度大于第三宇宙速度
B．与火星会合前，“天问一号”的加速度小于火星公转的加速度
C．“天问一号”运动的周期大于火星公转的周期
D．“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增加，动能减少，机械能守恒
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[“天问一号”在地球上的发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；与火星会合前，“天问一号”距离太阳比火星近，根据a＝可知，它的加速度大于火星公转的加速度，故B错误；根据开普勒第三定律有＝k，又“天问一号”椭圆轨道的半长轴小于火星公转轨道半径，所以“天问一号”运动的周期小于火星公转的周期，故C错误；“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力做负功，引力势能增加，动能减少，机械能守恒，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2025·山东卷)轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动。轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱。分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2，G为引力常量。此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[轨道舱与返回舱的质量比为5∶1，设返回舱的质量为m，则轨道舱的质量为5m，总质量为6m；根据题意知组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定律有G＝6m，可得做圆周运动的线速度为v＝，弹射返回舱的过程中组合体动量守恒，有6mv＝5mv1＋mv2，由题意可知v2＝2，代入解得v1＝，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·成都石室中学模拟)2024年6月2日上午6时23分，嫦娥六号成功着陆月球背面。设想“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1；当经过近月点M点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，周期为T2。已知月球半径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面的距离为R，椭圆轨道Ⅰ远月点距月
球表面的距离为5R，如图所示，引力常量为G。
忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说
法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．T2>T1
B．月球的质量为
C．月球第一宇宙速度大于轨道Ⅱ上的运行速度
D．“嫦娥六号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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C　[轨道Ⅰ的半长轴比轨道Ⅱ的半径大，根据开普勒第三定律可知T2题号
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5．在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的两个恒星A、B间距离为L，恒星A、B的质量之比为2∶1，如果若干年后双星间距离减小为kL(k小于1)，恒星A、B的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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B　[设恒星B的质量为m，由题意知G＝2mrA＝mrB，rA＋rB＝L，距离改变后有G＝2mr′A＝mr′B，r′A＋r′B＝kL，解得T′＝kT，r′A＝kL，对恒星A有G＝2ma，G＝2m()2·r′A，联立上述各式可得恒星A的加速度a＝，故选B。]
题号
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6．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．每颗星体做圆周运动的线速度为
B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍
D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变
√
题号
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D　[任意两颗星体之间的万有引力F＝G，每一颗星体受到的合力为F1＝F，由几何关系知：它们的轨道半径为r＝L，由合力提供它们的向心力有＝m，联立解得v＝，故A错误；根据＝ma得a＝，故加速度与它们的质量有关，故B错误；
题号
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根据＝m解得T＝π，若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C错误；根据v＝可知，若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变，故D正确。]
题号
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7．(2025·山东烟台一模)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后与天和核心舱对接的过程简化为如图所示，飞船先在轨道半径为r1的圆轨道Ⅰ上运行，变轨后沿着椭圆轨道Ⅱ由近地点A处运动到远地点B处，与处于轨道半径为r2的圆轨道Ⅲ上的天和核心舱对接。已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上经过B点时速度大小为v，天和核心舱在轨道Ⅲ上运行周期为T，AB是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
题号
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A．飞船在圆轨道Ⅰ上经过A点时
速度大小为
B．地球的平均密度为
C．飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为
D．飞船与天和核心舱对接后在轨道Ⅲ上运行的速度大小为v
√
题号
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B　[飞船在椭圆轨道Ⅱ上远地点B的速度大小为v，根据开普勒第二定律可得A点与B点速度满足vA·r1＝v·r2，可得vA＝，但这是飞船在椭圆轨道Ⅱ上过A点时的速度大小，飞船从圆轨道Ⅰ上A点需要加速才能运动到椭圆轨道Ⅱ上，故A错误；天和核心舱在轨道Ⅲ上运行，根据万有引力提供向心力有＝mr2，解得M＝，地球体积V＝πR3，根据ρ＝可得地球的平均密度为ρ ＝
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，故B正确；椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a＝ ，根据开普勒第三定律有＝，可得飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T′＝，故C错误；飞船在椭圆轨道Ⅱ上远地点B的速度v小于在圆轨道Ⅲ上的速度(需加速才能变轨至轨道Ⅲ)，因此对接后在轨道Ⅲ上运行的速度不等于v，故D错误。]
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8．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
题号
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A．mv2＋ B．mv2－
C．mv2＋ D．mv2－
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D　[当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有 G ＝，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G ＝，解得在此圆轨道上运行时通
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过B点的速度为＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v′＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝＝mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确。]
题号
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9．(多选)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动，如图(a)所示，月球绕地球运动的周期为T1；也可认为地月系统是一个双星系统，如图(b)所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
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A．图(a)中月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B．图(a)中，地球密度为
C．地月双星轨道中O点到地心距离为r
D．图(a)中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小
√
题号
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√
CD　[根据万有引力提供向心力有G＝r，解得题图(a)月球绕地球运动的周期为T1＝2π，设地月双星轨道中O点到地心的距离为r1，地月双星轨道中O点到月球圆心的距离为r2，则G＝r2，G＝r1，可得mr2＝Mr1，且r1＋r2＝r，解得r1＝
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r，r2＝r，T2＝2π，可知题图(a)中月球绕地球运动的周期T1大于题图(b)中月球绕O点运动的周期T2，故A错误，C正确；根据万有引力提供向心力有G＝r，设地球的半径为R，地球的体积为V＝πR3，题图(a)中，地球密度为ρ＝＝，故B错误；题图(a)中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为Δm，
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则r题号
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谢 谢 ！课时数智作业(二十四)　卫星的变轨问题　双星或多星模型(进阶课)
说明：第1～9题，每小题5分；本试卷共45分。
1．(2025·湖南邵阳一模)开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量k1＝(R为行星轨道半径，T为运行周期)。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中的常量k2＝。已知引力常量为G，则k2的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．“天问一号”火星探测器从地球上发射到与火星会合的过程中，其运动轨迹可简化为图中虚线所示。“天问一号”飞向火星过程中，认为太阳对“天问一号”的万有引力远大于地球和火星对它的引力。下列说法正确的是(　　)
A．“天问一号”在地球上的发射速度大于第三宇宙速度
B．与火星会合前，“天问一号”的加速度小于火星公转的加速度
C．“天问一号”运动的周期大于火星公转的周期
D．“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增加，动能减少，机械能守恒
3．(2025·山东卷)轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动。轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱。分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2，G为引力常量。此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·成都石室中学模拟)2024年6月2日上午6时23分，嫦娥六号成功着陆月球背面。设想“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1；当经过近月点M点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，周期为T2。已知月球半径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面的距离为R，椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面的距离为5R，如图所示，引力常量为G。忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说法正确的是(　　)
A．T2>T1
B．月球的质量为
C．月球第一宇宙速度大于轨道Ⅱ上的运行速度
D．“嫦娥六号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
5．在银河系中，有一半的恒星组成双星或多星系统，若某孤立双星系统绕连线上某点做圆周运动，周期为T，组成双星系统的两个恒星A、B间距离为L，恒星A、B的质量之比为2∶1，如果若干年后双星间距离减小为kL(k小于1)，恒星A、B的质量不变，则恒星A做圆周运动的加速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
6．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．每颗星体做圆周运动的线速度为
B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍
D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变
7．(2025·山东烟台一模)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后与天和核心舱对接的过程简化为如图所示，飞船先在轨道半径为r1的圆轨道Ⅰ上运行，变轨后沿着椭圆轨道Ⅱ由近地点A处运动到远地点B处，与处于轨道半径为r2的圆轨道Ⅲ上的天和核心舱对接。已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上经过B点时速度大小为v，天和核心舱在轨道Ⅲ上运行周期为T，AB是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．飞船在圆轨道Ⅰ上经过A点时速度大小为
B．地球的平均密度为
C．飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为
D．飞船与天和核心舱对接后在轨道Ⅲ上运行的速度大小为v
8．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
A．mv2＋ B．mv2－
C．mv2＋ D．mv2－
9．(多选)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动，如图(a)所示，月球绕地球运动的周期为T1；也可认为地月系统是一个双星系统，如图(b)所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．图(a)中月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B．图(a)中，地球密度为
C．地月双星轨道中O点到地心距离为r
D．图(a)中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小
课时数智作业(二十四)
1．A　[设中心天体的质量为M，万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得GR，解得k1，在三星体系中，同理可得L，解得k2，故选A。]
2．D　[“天问一号”在地球上的发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；与火星会合前，“天问一号”距离太阳比火星近，根据a可知，它的加速度大于火星公转的加速度，故B错误；根据开普勒第三定律有k，又“天问一号”椭圆轨道的半长轴小于火星公转轨道半径，所以“天问一号”运动的周期小于火星公转的周期，故C错误；“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力做负功，引力势能增加，动能减少，机械能守恒，故D正确。]
3．C　[轨道舱与返回舱的质量比为5∶1，设返回舱的质量为m，则轨道舱的质量为5m，总质量为6m；根据题意知组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定律有G，可得做圆周运动的线速度为v，弹射返回舱的过程中组合体动量守恒，有6mv5mv1＋mv2，由题意可知v22，代入解得v1，故选C。]
4．C　[轨道Ⅰ的半长轴比轨道Ⅱ的半径大，根据开普勒第三定律可知T2＜T1，故A错误；根据题意可知轨道Ⅱ的半径为2R，由万有引力提供向心力有G(2R)，可得月球的质量为M，故B错误；根据万有引力提供向心力有G，可得v，月球第一宇宙速度为月球表面的环绕速度，可知月球第一宇宙速度大于轨道Ⅱ上的运行速度，故C正确；“嫦娥六号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ半径减小，做近心运动，需要点火减速，故D错误。]
5．B　[设恒星B的质量为m，由题意知G，rA＋rBL，距离改变后有G，r'A＋r'BkL，解得T'kT，r'AkL，对恒星A有G2ma，G2m()2·r'A，联立上述各式可得恒星A的加速度a，故选B。]
6．D　[任意两颗星体之间的万有引力FG，每一颗星体受到的合力为F1F，由几何关系知：它们的轨道半径为rL，由合力提供它们的向心力有，联立解得v，故A错误；根据ma得a，故加速度与它们的质量有关，故B错误；根据解得T，若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C错误；根据v可知，若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变，故D正确。]
7．B　[飞船在椭圆轨道Ⅱ上远地点B的速度大小为v，根据开普勒第二定律可得A点与B点速度满足vA·r1v·r2，可得vA，但这是飞船在椭圆轨道Ⅱ上过A点时的速度大小，飞船从圆轨道Ⅰ上A点需要加速才能运动到椭圆轨道Ⅱ上，故A错误；天和核心舱在轨道Ⅲ上运行，根据万有引力提供向心力有Gr2，解得M，地球体积VπR3，根据ρ可得地球的平均密度为ρ ，故B正确；椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，可得飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T'T，故C错误；飞船在椭圆轨道Ⅱ上远地点B的速度v小于在圆轨道Ⅲ上的速度(需加速才能变轨至轨道Ⅲ)，因此对接后在轨道Ⅲ上运行的速度不等于v，故D错误。]
8．D　[当卫星在r1r的圆轨道上运行时，有 G，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0，所以发动机在A点对卫星做的功为W1；当卫星在r22r的圆轨道上运行时，有 G，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v'0，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v'v，故发动机在B点对卫星做的功为W2mv2，所以W1－W2，D正确。]
9．CD　[根据万有引力提供向心力有Gr，解得题图(a)月球绕地球运动的周期为T12π，设地月双星轨道中O点到地心的距离为r1，地月双星轨道中O点到月球圆心的距离为r2，则Gr2，Gr1，可得mr2Mr1，且r1＋r2r，解得r1r，r2r，T22π，可知题图(a)中月球绕地球运动的周期T1大于题图(b)中月球绕O点运动的周期T2，故A错误，C正确；根据万有引力提供向心力有Gr，设地球的半径为R，地球的体积为VπR3，题图(a)中，地球密度为ρ，故B错误；题图(a)中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为Δm，则(m－Δm)，即此时月球做圆周运动所需的向心力小于月球与地球间的万有引力，月球做向心运动，月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小，故D正确。]
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