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第25课时　实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
[学习目标]　1．会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。2．会用图像法处理数据。
原理装置图 操作要求 注意事项
1．手柄　2、3．变速塔轮 4．长槽　5．短槽　6、7．小球　8．横臂　9．弹簧测力套筒　10．标尺 1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽内，使它们的转动半径相同，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变，增大长槽内小球的转动半径，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。 1．实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。 2．实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。 3．注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。 4．注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。
数据处理和结论 1．分别作出Fn-ω2、Fn-r、Fn-m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。 2．实验结论 相同的物理量不同的物理量实验结论1m、rωω越大，Fn越大，Fn∝ω22m、ωrr越大，Fn越大，Fn∝r3r、ωmm越大，Fn越大，Fn∝m公式Fn＝mω2r
误差分析 1．污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化带来的误差。 2．仪器不水平带来的误差。 3．标尺读数不准带来的误差。 4．皮带打滑带来的误差。
教材原型实验
[典例1]　(2023·浙江1月选考)“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
(1)采用的实验方法是________。
A．控制变量法　B．等效法　C．模拟法
(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ [典例2]　如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
拓展创新实验
[典例3]　(2024·海南卷)水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图(a)所示，图(b)为俯视图，测得圆盘直径D＝42.02 cm，圆柱体质量m＝30.0 g，圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用停表测圆盘转动10周所用的时间t＝62.8 s，则圆盘转动的角速度ω＝______ rad/s(π取3.14)。
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图(c)所示，该读数d＝________ mm，多次测量后，得到平均值恰好与d相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F＝________________(用D、m、ω、d表示)，其大小为________ N(结果保留两位有效数字)。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________　本实验的创新体现在实验目的的设计，由探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系的实验迁移为测向心力的实验。
[典例4]　某同学常用身边的器材来完成一些物理实验。如图甲，他将手机放在蔬菜沥水器中的侧壁竖直的蔬菜篮底部，紧靠侧壁边缘竖直放置，从慢到快转动手柄，可以使手机随蔬菜篮转动，手机和蔬菜篮始终相对静止，利用手机自带的软件可以记录手机与蔬菜篮侧壁间压力F和角速度ω的数值。
(1)保持手机到竖直转轴的距离r不变，更换不同质量的手机(均可看作质点)，重复上述操作，利用电脑拟合出两次的F-ω2图像，由图像乙可知，直线________(选填“1”或“2”)对应的手机质量更大。
(2)保持手机质量不变，使用半径不同的蔬菜篮重复上述步骤，测出手机到竖直转轴的距离r，作出对应的F-ω图像，在同一坐标系中分别得到图丙中的五条图线。对5条图线进行分析研究可知图线__________(选填“①”“②”“③”“④”或“⑤”)对应的半径r最大。
(3)图丙中图线不过坐标原点的原因是________。
A．手机到竖直转轴的距离r的测量值偏小
B．手机和蔬菜篮底部间存在摩擦力
C．手机和蔬菜篮侧壁间存在摩擦力
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________　本实验的创新体现在实验器材上，利用手机自带的软件可以记录手机与蔬菜篮侧壁间压力F和角速度ω的数值，通过分析F-ω图像获取数据。
第25课时　实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
实验探究·创新突破
类型1
典例1　解析：(1)本实验先控制住其他几个因素不变，集中研究其中一个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法。
(2)标尺上露出的红白相间的等分标记的比值为两个小球所受向心力的比值，根据Fmrω2可知比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄的过程中，由于左右两塔轮的角速度之比不变，因此左右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
答案：(1)A　(2)角速度平方　不变
典例2　解析：(1)本实验采用的是控制变量法，故探究加速度与物体受力、物体质量的关系与本实验思想方法相同，故选C。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，则探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右R2∶2R21∶2，根据Fmω2r可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右1∶4，故选B。
答案：(1)C　(2)一　(3)B
类型2
典例3　解析：(1)圆盘转动10周所用的时间t62.8 s，则圆盘转动的周期为T s6.28 s
根据角速度与周期的关系有ω1 rad/s。
(2)根据游标卡尺的读数规则有16 mm＋2×0.1 mm16.2 mm。
(3)小圆柱体做匀速圆周运动的半径为r
则小圆柱体所需向心力的表达式为F
代入数据有F≈6.1×10－3 N。
答案：(1)1　(2)16.2　 (3)　6.1×10－3
典例4　解析：(1)对手机，根据牛顿第二定律有Fmω2r，故F ω2图像斜率为kmr，因为r不变，故斜率大的质量大，所以直线1的手机质量更大。
(2)根据Fmω2r，由F ω图像可知，当m、ω相同时，r大的对应的F大，故而图线①对应的半径r最大。
(3)由题图丙可知，当ω增大到一定程度时，手机与蔬菜篮侧壁间才有压力作用，该原因是手机和蔬菜篮底部间存在摩擦力。故选B。
答案：(1)1　(2)①　(3)B
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第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行
第25课时　实验六：探究向心力大小与半径、角速度、
质量的关系
[学习目标]　1．会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。2．会用图像法处理数据。
原理装置图

1．手柄　2、3．变速塔轮 4．长槽　5．短槽　6、7．小球　8．横臂　9．弹簧测力套筒　10．标尺
实验基础 · 要点通关
操作要求
1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽内，使它们的转动半径相同，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。
2．保持两个小球质量不变，增大长槽内小球的转动半径，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。
操作要求
3．换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。
注意事项
1．实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。
2．实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。
3．注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。
4．注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。
数据处理和结论 1．分别作出Fn-ω2、Fn-r、Fn-m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。
2．实验结论
相同的物理量 不同的物理量 实验结论
1 m、r ω ω越大，Fn越大，Fn∝ω2
2 m、ω r r越大，Fn越大，Fn∝r
3 r、ω m m越大，Fn越大，Fn∝m
公式 Fn＝mω2r
误差分析 1．污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化带来的误差。
2．仪器不水平带来的误差。
3．标尺读数不准带来的误差。
4．皮带打滑带来的误差。
实验探究 · 创新突破
类型1 教材原型实验
[典例1]　(2023·浙江1月选考)“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
(1)采用的实验方法是________。
A．控制变量法　B．等效法　C．模拟法
A
(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的______________(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)之比；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值________(选填“不变”“变大”或“变小”)。
角速度平方
不变
[解析]　(1)本实验先控制住其他几个因素不变，集中研究其中一个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法。
(2)标尺上露出的红白相间的等分标记的比值为两个小球所受向心力的比值，根据F＝mrω2可知比值等于两小球的角速度平方之比。在加速转动手柄的过程中，由于左右两塔轮的角速度之比不变，因此左右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。
[典例2]　如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
C
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
一
B
[解析]　(1)本实验采用的是控制变量法，故探究加速度与物体受力、物体质量的关系与本实验思想方法相同，故选C。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，则探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则两球做圆周运动的半径相等；传动皮带位于第二层，则两球做圆周运动的角速度之比为ω左∶ω右＝R2∶2R2＝1∶2，根据F＝mω2r可知当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝＝1∶4，故选B。
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如图甲所示，利用向心力演示器探究做圆周运动的小球，当质量、半径一定时，所需向心力大小F与角速度ω之间的关系。
(1)如图乙所示，若传动皮带套在塔轮第二层，左、右塔轮半径R1、R2之比为2∶1，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为______。
(2)图中标尺上黑白相间的等分格显示如图丙所示，则A、C两处小球所受向心力大小之比约为________。
(3)由此实验得到的结论是_______________________。
1∶2
1∶4
见解析
[解析]　(1)左、右塔轮边缘的线速度相等，根据v＝ωR可得＝＝，则A、C两处的角速度之比为1∶2。
(2)根据题图丙中标尺上黑白相间的等分格可知，A、C两处小球所受向心力大小之比约为1∶4。
(3)由此实验得到的结论是：当质量、半径一定时，所需向心力的大小F与角速度的平方ω2成正比关系。
类型2 拓展创新实验
[典例3]　(2024·海南卷)水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图(a)所示，图(b)为俯视图，测得圆盘直径D＝42.02 cm，圆柱体质量m＝30.0 g，圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用停表测圆盘转动10周所用的时间t＝62.8 s，则圆盘转动的角速度ω＝______ rad/s(π取3.14)。
1
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图(c)所示，该读数d＝________ mm，多次测量后，得到平均值恰好与d相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F＝________________(用D、m、ω、d表示)，其大小为________ N(结果保留两位有效数字)。
16.2
　
6.1×10-3
[解析]　(1)圆盘转动10周所用的时间t＝62.8 s，则圆盘转动的周期为T＝ s＝6.28 s
根据角速度与周期的关系有ω＝＝1 rad/s。
(2)根据游标卡尺的读数规则有16 mm＋2×0.1 mm＝16.2 mm。
(3)小圆柱体做匀速圆周运动的半径为r＝
则小圆柱体所需向心力的表达式为F＝
代入数据有F≈6.1×10-3 N。
创新点解读　本实验的创新体现在实验目的的设计，由探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系的实验迁移为测向心力的实验。
[典例4]　某同学常用身边的器材来完成一些物理实验。如图甲，他将手机放在蔬菜沥水器中的侧壁竖直的蔬菜篮底部，紧靠侧壁边缘竖直放置，从慢到快转动手柄，可以使手机随蔬菜篮转动，手机和蔬菜篮始终相对静止，利用手机自带的软件可以记录手机与蔬菜篮侧壁间压力F和角速度ω的数值。
(1)保持手机到竖直转轴的距离r不变，更换不同质量的手机(均可看作质点)，重复上述操作，利用电脑拟合出两次的F-ω2图像，由图像乙可知，直线________(选填“1”或“2”)对应的手机质量更大。
(2)保持手机质量不变，使用半径不同的蔬菜篮重复上述步骤，测出手机到竖直转轴的距离r，作出对应的F-ω图像，在同一坐标系中分别得到图丙中的五条图线。对5条图线进行分析研究可知图线__________(选填“①”“②”“③”“④”或“⑤”)对应的半径r最大。
1
①
(3)图丙中图线不过坐标原点的原因是________。
A．手机到竖直转轴的距离r的测量值偏小
B．手机和蔬菜篮底部间存在摩擦力
C．手机和蔬菜篮侧壁间存在摩擦力
B
[解析]　(1)对手机，根据牛顿第二定律有F＝mω2r，故F-ω2图像斜率为k＝mr，因为r不变，故斜率大的质量大，所以直线1的手机质量更大。
(2)根据F＝mω2r，由F-ω图像可知，当m、ω相同时，r大的对应的F大，故而图线①对应的半径r最大。
(3)由题图丙可知，当ω增大到一定程度时，手机与蔬菜篮侧壁间才有压力作用，该原因是手机和蔬菜篮底部间存在摩擦力。故选B。
创新点解读　本实验的创新体现在实验器材上，利用手机自带的软件可以记录手机与蔬菜篮侧壁间压力F和角速度ω的数值，通过分析F-ω图像获取数据。
课时数智作业(二十五)　实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
说明：本试卷共4小题，共26分。
1．(6分)(2025·山东枣庄联考)如图甲所示是向心力演示器，用于探究做圆周运动物体的向心力大小与物体的质量、半径、角速度的关系。挡板A、B、C可以控制小球做圆周运动的半径，所连弹簧测力筒的标尺露出的格数可以显示向心力的大小。挡板A、C到各自转轴的距离均为挡板B到转轴距离的一半。塔轮结构如图乙所示，每侧三个转轮的半径从小到大分别为r、2r、3r，可分别用传动皮带连接。请完成下列问题。
(1)探究向心力大小与物体质量的关系时，在挡板A处放铝球，挡板C处放钢球，传动皮带挂左塔轮的中轮，应挂右塔轮的________(选填“上”“中”或“下”)轮。
中
(2)探究向心力大小与角速度的关系时，应采用下列的________(选填“A”“B”或“C”)图所示安装器材。
A　　　　　　　　　　 B C
C
(3)某实验小组为验证向心力公式，将铝球放在挡板B处，钢球放在挡板C处，传动皮带均挂在左、右塔轮的上轮，摇动手柄，稳定后，右侧标尺露出1格，则左侧标尺应该露出________格。已知钢球质量是铝球质量的3倍。
6
[解析]　(1)探究向心力大小与物体质量的关系时，应控制物体做圆周运动的半径相同，物体做圆周运动的角速度相同，则在挡板A处放铝球，挡板C处放钢球，传动皮带挂左塔轮的中轮，应挂右塔轮中轮。
(2)探究向心力大小与角速度的关系时，应控制物体的质量相同，物体做圆周运动的半径相同，故应采用题图C所示安装器材。
(3)根据向心力表达式可得F左＝rB，F右＝rC，又rB＝2rC，m钢＝3m铝，ω左＝3ω右，联立可得F左∶F右＝6∶1，稳定后，右侧标尺露出1格，则左侧标尺应该露出6格。
2．(6分)(2025·辽宁鞍山一模)为探究向心力大小与角速度大小的关系，某实验小组用图甲所示装置进行实验。滑块套在光滑的水平杆上，右端通过一轻质细绳连接固定在竖直杆上的力传感器，水平杆固定在竖直杆上，当竖直杆匀速转动时，滑块绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器用来测量向心力F的大小。滑块上固定一遮光片，遮光片宽度为d，光电门可以记录遮光片通过光电门的时间Δt，测得滑块和遮光片的总质量为m，实验中测得滑块的旋转半径为r。当竖直杆匀速转动时，滑块每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和对应的遮光片通过光电门时间Δt的数据。改变转动速度，多次重复实验并记录对应的数据。
(1)用20分度的游标卡尺测量遮光条d的宽度如图乙所示，其读数为________ cm。
(2)某次测得遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω为________(用“d”“Δt”“r”表示)。
(3)若以向心力F为纵坐标，ω2为横坐标绘制图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，则其斜率为________(用“m”“r”表示)。
0.670
mr
[解析]　(1)游标卡尺的读数为6 mm＋14×0.05 mm＝6.70 mm＝0.670 cm。
(2)滑块转动的线速度v＝，则角速度ω＝＝。
(3)根据向心力公式F＝mω2r，可以得出图线的斜率为mr。
3．(8分)某兴趣小组的同学们用电动机、拉力传感器、电子计数器等设计了一个用圆锥摆验证向心力表达式的实验，如图所示。在支架上固定一个电动机，电动机转轴上固定一拉力传感器，传感器正下方用细线连接一个小球，在装置侧面安装一高度可以调节的电子计数器。本实验中除图中给出的实验器材
外没有其他的器材，已知当地重力加速度
大小为g。
①用刻度尺量出细线的长度L；
②闭合电源开关，稳定后，小球在水平面内做匀速圆周运动，记录此时拉力传感器的示数为F；
③稳定后，调节计数器前端的位置与球心在同一高度处，当小球第一次在离计数器最近的P点时计数器开始计数，并记录为1次，记录小球n次到达P点的时间t，用刻度尺测量出此时电子计数器前端与细线顶端的竖直距离h；
④切断电源，整理器材。
请回答下列问题：
(1)本实验中还需要测量的物理量是______________(写出名称及符号)，如何测出该物理量________________(写明测量方法)。
(2)小球运动的周期为________(用题中所给物理量符号表示)。
(3)根据测量数据，需验证的向心力表达式为
_______________________________。(用题中所给物理量符号表示)
小球质量m
见解析
＝
[解析]　(1)本实验中还需要测量的物理量是小球的质量m；电动机不转时小球自然下垂，记录此时拉力传感器的示数为F0，则小球的质量m＝。
(2)小球运动的周期为T＝。
(3)重力和拉力的合力提供小球运动的向心力，Fn＝＝m，即要验证的关系是＝。
4．(6分)如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度之间的关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变来探究向心力F与线速度v的关系。
(1)该同学采用的实验方法为________。
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
B
(2)改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如表所示：
v/(m·s-1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
①作出F-v2图像；
②若圆柱体运动半径r＝0.2 m，由作出的F-v2的图像可得圆柱体的质量m＝________ kg。(结果保留两位有效数字)
见解析图
0.18
[解析]　(1)实验中探究向心力和线速度的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法是控制变量法，故选B。
(2)①作出F-v2图像，如图所示。
②根据F＝m，图像的斜率k＝，代入
数据解得m≈0.18 kg。
章末巩固检测(四)　曲线运动　万有引力与宇宙航行
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共64分。
一、选择题：共8小题，1～6题只有一个选项符合要求，7～8题有多个选项符合要求。
1．(2025·湖南长沙田家炳实验中学一模)关于物理学家和他们的贡献，下列说法中正确的是(　　)
A．哥白尼提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．卡文迪什在实验室里通过扭秤实验得出了引力常量G的数值
C．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性
D．牛顿通过理想斜面实验得出“物体运动不需要力来维持”
√
B　[开普勒提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A错误；卡文迪什在实验室里通过扭秤实验得出了引力常量G的数值，故B正确；牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，故C错误；伽利略通过理想斜面实验得出“物体运动不需要力来维持”，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2025·青海海东一模)第十四届中国航展于2024年11月13日落下帷幕，空军歼-20、运-20等武器装备在航展上集中亮相，我国自主研制生产的首款大型加油机运油-20展示了它的三根加油管，还做出了快速俯冲、大仰角爬升、低空低速拖曳通场等多个动作。如图，运油-20沿竖直平面内圆弧匀速俯冲经过a点，以同样速率和半径大仰角爬升经过b点，圆心为O，a、b等高，Oa、Ob与竖直方向夹角都为45°。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．在a、b两处，飞机给飞行员的作用力均指向O
B．在a、b两处，飞机的向心加速度相同
C．在a、b两处，飞行员受到飞机给他的作用力都大于重力
D．在a处飞行员失重，在b处飞行员超重
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[飞机给飞行员的作用力和飞行员重力的合力指向圆心O，故A错误；向心加速度指向圆心，aO、bO方向不同，故B错误；在a、b两处，飞行员受到飞机给他的作用力都大于重力，均超重，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·陕西咸阳一模)如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒从M点水平飞出到达N点，谷粒位移方向与水平面夹角为θ，谷粒运动轨迹如图乙所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．谷粒在空中的运动过程中相同时间内速度大小的变化量相等
B．谷粒在空中的运动过程中速度方向与线段MN的夹角越来越大
C．谷粒在空中的运动过程中速度方向与加速度方向的夹角越来越小
D．谷粒在空中的运动过程中重力的功率保持不变
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
C　[平抛运动竖直方向做自由落体运动，则相同时间内竖直方向速度大小变化相同，但水平方向速度一直不变，则合速度大小变化不同，选项A错误；当谷粒运动到离线段MN最远的位置时，速度与线段MN是平行关系，此时夹角为零，所以谷粒速度方向与线段MN的夹角先减小后增大，选项B错误；运动过程中，竖直速度越来越大，水平速度不变，则合速度与竖直方向的夹角越来越小，选项C正确；由于竖直速度越来越大，而重力的功率等于竖直速度与重力的乘积，则重力的功率越来越大，选项D错误。]
题号
1
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10
4．(2025·宁夏银川一模)一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示，甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。
以下判断正确的是(　　)
题号
1
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9
10
A．水柱射到最高点时速度为0
B．v1C．两水柱喷出时，竖直方向的速度
D．v1>v2，t1√
题号
1
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10
B　[水柱在最高点时，竖直方向的分速度为零，水平方向的速度不为零，故A错误；根据题意可知，甲、乙两水柱最高点在同一水平线上，根据h＝gt2，则甲、乙水柱在空中运动的时间相等，根据0＝vy－gt，甲、乙水柱竖直方向的初速度相等，由题图可知，乙的水平位移大，则乙水平方向的初速度大，根据v＝，则有v2>v1，故B正确，C、D错误。]
题号
1
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10
5．已知M、N两颗卫星为赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致，O为地心，如图所示。M、N两卫星的轨道半径之比为2∶1，卫星N的运行周期为T，图示时刻，卫星M与卫星N相距最近。则下列说法正确的是(　　)
A．卫星M的运行周期为2T
B．经过时间4T，卫星M与卫星N又一次相距最近
C．卫星N的发射速度小于第一宇宙速度
D．M、N分别与地心O的连线在相等时间内扫过的面积之比为
√
题号
1
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2
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10
D　[卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝mr＝m，解得T＝2π，v＝，设卫星M、N的运行周期分别为TM、TN，其中TN＝T，则＝＝＝＝2，所以TM＝2T，故A错误；设经过时间t，卫星M与卫星N又一次相距最近，则t＝2π，由A选项可知TM＝2T，TN＝T，解得t＝
题号
1
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2
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9
10
T，故B错误；第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星N的发射速度大于第一宇宙速度，故C错误；由A选项可知v＝，则卫星在时间t内扫过的面积为S＝＝＝，所以M、N分别与地心O的连线在相等时间内扫过的面积之比为＝＝＝，故D正确。]
题号
1
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10
6．(2025·辽宁朝阳一模)如图所示，圆锥的底角θ＝53°，顶点处有固定挡板，通过轻绳使质量为m＝200 g的小物块静止在圆锥侧面上，轻绳长L＝50 cm，小物块与圆锥面间的动摩擦因数μ＝0.5。现让小物块和圆锥一起(无相对滑动)绕圆锥轴做匀速圆周运动，角速度为ω，小物块与圆锥面恰好无挤压。已知：
sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g
取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
题号
1
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10
A．小物块做圆周运动的角速度ω为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的角速度ω为 rad/s
C．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面无摩擦力作用
D．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面的摩擦力为0.6 N
√
题号
1
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2
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9
10
D　[根据题意可知，小物块与圆锥面恰好无挤压，设轻绳对小物块的拉力为F，对小物块，竖直方向上有F sin θ＝mg，水平方向上，由牛顿第二定律有F cos θ＝mω2L cos θ，解得ω＝5 rad/s，故A、B错误；若小物块速度突然变为零，则小物块与圆锥间发生相对滑动，由平衡条件可得FN＝mg cos θ，则摩擦力Ff＝μFN＝0.6 N，故C错误，D正确。]
题号
1
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10
7．(2025·山西太原一模)木卫二绕木星做匀速圆周运动，某同学收集到一些数据进行估算，下列运算公式正确的是(　　)
题号
1
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物理量 木星 木卫二
质量M M1＝1.9×1027 kg M2＝4.8×1022 kg
天体半径R R1＝7.1×107 m R2＝1.6×106 m
轨道半径r r1＝ 7.8×1011 m r2＝6.7×108 m
自转周期T T1＝10 h T2＝85 h
引力常量G 6.67×10-11 N·m2/kg2
A．木卫二做匀速圆周运动的周期为
B．木星和木卫二表面的重力加速度之比为
C．木星和木卫二的第一宇宙速度之比为
D．太阳和木星质量之比为
√
题号
1
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10
√
BC　[由＝r2，解得T2＝，故A错误；由＝mg，解得g＝，则木星和木卫二表面的重力加速度之比为＝＝，故B正确；由＝m，解得v＝，则木星和木卫
题号
1
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10
二的第一宇宙速度之比为＝＝，故C正确；由＝M1r，解得M太＝，由于木星绕太阳公转的周期未知，所以太阳的质量无法求出，故D错误。]
题号
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10
8．(2025·陕西渭南一模)如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
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10
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2R
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝R
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝5π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝4π
√
题号
1
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10
√
AC　[子弹做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，可得子弹在圆筒中运动的时间t＝，水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度v0＝＝2R，A正确，B错误；因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为θ＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，则角速度为ω＝＝＝(2n－1)π，故角速度可能为5π，不可能为4π，C正确，D错误。]
题号
1
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10
二、非选择题：共2小题。
9．(10分)某小组设计了“利用圆锥摆验证圆周运动向心力的表达式”实验。实验器材包括：直流电动机(可调节转速)、细竹棒、细线、小球(质量为m，可看成质点)、铁架台(带铁夹)、刻度尺、细棉线(长度为L)、胶水。实验步骤：
题号
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题号
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①用胶水把细竹棒中心固定在电动机转轴上；
②按图1把直流电动机固定在铁架台上，细竹棒保持水平，用导线把电动机接入电路中；
③把一端系有小球的细棉线系牢在细竹棒的一端，测出系线处到转轴的距离x；合上开关，电动机转动，使小球在水平面上做匀速圆周运动，调节电动机的转速，使小球转速在人眼可分辨的范围内。
题号
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题号
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④测出小球做圆周运动的半径r。
⑤用秒表测出小球转20圈所用的时间t，求出小球的转动周期T。
⑥实验中小球做圆周运动时摆角为θ，改变电动机转速，重复上述过程多次(5次)，作出tan θ-图像如图2。
题号
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10
根据实验完成以下内容：
(1)如图1可求sin θ＝__________(用L、x、r表示)；向心力F＝__________(用m、θ、重力加速度g表示)。
(2)步骤⑤可求出小球圆周运动的周期T＝_________。
(3)分析图2：如果tan θ与成________(选填“正比”或“反比”)关
系，直线的斜率值与表达式_______(用π和重力加速度g表示)相等，则向心力公式的正确性得到验证。
mg tan θ
正比
[解析]　(1)如题图1，sin θ＝；小球在运动过程中受到重力和绳子的拉力，重力和绳子的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，或者是绳子拉力的水平分量提供向心力，故F＝mg tan θ。
(2)小球做圆周运动的周期为T＝＝。
题号
1
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(3)根据向心力公式可知Fn＝mg tan θ＝mr，得tan θ＝·，根据上面的表达式可以推测tan θ-图像是直线，且其斜率为一常量，分析题图2，如果tan θ与成正比关系(即图像是过原点的一条直线)，直线的斜率值的表达式为，则向心力公式的正确性得到验证。
题号
1
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10．(14分)儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力。如图所示，游戏装置固定在水平地面上，由弧形轨道AB、竖直圆轨道BMCND、水平直轨道DE平滑连接而成，弧形轨道底端与圆轨道间略错开，不影响小球旋转后进入水平轨道。已知圆轨道半径R＝1 m，不计一切摩擦。
质量m＝1 kg的小球从离地高h处由静
止释放。
题号
1
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(1)若小球能通过轨道的最高点C，则h至少多大；
(2)若小球不会脱离轨道，则h的取值范围；
(3)若在竖直圆轨道D点正上方开一段缺口MN，M、N点关于OC对称，小球能沿路径BMND运动，当缺口所对的圆心角α为多大时h最小？h的最小值为多少？
题号
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[解析]　(1)若小球恰好通过C点，由重力提供向心力有mg＝
对小球从开始下滑到运动至C点的过程，由动能定理得mg(h－2R) ＝
解得h＝2.5 m。
题号
1
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(2)若小球刚好到达轨道圆心等高处，速度为0时，小球不会脱离轨道，则有
mgh＝mgR
解得h＝1 m
结合(1)可知h的取值范围为h1 m或h2.5 m。
题号
1
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(3)要使小球飞过缺口经过N点回到圆环，从释放小球到小球运动至M点，由动能定理得mg ＝
从M到N的斜抛过程有
vM sin ＝－vM sin ＋gt
vMt cos ＝2R sin
解得h＝R＋R cos (1＋)R
取等号时α＝90°，可知当α＝90°时，h有最小值(1＋) m。
题号
1
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[答案]　(1)2.5 m　(2)h1 m或h2.5 m　(3)90°　(1＋) m
谢 谢 ！课时数智作业(二十五)　实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
说明：本试卷共4小题，共26分。
1．(6分)(2025·山东枣庄联考)如图甲所示是向心力演示器，用于探究做圆周运动物体的向心力大小与物体的质量、半径、角速度的关系。挡板A、B、C可以控制小球做圆周运动的半径，所连弹簧测力筒的标尺露出的格数可以显示向心力的大小。挡板A、C到各自转轴的距离均为挡板B到转轴距离的一半。塔轮结构如图乙所示，每侧三个转轮的半径从小到大分别为r、2r、3r，可分别用传动皮带连接。请完成下列问题。
(1)探究向心力大小与物体质量的关系时，在挡板A处放铝球，挡板C处放钢球，传动皮带挂左塔轮的中轮，应挂右塔轮的________(选填“上”“中”或“下”)轮。
(2)探究向心力大小与角速度的关系时，应采用下列的________(选填“A”“B”或“C”)图所示安装器材。
A　　　　　　　　　　B
C
(3)某实验小组为验证向心力公式，将铝球放在挡板B处，钢球放在挡板C处，传动皮带均挂在左、右塔轮的上轮，摇动手柄，稳定后，右侧标尺露出1格，则左侧标尺应该露出________格。已知钢球质量是铝球质量的3倍。
2．(6分)(2025·辽宁鞍山一模)为探究向心力大小与角速度大小的关系，某实验小组用图甲所示装置进行实验。滑块套在光滑的水平杆上，右端通过一轻质细绳连接固定在竖直杆上的力传感器，水平杆固定在竖直杆上，当竖直杆匀速转动时，滑块绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器用来测量向心力F的大小。滑块上固定一遮光片，遮光片宽度为d，光电门可以记录遮光片通过光电门的时间Δt，测得滑块和遮光片的总质量为m，实验中测得滑块的旋转半径为r。当竖直杆匀速转动时，滑块每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和对应的遮光片通过光电门时间Δt的数据。改变转动速度，多次重复实验并记录对应的数据。
(1)用20分度的游标卡尺测量遮光条d的宽度如图乙所示，其读数为________ cm。
(2)某次测得遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω为________(用“d”“Δt”“r”表示)。
(3)若以向心力F为纵坐标，ω2为横坐标绘制图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，则其斜率为________(用“m”“r”表示)。
3．(8分)某兴趣小组的同学们用电动机、拉力传感器、电子计数器等设计了一个用圆锥摆验证向心力表达式的实验，如图所示。在支架上固定一个电动机，电动机转轴上固定一拉力传感器，传感器正下方用细线连接一个小球，在装置侧面安装一高度可以调节的电子计数器。本实验中除图中给出的实验器材外没有其他的器材，已知当地重力加速度大小为g。
①用刻度尺量出细线的长度L；
②闭合电源开关，稳定后，小球在水平面内做匀速圆周运动，记录此时拉力传感器的示数为F；
③稳定后，调节计数器前端的位置与球心在同一高度处，当小球第一次在离计数器最近的P点时计数器开始计数，并记录为1次，记录小球n次到达P点的时间t，用刻度尺测量出此时电子计数器前端与细线顶端的竖直距离h；
④切断电源，整理器材。
请回答下列问题：
(1)本实验中还需要测量的物理量是________(写出名称及符号)，如何测出该物理量________________(写明测量方法)。
(2)小球运动的周期为________(用题中所给物理量符号表示)。
(3)根据测量数据，需验证的向心力表达式为____________________________。(用题中所给物理量符号表示)
4．(6分)如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度之间的关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变来探究向心力F与线速度v的关系。
(1)该同学采用的实验方法为________。
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
(2)改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如表所示：
v/(m·s-1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
①作出F-v2图像；
②若圆柱体运动半径r＝0.2 m，由作出的F-v2的图像可得圆柱体的质量m＝________ kg。(结果保留两位有效数字)
课时数智作业(二十五)
1．解析：(1)探究向心力大小与物体质量的关系时，应控制物体做圆周运动的半径相同，物体做圆周运动的角速度相同，则在挡板A处放铝球，挡板C处放钢球，传动皮带挂左塔轮的中轮，应挂右塔轮中轮。
(2)探究向心力大小与角速度的关系时，应控制物体的质量相同，物体做圆周运动的半径相同，故应采用题图C所示安装器材。
(3)根据向心力表达式可得F左m铝rB，F右m钢rC，又rB2rC，m钢3m铝，ω左3ω右，联立可得F左∶F右6∶1，稳定后，右侧标尺露出1格，则左侧标尺应该露出6格。
答案：(1)中　(2)C　(3)6
2．解析：(1)游标卡尺的读数为6 mm＋14×0.05 mm6.70 mm0.670 cm。
(2)滑块转动的线速度v，则角速度ω。
(3)根据向心力公式Fmω2r，可以得出图线的斜率为mr。
答案：(1)0.670　(2)　(3)mr
3．解析：(1)本实验中还需要测量的物理量是小球的质量m；电动机不转时小球自然下垂，记录此时拉力传感器的示数为F0，则小球的质量m。
(2)小球运动的周期为T。
(3)重力和拉力的合力提供小球运动的向心力，Fn。
答案：(1)小球质量m　见解析　(2)
4．解析：(1)实验中探究向心力和线速度的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法是控制变量法，故选B。
(2)①作出F v2图像，如图所示。
②根据Fm，图像的斜率k，代入数据解得m≈0.18 kg。
答案：(1)B　(2)①见解析图　②0.18
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