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第五章 机械能守恒定律
微点突破六　用机械能守恒定律解决非质点问题
[学习目标]　1．掌握非质点类模型的特点及常见类型。2．会应用机械能守恒解决相关问题。
像“液柱”“链条”类物体，在其运动过程中会发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。解决这类问题的关键是准确找到物体位置变化部分重心高度的变化，从而正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况。
1．非质点类物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
3．非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体整体的动能才可表示为mv2。
角度1　“液柱”类物体的机械能守恒
[典例1]　(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开直至两筒水面高度相等，则该过程中(　　)
A．水柱所受重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是(－h2)2
√
√
√
ACD　[从连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水面做正功W左＝p0S，对右筒水面做负功W右＝－p0S·，抵消为零，水柱的机械能守恒，故C正确，B错误；重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降，重力做正功，则水柱的动能Ek＝WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，
故A、D正确。]
角度2　绳索、链条类物体的机械能守恒
[典例2]　如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
√
A　[设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，链条全部滑出斜面后，由机械能守恒定律可得－mgL＝×2mv2－2mg·，解得v＝＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
角度3　“多个小球”类问题
[典例3]　(多选)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B各小球依次标记为1，2，3，…，N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物
拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不
计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．N个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D．第1个小球到达最低点的速度v＜
√
√
AD　[在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而圆弧面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后，后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第1个小球在下滑过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；由于小球在下滑过程中速度发生变化，相互间的弹力变化，所以第N个小
球不可能做匀加速运动，故C错误；当重心下降时，根据机械能守恒定律得mv2＝mg·，解得v＝，同样对整体在AB段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度v＜，故D正确。]
1．如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是(重力加速度为g)(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[设U形管的横截面积为S，液体的密度为ρ，拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得ρSg·＝ρ·5hSv2，解得v＝，故B正确。]
[教师备选资源]
一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是(　　)
A．va＝vb＝vc B．vaC．vc>va>vb D．vb>vc>va
√
C　[图a中根据机械能守恒定律有mg·＝，解得va＝，图b中根据机械能守恒定律有mg＝，解得vb＝，图c中根据机械能守恒定律有mg＋mg·＝，解得vc＝，则有vc>va>vb，故选C。]
2．(2025·辽宁大连高三模拟)如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，
下列说法正确的是(　　)
A．刚释放物块时，细线的拉力大小等于mg
B．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能守恒
C．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块的机械能减少了mgl
D．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能增加了mgl
√
C　[刚释放的时候，物块有向下的加速度，根据牛顿第二定律有mg－FT＝ma，可知细线拉力小于mg，故A错误；在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，拉力对软绳做了功，软绳机械能不守恒，故B错误；软绳刚离开滑轮的时候，设物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg··＝×2mv2，解得v＝，则物块机械能的减少量为ΔE减＝mg·mv2＝mgl，故C正确；系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了mgl，所以软绳的机械能增加了mgl，故D错误。]
3．如图所示，露天娱乐场中过山车是由许多节完全相同的车厢组成，过山车先沿水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形轨道，若过山车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，为使整个过山车安全通过固定的圆形轨道，那么过山车在运行到圆形轨道前的速度至少为(车厢间的距离不计，忽略一切摩擦)(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[当过山车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，过山车的质量为M，圆形轨道上那部分过山车的质量M′＝·2πR，由机械能守恒定律可得＝Mv2＋M′gR，又因圆形轨道顶部车厢应满足mgm，可求得v0，故C正确。]
4．如图甲所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧管道(图中未画出)相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止放在ABC上，其一端D到B的距离为L－a，现自由释放链条(结果可以用根式表示，重力加速度为g)。
(1)求链条的D端滑到B点时，链条的速度大小；
(2)若将此链条放在桌腿足够长的光滑水平桌面上，桌边固定一弧形光滑管道(图中未画出)，如图乙所示，且使长度为L的部分链条悬在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，求链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小(已知链条未着地，且运动过程中无能量损失)。
[解析]　(1)设链条的质量为m，D端滑到B点时链条的速度为v，将水平面上长为L－a的链条填补到斜面上链条的下端，根据链条重力势能减少量等于动能的增加量，有mgsin θ＝mv2
解得v＝。
(2)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v′，桌面为零势能面，开始时链条的机械能为E1＝－mg·L
当链条刚脱离桌面时的机械能为E2＝－mg·
由机械能守恒定律可得E1＝E2
联立解得v′＝。
[答案]　(1)　(2)
谢 谢 ！微点突破六　用机械能守恒定律解决非质点问题
[学习目标]　1．掌握非质点类模型的特点及常见类型。2．会应用机械能守恒解决相关问题。
像“液柱”“链条”类物体，在其运动过程中会发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。解决这类问题的关键是准确找到物体位置变化部分重心高度的变化，从而正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况。
1．非质点类物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
3．非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体整体的动能才可表示为mv2。
　“液柱”类物体的机械能守恒
[典例1]　(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开直至两筒水面高度相等，则该过程中(　　)
A．水柱所受重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是(－h2)2
　绳索、链条类物体的机械能守恒
[典例2]　如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
　“多个小球”类问题
[典例3]　(多选)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B各小球依次标记为1，2，3，…，N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．N个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D．第1个小球到达最低点的速度v＜
1．如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是(重力加速度为g)(　　)
A． B．
C． D．
2．(2025·辽宁大连高三模拟)如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．刚释放物块时，细线的拉力大小等于mg
B．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能守恒
C．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块的机械能减少了mgl
D．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能增加了mgl
3．如图所示，露天娱乐场中过山车是由许多节完全相同的车厢组成，过山车先沿水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形轨道，若过山车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，为使整个过山车安全通过固定的圆形轨道，那么过山车在运行到圆形轨道前的速度至少为(车厢间的距离不计，忽略一切摩擦)(　　)
A． B．
C． D．
4．如图甲所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧管道(图中未画出)相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止放在ABC上，其一端D到B的距离为L－a，现自由释放链条(结果可以用根式表示，重力加速度为g)。
(1)求链条的D端滑到B点时，链条的速度大小；
(2)若将此链条放在桌腿足够长的光滑水平桌面上，桌边固定一弧形光滑管道(图中未画出)，如图乙所示，且使长度为L的部分链条悬在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，求链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小(已知链条未着地，且运动过程中无能量损失)。
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微点突破六　用机械能守恒定律解决非质点问题
微点探究
典例1　ACD　[从连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水面做正功W左p0S，对右筒水面做负功W右－p0S，抵消为零，水柱的机械能守恒，故C正确，B错误；重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高
，重力做正功，则水柱的动能EkWGρgS(h1－h2)2，故A、D正确。
]
典例2　A　[设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为EEp＋Ek－mg·sin θ－mg·mgL，链条全部滑出斜面后，由机械能守恒定律可得－，解得v2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
典例3　AD　[在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而圆弧面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后，后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第1个小球在下滑过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；由于小球在下滑过程中速度发生变化，相互间的弹力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，故C错误；当重心下降，解得v，同样对整体在AB段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度v，故D正确。]
微点训练
1．B　[设U形管的横截面积为S，液体的密度为ρ，拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得ρSρ·5hSv2，解得v，故B正确。]
2．C　[刚释放的时候，物块有向下的加速度，根据牛顿第二定律有mg－FTma，可知细线拉力小于mg，故A错误；在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，拉力对软绳做了功，软绳机械能不守恒，故B错误；软绳刚离开滑轮的时候，设物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg·×2mv2，解得v，则物块机械能的减少量为ΔE减mg·mgl，故C正确；系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了mgl，所以软绳的机械能增加了mgl，故D错误。]
3．C　[当过山车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，过山车的质量为M，圆形轨道上那部分过山车的质量M'·2πR，由机械能守恒定律可得Mv2＋M'gR，又因圆形轨道顶部车厢应满足mgm，可求得v0，故C正确。]
4．解析：(1)设链条的质量为m，D端滑到B点时链条的速度为v，将水平面上长为L－a的链条填补到斜面上链条的下端，根据链条重力势能减少量等于动能的增加量，有sin θmv2
解得v。
(2)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v'，桌面为零势能面，开始时链条的机械能为E1－L
当链条刚脱离桌面时的机械能为E2
由机械能守恒定律可得E1E2
联立解得v'。
答案：(1)
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