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第37课时　机械振动
[学习目标]　1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
1．简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向____，物体的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中___为零的位置。
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向____的力。
②方向：总是指向____。
③性质：属于__力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的__或某个力的__。
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝___，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝_______，其中A代表振幅，代表简谐运动的快慢，t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝_______，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝_______，图像如图乙所示。
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的__与小球相比可以忽略，球的直径与细线的__相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G沿圆弧__方向的分力。
(3)运动规律：__很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝___。
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在___作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于___的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)__。
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的____时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率__固有频率。
③共振的特征：共振时__最大。
④共振曲线：f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅__，如图所示。
1．易错易混辨析
人教版选择性必修第一册“做一做”：如图所示，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。判断下列说法正误：
(1)钢球在O点时受到弹簧弹力和重力作用，二者平衡，故O点是钢球的平衡位置。 (　　)
(2)自释放点开始计时，钢球在t时刻的位移是x＝A sin 。 (　　)
(3)若将此钢球与细线组成单摆让其做简谐运动，则钢球在最低点时回复力为零，合力也为零。 (　　)
(4)若该系统在周期性驱动力的作用下振动，一定发生共振现象。 (　　)
2．(人教版选择性必修第一册改编)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
3．(人教版选择性必修第一册改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　)
A．此单摆的固有周期为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率会增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
简谐运动的基本特征
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内通过的路程s＝4A，个周期内通过的路程s＝2A，但个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔(n＝0，1，2，…)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，偏离平衡位置的位移、速度、加速度、回复力大小相等，方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋(n＝0，1，2，…)时刻运动到D点，则偏离平衡位置的位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
(2)如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，相对于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。
(3)如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子在往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒，且振幅越大，能量越大。
　简谐运动的运动学和动力学特征
[典例1]　(多选)(2025·湖北卷)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动
　简谐运动的周期性和对称性
[典例2]　小球做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P点，又经过0.2 s，小球第二次经过P点，则再过多长时间该振子第三次经过P点(　　)
A．1.0 s B．2.4 s
C．0.8 s D．2.2 s
简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和初相。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
　简谐运动的表达式
[典例3]　(2025·甘肃兰州一模)在建筑工地上，工人使用插入式混凝土振捣器对浇筑的混凝土进行振捣作业。振捣器开启后，其内部的偏心块高速旋转，带动振捣棒做简谐运动，并将振动传递给混凝土。已知振捣棒的振动方程为x＝sin mm。下列说法正确的是(　　)
A．振捣棒做简谐运动的频率为50 Hz
B．t＝0时刻，振捣棒的位移为1.5 mm
C．振捣棒在1 s内通过的路程是600 mm
D．振捣棒的振动频率越高，混凝土颗粒的振动一定越剧烈
　简谐运动的图像
[典例4]　(多选)(2025·河北保定一模)如图甲所示，某弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子振动的圆频率为 rad/s
B．弹簧振子的振动方程为x＝20sin t(cm)
C．在t＝3 s和t＝5 s时刻弹簧的弹性势能相同
D．从t＝3 s到t＝5 s时间内弹簧振子运动的路程大于20 cm
单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，摆角θ很小时，F＝mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与偏离平衡位置的位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝最大，FT＝4)单摆做简谐运动的条件为摆角很小。
2．周期公式T＝2π的三点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解。
　单摆周期公式
[典例5]　(2025·四川卷)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D．小球丙、丁的摆长之比为1∶2
　单摆振动图像
[典例6]　(2025·河北秦皇岛一模)如图甲所示是一个单摆，摆球在竖直面做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度大小为v，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知(　　)
A．该单摆振动的频率为0.8 Hz
B．振动方程为x＝－4cos (2.5πt)cm
C．t＝0时，摆球速度大小为v
D．t＝0.2 s时，摆球加速度为零
　等效摆长问题
[典例7]　(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为 N
D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(小摆角) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的变化，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
[典例8]　如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，小球振动的频率为4 Hz。现使圆盘以600 r/min的转速匀速转动，经过一段时间后达到稳定，下列说法正确的是(　　)
A．稳定后小球振动的周期为0.25 s
B．稳定后小球振动的周期为0.1 s
C．使圆盘以900 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来大
D．使圆盘以300 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来小
第37课时　机械振动
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)平衡位置　(2)回复力　(3)平衡位置　平衡位置　效果　合力　分力
2．(1)－kx　Asin
(2)Asin
3．(1)质量　长度　(2)切线　(3)摆角
(4)2π
4．(1)驱动力　驱动力　无关　(2)固有频率　等于　振幅　越小
技能激活·易错攻坚
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．D　[振子从BOC仅完成了半次全振动，所以周期T2×1 s2 s，振幅ABO5 cm，选项A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A20 cm，所以在两次全振动中通过的路程为40 cm，选项C错误；从B点开始经过3 s，即经过时间 1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，选项D正确。]
3．B　[由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T2π，解得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　AD　[经分析可知，只要小球a不运动，下拉l长度后由静止释放的小球b始终做简谐运动，且振幅为l，B错误；系统静止时，对小球b由平衡条件可得，弹簧的伸长量x1，当小球a恰好不运动时，对小球a由平衡条件可知，小球b运动到最高点弹簧的压缩量x2，此时小球b的振幅为，所以当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动，C错误，D正确；综上可知，当l＞时，小球a会运动，A正确。]
典例2　D　[若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示，则小球的振动周期为T1(0.5＋0.1)×4 s2.4 s，则该小球再经过时间ΔtT1－0.2 s2.2 s，第三次经过P点；若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示，则有0.5 s＋0.1 sT2，小球的振动周期为T20.8 s，则该小球再经过时间Δt'T2－0.2 s0.6 s，第三次经过P点，A、B、C错误，D正确。
　　 ]
考点2
典例3　C　[根据表达式x mm，可知频率为f Hz100 Hz，将t0代入解得x mm，故A、B错误；振捣棒的周期为T0.01 s，由于1 s100T，则振捣棒在1 s内通过的路程是s100×4A600 mm，故C正确；当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D错误。]
典例4　BD　[由题图乙可知，周期T8 s，弹簧振子振动的圆频率ω rad/s rad/s，故A错误；弹簧振子的振动方程为x20sin t(cm)，故B正确；因为弹簧振子是在竖直方向上的振动，平衡位置并不是弹簧原长位置，所以在t3 s和t5 s时刻弹簧的形变量不同，弹性势能也不相同，故C错误；t3 s时刻弹簧振子的位移为10 cm，t5 s时刻弹簧振子的位移为－10 cm，从t3 s到t5 s时间内弹簧振子的路程为s(10) cm20 cm＞20 cm，故D正确。]
考点3
典例5　C　[根据单摆周期公式T2π，可知T丁＞T丙＞T乙＞T甲，设甲的周期为T甲，根据题意可得2T甲T丙，可得T丙2T甲，T乙T甲，T丁4T甲，可得T甲∶T乙3∶4，T丙∶T丁1∶2；根据单摆周期公式T2π，结合T丙∶T丁1∶2，可得小球丙、丁的摆长之比l丙∶l丁1∶4，故C正确，D错误；小球甲第一次回到释放位置时，经过T甲时间，小球丙到达另一侧最高点，此时小球丙速度为零，位移最大，根据a－可知此时小球丙加速度最大，故A错误；根据上述分析可得T乙T丁，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为，可知此时小球乙经过平衡位置，小球乙速度最大，动能最大，故B错误。]
典例6　B　[由振动图像可知周期为0.8 s，即可得频率f1.25 Hz，故A错误；由振动图像可得振幅A4 cm，因为ω2πf，联立以上解得摆球的振动方程为x－4cos(2.5πt)cm，故B正确；由振动图像的斜率表示速度可知，t0时，摆球速度大小为0，故C错误；由回复力与位移的关系，结合振动图像，可知t0.2 s时摆球在平衡位置，速度最大，在竖直方向上，拉力与重力的合力提供向心力，即摆球有向心加速度，故D错误。]
典例7　B　[由单摆的周期公式T2π可知，单摆的周期与摆角无关，故摆角变小，周期不变，A错误；由于同一光滑细线上的拉力大小处处相等，则由题意可知，小球平衡时，细线A端拉力等于B端拉力，D错误；对平衡时的小球受力分析，如图所示，则由力的平衡条件可知FAcos 30°＋FBcos 30°mg，又FAFB，代入数据解得FA N，C错误；由几何关系可知单摆的摆长l1 m，则由T2π可知小球摆动周期T≈2 s，B正确。
]
考点4
典例8　B　[由题意可知，小球和弹簧组成的系统的固有频率为4 Hz，则其固有周期为0.25 s，圆盘转速为600 r/min，则圆盘转动的频率为10 Hz，周期为0.1 s，圆盘转动使小球做受迫振动，故稳定后小球振动的周期与驱动力的周期一致，为0.1 s，故A错误，B正确；圆盘转速为900 r/min时，驱动力频率为15 Hz，与小球的固有频率相差比原来更大，故稳定后小球振动的振幅比原来小，圆盘转速为300 r/min时，驱动力频率为5 Hz，和固有频率相差比原来小，故稳定后小球振动的振幅比原来大，故C、D错误。]
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第七章 机械振动 机械波
[教师备选资源]
考情分析 简谐运动、振动图像 2025·湖北卷·T9、2025·甘肃卷·T8、2025·江苏卷·T10、2024·甘肃卷·T5、2024·浙江1月选考·T10、2023·山东卷·T10、2022·河北卷·T16(1)、2022·重庆卷·T16(1)、2022·湖南卷·T16(1)
机械波 2025·云南卷·T7、2025·安徽卷·T2、2025·山东卷·T9、2025·重庆卷·T8、2025·河南卷·T8、2024·江西卷·T6、2024·江苏卷·T7、2024·湖南卷·T2、2024·山东卷·T9、2024·安徽卷·T3、2024·新课标卷·T6、2023·湖南卷·T3、2023·新课标卷·T14
考情分析 波的图像 2025·海南卷·T5、2025·北京卷·T5、2025·广西卷·T13、2025·浙江1月选考·T12、2024·广东卷·T3、2024·全国甲卷·T34(1)、2023·全国甲卷·T34(2)、2022·全国甲卷·T34(1)、2022·浙江6月选考·T16、2022·辽宁卷·T3
振动图像和波的图像 2025·陕晋青宁卷·T8、2023·全国乙卷·T34(1)、2023·湖北卷·T7、2023·海南卷·T4、2022·山东卷·T9、2021·辽宁卷·T7、2021·山东卷·T10
考情分析 波的干涉、衍射和反射 2025·湖南卷·T7、2025·黑吉辽蒙卷·T5、2025·四川卷·T2、2024·浙江1月选考·T15、2023·浙江6月选考·T11、2022·全国乙卷·T34(1)、2022·浙江1月选考·T15
受迫振动、多普勒效应 2025·广东卷·T1、2025·四川卷·T5
实验：用单摆测量重力加速度 2025·海南卷·T7、2024·湖北卷·T12、2023·新课标卷·T23
备考策略 1．掌握简谐运动的规律，理解单摆的周期公式，知道共振的条件及应用。
2．理解振动图像和波的图像，能将二者结合起来分析振动规律。
3．关注生活中有关机械波的现象，如干涉、衍射、多普勒效应等，了解共振筛、地震波、多普勒彩超原理。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，会用单摆测量重力加速度。
第37课时　机械振动
[学习目标]　1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
回归教材 · 双基过关
1．简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向________，物体的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中______为零的位置。
平衡位置
回复力
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向________的力。
②方向：总是指向________。
③性质：属于____力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的____或某个力的____。
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝______，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝_________________，其中A代表振幅，代表简谐运动的快慢，t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
－kx
A sin
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝______________，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝_____________，图像如图乙所示。
A sin
A sin
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的____与小球相比可以忽略，球的直径与细线的____相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G沿圆弧____方向的分力。
(3)运动规律：____很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝________。
质量
长度
切线
摆角
2π
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在______作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于______的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)____。
驱动力
驱动力
无关
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的________时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率____固有频率。
③共振的特征：共振时____最大。
④共振曲线：f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，
物体做受迫振动的振幅____，如图所示。
固有频率
等于
振幅
越小
1．易错易混辨析
人教版选择性必修第一册“做一做”：如图所示，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。判断下列说法正误：
(1)钢球在O点时受到弹簧弹力和重力作用，二者平衡，故O点是钢球的平衡位置。 (　　)
(2)自释放点开始计时，钢球在t时刻的位移是x＝A sin 。 (　　)
(3)若将此钢球与细线组成单摆让其做简谐运动，则钢球在最低点时回复力为零，合力也为零。 (　　)
(4)若该系统在周期性驱动力的作用下振动，一定发生共振现象。 (　　)
√
√
×
×
2．(人教版选择性必修第一册改编)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
√
D　[振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，选项A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以在两次全振动中通过的路程为40 cm，选项C错误；从B点开始经过3 s，即经过时间 1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，选项D正确。]
3．(人教版选择性必修第一册改编)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　)
A．此单摆的固有周期为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率会增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
√
B　[由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s，A错误；由T＝2π，解得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。]
考点深研 · 题型突破
考点1　简谐运动的基本特征
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内通过的路程s＝4A，个周期内通过的路程s＝2A，但个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔(n＝0，1，2，…)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，偏离平衡位置的位移、速度、加速度、回复力大小相等，方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋(n＝0，1，2，…)时刻运动到D点，则偏离平衡位置的位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
(2)如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，相对于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。
(3)如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子在往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒，且振幅越大，能量越大。
角度1　简谐运动的运动学和动力学特征
[典例1]　(多选)(2025·湖北卷)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动
√
√
AD　[经分析可知，只要小球a不运动，下拉l长度后由静止释放的小球b始终做简谐运动，且振幅为l，B错误；系统静止时，对小球b由平衡条件可得，弹簧的伸长量x1＝，当小球a恰好不运动时，对小球a由平衡条件可知，小球b运动到最高点弹簧的压缩量x2＝，此时小球b的振幅为，所以当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动，C错误，D正确；综上可知，当l>时，小球a会运动，A正确。]
角度2　简谐运动的周期性和对称性
[典例2]　小球做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P点，又经过0.2 s，小球第二次经过P点，则再过多长时间该振子第三次经过P点(　　)
A．1.0 s B．2.4 s
C．0.8 s D．2.2 s
√
D　[若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示，则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点；若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示，则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P点，A、B、C错误，D正确。]
考点2　简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和初相。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
角度1　简谐运动的表达式
[典例3]　(2025·甘肃兰州一模)在建筑工地上，工人使用插入式混凝土振捣器对浇筑的混凝土进行振捣作业。振捣器开启后，其内部的偏心块高速旋转，带动振捣棒做简谐运动，并将振动传递给混凝土。已知振捣棒的振动方程为x＝sin mm。下列说法正确的是(　　)
A．振捣棒做简谐运动的频率为50 Hz
B．t＝0时刻，振捣棒的位移为1.5 mm
C．振捣棒在1 s内通过的路程是600 mm
D．振捣棒的振动频率越高，混凝土颗粒的振动一定越剧烈
√
C　[根据表达式x＝sin mm，可知频率为f＝＝ Hz＝100 Hz，将t＝0代入解得x＝ mm，故A、B错误；振捣棒的周期为T＝＝0.01 s，由于1 s＝100T，则振捣棒在1 s内通过的路程是s＝100×4A＝600 mm，故C正确；当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D错误。]
角度2　简谐运动的图像
[典例4]　(多选)(2025·河北保定一模)如图甲所示，某弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子振动的圆频率为 rad/s
B．弹簧振子的振动方程为x＝20sin t(cm)
C．在t＝3 s和t＝5 s时刻弹簧的弹性势能相同
D．从t＝3 s到t＝5 s时间内弹簧振子运动的路程大于20 cm
√
√
BD　[由题图乙可知，周期T＝8 s，弹簧振子振动的圆频率ω＝＝
rad/s＝ rad/s，故A错误；弹簧振子的振动方程为x＝20sin t(cm)，故B正确；因为弹簧振子是在竖直方向上的振动，平衡位置并不是弹簧原长位置，所以在t＝3 s和t＝5 s时刻弹簧的形变量不同，弹性势能也不相同，故C错误；t＝3 s时刻弹簧振子的位移为10 cm，t＝5 s时刻弹簧振子的位移为－10 cm，从t＝3 s到t＝5 s时间内弹簧振子的路程为s＝(10＋10) cm＝20 cm>20 cm，故D正确。]
[教师备选资源]
(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则(　　)
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
√
D　[以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，故A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位
差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播，小球在屏上的影子的位置也处于最高点，即影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。]
考点3　单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，摆角θ很小时，F＝mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与偏离平衡位置的位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F向＝FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝最大，FT＝。
(4)单摆做简谐运动的条件为摆角很小。
2．周期公式T＝2π的三点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解。
角度1　单摆周期公式
[典例5]　(2025·四川卷)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧
最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最
高点。则(　　)
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D．小球丙、丁的摆长之比为1∶2
√
C　[根据单摆周期公式T＝2π，可知T丁>T丙>T乙>T甲，设甲的周期为T甲，根据题意可得2T甲＝＝T丙＝，可得T丙＝2T甲，T乙＝T甲，T丁＝4T甲，可得T甲∶T乙＝3∶4，T丙∶T丁＝1∶2；根据单摆周期公式T＝2π，结合T丙∶T丁＝1∶2，可得小球丙、丁的摆长之比l丙∶l丁＝1∶4，故C正确，D错误；小球甲第一次回到释放位
置时，经过T甲时间，小球丙到达另一侧最高点，此时小球丙速度为零，位移最大，根据a＝－可知此时小球丙加速度最大，故A错误；根据上述分析可得T乙＝T丁，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为，可知此时小球乙经过平衡位置，小球乙速度最大，动能最大，故B错误。]
角度2　单摆振动图像
[典例6]　(2025·河北秦皇岛一模)如图甲所示是一个单摆，摆球在竖直面做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度大小为v，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知(　　)
A．该单摆振动的频率为0.8 Hz
B．振动方程为x＝－4cos (2.5πt)cm
C．t＝0时，摆球速度大小为v
D．t＝0.2 s时，摆球加速度为零
√
B　[由振动图像可知周期为0.8 s，即可得频率f＝＝1.25 Hz，故A错误；由振动图像可得振幅A＝4 cm，因为ω＝2πf，联立以上解得摆球的振动方程为x＝－4cos (2.5πt)cm，故B正确；由振动图像的斜率表示速度可知，t＝0时，摆球速度大小为0，故C错误；由回复力与位移的关系，结合振动图像，可知t＝0.2 s时摆球在平衡位置，速度最大，在竖直方向上，拉力与重力的合力提供向心力，即摆球有向心加速度，故D错误。]
角度3　等效摆长问题
[典例7]　(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为 N
D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
√
B　[由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与摆角无关，故摆角变小，周期不变，A错误；由于同一光滑细线上的拉力大小处处相等，则由题意可知，小球平衡时，细线A端拉力等于B端拉力，D错误；对平衡时的小球受力分析，如图所示，则由力的平衡条件可知FA cos 30°＋FB cos 30°＝mg，又FA＝FB，代入数据解得FA＝ N，C错误；由几何关系可知单摆的摆长l＝＝1 m，则由
T＝2π可知小球摆动周期T≈2 s，B正确。]
考点4　受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
项目 简谐运动 受迫振动 共振
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(小摆角) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的变化，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
[典例8]　如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。当圆盘静止时，小球振动的频率为4 Hz。现使圆盘以600 r/min的转速匀速转动，经过一段时间后达到稳定，下列说法正确的是(　　)
A．稳定后小球振动的周期为0.25 s
B．稳定后小球振动的周期为0.1 s
C．使圆盘以900 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来大
D．使圆盘以300 r/min匀速转动，稳定后小球振动的振幅比原来小
√
B　[由题意可知，小球和弹簧组成的系统的固有频率为4 Hz，则其固有周期为0.25 s，圆盘转速为600 r/min，则圆盘转动的频率为10 Hz，周期为0.1 s，圆盘转动使小球做受迫振动，故稳定后小球振动的周期与驱动力的周期一致，为0.1 s，故A错误，B正确；圆盘转速为900 r/
min时，驱动力频率为15 Hz，与小球的固有频率相差比原来更大，故稳定后小球振动的振幅比原来小，圆盘转速为300 r/min时，驱动力频率为5 Hz，和固有频率相差比原来小，故稳定后小球振动的振幅比原来大，故C、D错误。]
课时数智作业(三十七)　机械振动
题号
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说明：第1～7题，每小题4分；第8～11题，每小题5分；本试卷共48分。
1．(2025·江苏宿迁一模)某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法中正确的是(　　)
A．声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B．声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C．需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D．在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
√
11
D　[发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而使玻璃杯碎裂，与音量的大小无关。故选D。]
题号
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2．(多选)(2024·贵州卷)如图所示，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，
则小球在t＝1.5T时刻(　　)
题号
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A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
√
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√
AC　[小球做简谐运动，则小球在t＝1.5T时刻的状态与在t＝0.5T时刻的状态相同，由题意可知t＝0时，小球的速度为0，位移最大，方向为负，则t＝0.5T 时，小球的速度为0，位移最大，方向为正，A正确，B错误；由F＝－kx可知，t＝0.5T时，小球受到的回复力最大，方向为负，由牛顿第二定律可知，此时小球的加速度最大，方向为负，C正确，D错误。]
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3．(2025·陕西西安一模)一单摆做简谐运动。若图a中的正弦曲线为摆球偏离平衡位置的位移x与时间的关系图像，图b与图a中横轴的单位相等，则图b中的y可能代表(　　)
A．摆球的速度
B．摆球向心加速度的大小
C．摆球的回复力
D．摆球的重力势能
√
题号
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C　[由单摆运动特点知，位移为零时，单摆处于平衡位置，此时回复力为零，做简谐运动的加速度为零，速度大小最大，重力势能最小，因为题图a为位移—时间图像，当位移为零时，速度大小最大，而题图b对应时刻是零，故A错误；向心加速度大小只有正值没有负值，而题图b有负值，故B错误；单摆回复力F＝－kx，可知回复力方向与位移方向时刻相反，且回复力大小与位移大小成正比，结合题图a和题图b可知C符合题意，故C正确；因为题图a为位移—时间图像，当位移为零时，单摆处于最低点，所以重力势能最小，与题图b零时刻不符合，故D错误。]
题号
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4．(2024·福建卷改编)某质点在竖直方向上做简谐运动，取竖直向上为正方向，其振动图像如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
√
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B　[由题图可知该简谐运动的振幅为1 cm，A错误；由题图可知，振动周期为0.4 s，由 ＝可知，频率为2.5 Hz，B正确；0.1 s时，质点位于平衡位置，此时速度达到最大值，C错误；0.2 s时，质点位于负向最大位移处，加速度方向指向平衡位置，方向竖直向上，D错误。]
题号
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5．(2024·河北卷)如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　　)
题号
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A．0.2 rad/s，1.0 m
B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m
D．1.26 rad/s，1.25 m
√
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C　[由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在 12.5 s 内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。]
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6．(人教版选择性必修第一册改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图1所示。该共振筛的共振曲线如图2所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；减少筛子质量，可增大筛子的固有频率。在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．共振筛的固有周期是0.8 s
B．仅适当增加电压可以增大筛子的振幅
C．仅适当减小筛子的质量可以增大筛子的振幅
D．当前驱动力的周期与地面附近摆长为1 m的单摆周期很接近
√
题号
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题号
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11
C　[根据题图2可知，筛子的固有频率为0.8 Hz，所以固有周期是T＝＝1.25 s，故A错误；在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，驱动力频率f0＝1 Hz, 增加电压，转速增大，驱动力频率增大，远离固有频率，筛子的振幅减小，故B错误；仅适当减小筛子的质量，可以增大固有频率，接近驱动力频率，可以增大筛子的振幅，故C正确；当前驱动力周期为T0＝1 s，周期为1 s的单摆，根据T＝2π得，摆长约为
0.25 m，故D错误。]
题号
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7．(2025·北京房山一模)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取
10 m/s2，π2≈10。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．单摆的摆长约为2.0 m
B．从t＝1.5 s到t＝2.0 s时间内，摆球的动能逐渐增大
C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s时间内，摆球所受回复力逐渐增大
D．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (2πt) cm
√
题号
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B　[由题图乙可知，单摆的周期为T＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π，可得L≈1 m，故A错误；由题图乙可知，从t＝1.5 s到t＝2.0 s的振动中，摆球向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故B正确；由题图乙可知，从t＝0.5 s到t＝1.0 s的振动中，摆球向平衡位置运动，位移减小，根据F＝－kx可知，回复力逐渐减小，故C错误；由题图乙可知，振幅A＝8 cm，φ＝0，角速度ω＝＝π rad/s，单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm，故D错误。]
题号
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8．(2025·北京顺义一模)如图所示为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时
间t变化的关系为a＝4sin (2.5πt)m/s2。下列说法正
确的是(　　)
题号
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A．手机振动的周期T＝2.5 s
B．t＝0.4 s时，弹簧弹力为零
C．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
D．从t＝0.4 s至t＝0.6 s，手机的动能减小
√
题号
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D　[由题意可知ω＝2.5π rad/s，可得T＝＝0.8 s，故A错误；t＝0.4 s时，a1＝4sin (2.5π×0.4) m/s2＝0，由牛顿第二定律可知F合1＝ma1＝0可知，此时弹簧弹力与重力二力平衡，弹簧弹力不为零，故B错误；t＝0.2 s时，a2＝＝4 m/s2，可知手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，故C错误；t＝0.6 s时，a3＝4sin (2.5π×0.6) m/s2＝－4 m/s2可知，t＝0.4 s至t＝0.6 s时间内，手机从平衡位置向平衡位置上方移动，由于在平衡位置时手机速度最大，因此手机动能减小，故D正确。]
题号
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9．(2025·黑龙江哈尔滨一模)如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两单摆的摆长之比为9∶4
B．乙单摆的振动方程x＝8sin cm
C．甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能
D．0～1 s内，甲摆球的重力势能增大，乙摆
球的重力势能减小
√
题号
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B　[由振动图像可知，甲、乙单摆的周期T甲＝4 s，T乙＝6 s，根据单摆周期公式T＝2π，可知＝＝＝，故A错误；对乙单摆有T乙＝6 s，A＝8 cm，故ω乙＝＝ rad/s，由题图可知，t＝0时刻，乙单摆的位移为0，且向负方向运动，故乙单摆的振动方程为x＝8sin cm，故B正确；单摆的机械能与摆球的质量、振幅等
题号
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11
因素有关，仅从振动图像无法判断两单摆小球的质量关系，所以不能比较机械能的大小，故C错误；0～1 s内，甲、乙摆球均从平衡位置向最高点运动，故甲、乙摆球的重力势能均增大，故D错误。]
题号
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10．(多选)某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是(　　)
题号
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A．由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B．只减小斜面倾角，则单摆周期将增大
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
√
题号
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√
BC　[根据题意，由题图乙可知，小球摆动的周期为T＝2×(0.9－0.1) s＝1.6 s，故A错误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g′＝g sin θ，由单摆周期公式有T＝2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将增大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。]
题号
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11．(多选)(2025·黑龙江鸡西一模)在半径为R的某球状天体表面，有一表面积足够大的水池。如图所示，一质量为M、横截面积为S的木块，浮在水面上。现将木块向上提起一小段距离后放手，木块立即在水中做周期为T0的简谐运动。已知水的密度为ρ0，木块的密度为水的密度的二分之一，引力常量为G，简谐运动的周期公式为T＝2π(其中k是回复力与位移的比，m为振子的质量)。忽略天体的自转，则该天体表面的重力加速度g和天体的密度ρ分别为(　　)
题号
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A．g＝ B．g＝
C．ρ＝ D．ρ＝
题号
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√
√
AC　[木块做简谐运动处于平衡位置时Mg＝ρ0gSh，让木块偏离平衡位置发生一段位移x，则振动方向的合外力大小为F＝|ρ0gS(h＋x)－Mg|＝|ρ0gSx|，因为合外力与位移方向相反，故F回＝－ρ0gSx，即k＝ρ0gS，故周期为T0＝2π，整理得g＝，A正确，B错误；由G＝mg，M星＝ρ·πR3，可得天体的密度为ρ＝，C正确，D错误。]
题号
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谢 谢 ！课时数智作业(三十七)　机械振动
说明：第1～7题，每小题4分；第8～11题，每小题5分；本试卷共48分。
1．(2025·江苏宿迁一模)某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法中正确的是(　　)
A．声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B．声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C．需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D．在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
2．(多选)(2024·贵州卷)如图所示，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t＝0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t＝1.5T时刻(　　)
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的回复力大小为零
3．(2025·陕西西安一模)一单摆做简谐运动。若图a中的正弦曲线为摆球偏离平衡位置的位移x与时间的关系图像，图b与图a中横轴的单位相等，则图b中的y可能代表(　　)
A．摆球的速度
B．摆球向心加速度的大小
C．摆球的回复力
D．摆球的重力势能
4．(2024·福建卷改编)某质点在竖直方向上做简谐运动，取竖直向上为正方向，其振动图像如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
5．(2024·河北卷)如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　　)
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
6．(人教版选择性必修第一册改编)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图1所示。该共振筛的共振曲线如图2所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；减少筛子质量，可增大筛子的固有频率。在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。下列说法正确的是(　　)
A．共振筛的固有周期是0.8 s
B．仅适当增加电压可以增大筛子的振幅
C．仅适当减小筛子的质量可以增大筛子的振幅
D．当前驱动力的周期与地面附近摆长为1 m的单摆周期很接近
7．(2025·北京房山一模)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，π2≈10。下列说法正确的是(　　)
A．单摆的摆长约为2.0 m
B．从t＝1.5 s到t＝2.0 s时间内，摆球的动能逐渐增大
C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s时间内，摆球所受回复力逐渐增大
D．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (2πt) cm
8．(2025·北京顺义一模)如图所示为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的关系为a＝4sin (2.5πt)m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．手机振动的周期T＝2.5 s
B．t＝0.4 s时，弹簧弹力为零
C．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
D．从t＝0.4 s至t＝0.6 s，手机的动能减小
9．(2025·黑龙江哈尔滨一模)如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两单摆的摆长之比为9∶4
B．乙单摆的振动方程x＝8sin cm
C．甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能
D．0～1 s内，甲摆球的重力势能增大，乙摆球的重力势能减小
10．(多选)某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是(　　)
A．由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B．只减小斜面倾角，则单摆周期将增大
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
11．(多选)(2025·黑龙江鸡西一模)在半径为R的某球状天体表面，有一表面积足够大的水池。如图所示，一质量为M、横截面积为S的木块，浮在水面上。现将木块向上提起一小段距离后放手，木块立即在水中做周期为T0的简谐运动。已知水的密度为ρ0，木块的密度为水的密度的二分之一，引力常量为G，简谐运动的周期公式为T＝2π(其中k是回复力与位移的比，m为振子的质量)。忽略天体的自转，则该天体表面的重力加速度g和天体的密度ρ分别为(　　)
A．g＝ B．g＝
C．ρ＝ D．ρ＝
课时数智作业(三十七)
1．D　[发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而使玻璃杯碎裂，与音量的大小无关。故选D。]
2．AC　[小球做简谐运动，则小球在t1.5T时刻的状态与在t0.5T时刻的状态相同，由题意可知t0时，小球的速度为0，位移最大，方向为负，则t0.5T 时，小球的速度为0，位移最大，方向为正，A正确，B错误；由F－kx可知，t0.5T时，小球受到的回复力最大，方向为负，由牛顿第二定律可知，此时小球的加速度最大，方向为负，C正确，D错误。]
3．C　[由单摆运动特点知，位移为零时，单摆处于平衡位置，此时回复力为零，做简谐运动的加速度为零，速度大小最大，重力势能最小，因为题图a为位移—时间图像，当位移为零时，速度大小最大，而题图b对应时刻是零，故A错误；向心加速度大小只有正值没有负值，而题图b有负值，故B错误；单摆回复力F－kx，可知回复力方向与位移方向时刻相反，且回复力大小与位移大小成正比，结合题图a和题图b可知C符合题意，故C正确；因为题图a为位移—时间图像，当位移为零时，单摆处于最低点，所以重力势能最小，与题图b零时刻不符合，故D错误。]
4．B　[由题图可知该简谐运动的振幅为1 cm，A错误；由题图可知，振动周期为0.4 s，由 可知，频率为2.5 Hz，B正确；0.1 s时，质点位于平衡位置，此时速度达到最大值，C错误；0.2 s时，质点位于负向最大位移处，加速度方向指向平衡位置，方向竖直向上，D错误。]
5．C　[由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T5 s，所以光点振动的圆频率ω0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A0.1 m，又t12.5 s2.5T，则光点在 12.5 s 内通过的路程s2.5×4A10A1.0 m，C正确，D错误。]
6．C　[根据题图2可知，筛子的固有频率为0.8 Hz，所以固有周期是T1.25 s，故A错误；在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，驱动力频率f01 Hz，增加电压，转速增大，驱动力频率增大，远离固有频率，筛子的振幅减小，故B错误；仅适当减小筛子的质量，可以增大固有频率，接近驱动力频率，可以增大筛子的振幅，故C正确；当前驱动力周期为T01 s，周期为1 s的单摆，根据T2π得，摆长约为0.25 m，故D错误。]
7．B　[由题图乙可知，单摆的周期为T2 s，由单摆的周期公式T2π，可得L≈1 m，故A错误；由题图乙可知，从t1.5 s到t2.0 s的振动中，摆球向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故B正确；由题图乙可知，从t0.5 s到t1.0 s的振动中，摆球向平衡位置运动，位移减小，根据F－kx可知，回复力逐渐减小，故C错误；由题图乙可知，振幅A8 cm，φ0，角速度ωπ rad/s，单摆的位移x随时间t变化的关系式为x8sin(πt) cm，故D错误。]
8．D　[由题意可知ω2.5π rad/s，可得T0.8 s，故A错误；t0.4 s时，a14sin(2.5π×0.4) m/s20，由牛顿第二定律可知F合1ma10可知，此时弹簧弹力与重力二力平衡，弹簧弹力不为零，故B错误；t0.2 s时，a24sin(2.5π×0.2) m/s24 m/s2，可知手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，故C错误；t0.6 s时，a34sin(2.5π×0.6) m/s2－4 m/s2可知，t0.4 s至t0.6 s时间内，手机从平衡位置向平衡位置上方移动，由于在平衡位置时手机速度最大，因此手机动能减小，故D正确。]
9．B　[由振动图像可知，甲、乙单摆的周期T甲4 s，T乙6 s，根据单摆周期公式T2π，故A错误；对乙单摆有T乙6 s，A8 cm，故ω乙 rad/s，由题图可知，t0时刻，乙单摆的位移为0，且向负方向运动，故乙单摆的振动方程为x8sin cm，故B正确；单摆的机械能与摆球的质量、振幅等因素有关，仅从振动图像无法判断两单摆小球的质量关系，所以不能比较机械能的大小，故C错误；0~1 s内，甲、乙摆球均从平衡位置向最高点运动，故甲、乙摆球的重力势能均增大，故D错误。]
10．BC　[根据题意，由题图乙可知，小球摆动的周期为T2×(0.9－0.1) s1.6 s，故A错误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g'gsin θ，由单摆周期公式有T2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将增大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。]
11．AC　[木块做简谐运动处于平衡位置时Mgρ0gSh，让木块偏离平衡位置发生一段位移x，则振动方向的合外力大小为F|ρ0gS(h＋x)－Mg||ρ0gSx|，因为合外力与位移方向相反，故F回－ρ0gSx，即kρ0gS，故周期为T02π，整理得g，A正确，B错误；由Gmg，M星ρ·πR3，可得天体的密度为ρ，C正确，D错误。]
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